For Exam / Метод замены переменной

Пусть функция

f x

непрерывна на интервале a,b и

x t ,

где функция t непрерывно дифференцируема на

интервале

, ; причем

функция t отображает интервал

, в

интервал

a,b .

Пусть также функция x t имеет

f x dx

x

t

f t t dt.

dx t dt

t

5

t

3

5

3

2

10

C

2

x 5

10

x 5

C.

2

2

5

3

5

3

Замечание

2.1. При вычислении интегралов вида

dx

полезно применять замену переменной x

1

.

x

ax2 bx c

t

2

x 3sint

2

2

x dx

9sin

t 3costdt

9

sin

t costdt

dx 3costdt

9 x2

9 9sin2 t

cost

2

1 cos2t

9

1

9 sin

tdt 9

dt

t

sin 2t

C .

2

2

2

x

Вернемся к переменной x. Так как x 3sin t ,

то t arcsin

.

x2dx

3

9

x

9

x

C

Тогда

arcsin

sin

2arcsin

2

3

4

9 x

2

3

9

x

9

x

x

C

9

x

arcsin

sin arcsin

cos arcsin

arcsin

2

2

3

3 2

3

3

9

x

2

x

C

9

x

sin arcsin

1 sin

arcsin

arcsin

2

2

3

3

3

9 x

x2

9

x

1

1

C

arcsin

x

9 x2

C .

2 3

9

2

2

3

Если интеграл имеет вид

f x

x dx, то его вычисление

можно проводить следующим образом:

x t

f t dt.

f x

x dx f x d x

dt

x dx

Пример 4.2.

dx

.

cos2 x

1 tgx

Решение.

t 1 tgx

dx

dt

dt

dx

2

t C 2 1 tgx C.

cos2 x

1 tgx

t

2

x

cos

Пример 5.2.

exdx

.

Решение.

e2x 1

exdx

t ex

dt

arctgt C arctgex C.

e2x 1

dt exdx

t2 1

Пример 6.2.

.

Решение.

1 2sin x

t 1 2sinx

cosxdx

1

2cosxdx

1

dt

dt 2cosxdx

1 2sinx

2

1 2sinx

2

t

m 1

dx

xmdx d

x

,

d lnx ,

x

m 1

cosxdx d sinx ,

sinxdx d cosx ,

x

x

x

ax

e dx d e ,

a dx d

,

lna

dx

d tgx ,

dx

d ctgx ,

cos2

x

sin2

x

dx

x

x

d

arcsin

d arccos

,

a2 x2

a

a