For Exam / Матрицы
.pdfАлгебра матриц Основные теоретические сведения
Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными, записанную в матричном виде
CX D,
где C - квадратная матрица размером n n, X - вектор-столбец размером n m; D- матрица размером n m.
Если матрица C невырожденная (т.е. ее определитель не равен нулю),
то она имеет обратную С 1 и единственное решение данной системы имеет вид
Х C 1D.
Пример 5.1. Решить систему уравнений СХ = D средствами матричного исчисления, где С A kB и
5
А71
Решение.
3 |
3 |
|
|
|
0 |
1 2 |
|
|
х1 |
|
|
|
2 |
|
||||||
4 |
4 |
|
, |
B |
|
2 |
3 1 |
, |
Х |
|
х |
2 |
|
, |
D |
|
5 |
, |
k 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
5 |
|
|
|
|
0 |
0 2 |
|
|
|
|
х3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Находим матрицу С:
5 |
3 |
|
3 |
|
0 2 4 |
5 |
1 |
7 |
|||||||
|
7 |
4 |
4 |
|
|
4 6 2 |
|
|
3 |
2 |
|
||||
C A kB |
|
+ |
|
= |
2 . |
||||||||||
|
1 |
1 |
5 |
|
|
0 0 4 |
|
|
1 |
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
||||||||||
Вычислим определитель матрицы С : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
5 |
1 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
detC |
|
3 |
2 |
2 |
|
6. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Так, как detC 0, то матрица С имеет обратную. Находим обратную
матрицу С 1. Сначала вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы С:
C |
|
2 |
2 |
|
0, C |
|
|
3 |
|
2 |
|
1, C |
|
|
3 2 |
|
1, |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
11 |
|
|
1 1 |
|
12 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
13 |
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
C21 |
|
1 |
7 |
|
6, C22 |
|
|
5 |
|
|
7 |
|
12, C23 |
|
|
5 |
|
1 |
|
6, |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
7 |
|
|
|
5 |
|
1 |
|
|
13. |
|||||||||||||
C31 |
|
|
|
|
12, C32 |
|
|
|
|
31, C33 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|||||||||
Составляем присоединенную матрицу C:
|
|
|
C11 C21 |
|
|
|
|
C31 |
|
|
0 |
|
6 12 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
C22 |
|
|
|
|
C32 |
|
|
|
1 |
12 |
|
|
|
|
|
||||
|
C C12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31 . |
|
||||||||||||
|
|
|
C |
|
|
C |
23 |
|
|
|
|
C |
33 |
|
|
|
1 |
6 |
|
|
13 |
|
|||
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Находим обратную матрицу С 1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
6 |
12 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
С 1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
1 |
12 |
|
31 . |
|
|
||||||||
|
|
|
|
detC |
6 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
6 |
|
13 |
|
|
|
|
||||||
Находим решение системы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x1 |
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
6 |
|
12 |
2 |
|
1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 12 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|||||||||||
Х x2 |
С 1D |
6 |
|
|
31 |
|
|
0 . |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
6 |
|
13 |
|
2 |
|
|
|
||||||||
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||||||||||
Проверка: вычислим СХ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
5 |
1 |
|
|
|
7 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
3 2 |
|
|
2 |
|
0 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
CХ |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Видим, что СХ=D, значит решение найдено верно.
x1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
или x1 1, |
x2 0, |
x3 1. |
Ответ: Х x2 |
|
|
, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
1 |
|
|
|
|