For Exam / Методы интегрирования подстановкой и по частям

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.04.2015

Размер:

222.26 Кб

Скачать

☆

§8. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПОДСТАНОВКОЙ

ИПО ЧАСТЯМ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

8.1.Интегрирование подстановкой

При вычислении определенных интегралов часто используется метод подстановки, или метод замены переменной интегрирования.

Теорема	8.1.	Пусть	функция	y f x непрерывна		на
сегменте a,b и функция			x t	непрерывна вместе со своей
		на отрезке , . Кроме того, при t , :
производной t		на отрезке , . Кроме того, при t , :
a t b ;	a и b. Тогда справедлива формула:
		b		f t t dt.	(8.1)
			f x dx	f t t dt.	(8.1)

		a
Формула	(8.1)	называется формулой замены			переменной	в

определенном интеграле.

Замечание 8.1. После замены переменной изменяются пределы интегрирования. Новые пределы интегрирования находятся из соотношений a и b.

Отметим, что:

1) функцию x t следует подобрать так, чтобы, подставив ее вместо x в подынтегральное выражение, получить более простой интеграл;

2)при вычислении определенного интеграла методом подстановки возвращаться к старой переменной не требуется (в отличие от неопределенного интеграла);

3)вместо подстановки x t применяют и подстановку

t x .

		1													x sint											sin 0 0																	.
		1													x sint											sin 0 0
		1 x2 dx											dx costdt													sin 1
		0											dx costdt													sin 1															2
		0																																							2

		На			промежутке														0,								функция										sint								возрастает и
		На			промежутке														0,								функция										sint								возрастает и
																							2
выполняется условие:																		0 sint								1. Таким образом,

1																																						1
							2																			2														2	1 cos2t dt
							2																			2														2
1 x2 dx									1 sin2 t costdt cos2 tdt
1 x2 dx									1 sin2 t costdt cos2 tdt
0							0																			0							2							0
1			1															1										1
1			1									2						1										1
		t				sin 2t																	0								sin sin 0															.
		t				sin 2t																	0								sin sin 0															.

	2		2								0						2		2							2																		4
	2		2								0						2		2							2																		4
										9							dx
		Пример 2.8.																			.


											1 5 2									x
		Решение.							Применим														подстановку																t .						Эта		функция
		Решение.							Применим														подстановку													x			t .						Эта		функция
является монотонной на сегменте 1,9 .
		9		dx											t x t2															t 1							1
		9		dx										x	t x t2															t 1					1		1
																													t 9

								x							dx 2tdt																			9 3
		1 5 2						x							dx 2tdt																			9 3
3		2tdt					3 2t 5 5													3						5															1							3
																																																3

																dt 1															dt	t 5										ln			2t 5
																dt 1															dt	t 5										ln			2t 5
1 5 2t							1 5 2t													1						5 2t															2							1
1 5 2t							1 5 2t													1						5 2t															2							1
3 1					5	ln11 ln7 2																		5	ln		11		.
3 1						ln11 ln7 2																			ln				.
			2																			2				7

										3
Пример 3.8. x 3 x 5dx.
										2									t 3 x ,
Решение. Полагая																			t 3 x ,				которая монотонна на отрезке
2,3 , получаем												x 3 t ,								dx dt ,								пределы интегрирования:
t 2 1, t 3 0.
3			5			0											5			0 6							5				t7				t6		0
3			5			0											5			0 6							5				t7				t6		0
x 3 x dx 3 t t dt t
x 3 x dx 3 t t dt t																										3t dt								2
2						1														1											7			2			1
0	1	0					1				5				.																7						1
	1						1				5

7						2				14
																		dx
Пример 4.8.													2					dx		.


																		x2 1
												1 x						x2 1
																dx					x				1						t 1 1
																									1

																									t
																									t
						2															t		1
						2																	1									1						2
Решение.
Решение.																								x					t	2
									1 x x2 1
																																				2
																																2
																				dx						dt						2
																										dt
																										t2
																										t2

				2																2
				2						dt										2			dt											2
			2																	2								arcsint
			2																	2													2


						2 1				1												1 t2											1
			1		t											1				1													1
			1																	1
								t
								t				t2

														.
			4			2								.
			4			2				4

Замечание 8.2. Если функция x t не монотонная, то уравнениям a и b могут удовлетворять несколько

различных пар значений и . В этом случае можно взять любую пару указанных значений, удовлетворяющих условиям теоремы 8.1.

												dx
Пример 5.8.						2						dx				.


						0		3 2cosx																	x
Решение. Применим подстановку t tg																									x		. Тогда x 2arctgt,
Решение. Применим подстановку t tg																											. Тогда x 2arctgt,
																								2
dx	2dt									cosx					1 t2
					и												.						Пересчитаем						пределы
					и										1 t2		.						Пересчитаем						пределы
1 t2															1 t2

интегрирования: t 0 tg0 0 и t																				tg						1. Следовательно,
интегрирования: t 0 tg0 0 и t																				tg				4		1. Следовательно,
																		2						4
				dx				1							2dt									1			dt
2				dx				1							2dt									1			dt
																								2
		3 2cosx											2			1 t2								2
0		3 2cosx						0	1 t				2			1 t2									0 t2 5

															3 2
															3 2						2
																1 t					2
																1 t
2			1		arctg			t			1		2			arctg			1			.
			1					t			1		2						1

		5						5			0		5				5
		5						5			0		5				5
8. 2. Интегрирование по частям
Теорема 8.2.							Пусть						функции						u x и						v x			непрерывны на
отрезке		a,b вместе со												своими			производными
отрезке		a,b вместе со												своими			производными											u x	и v x .

Тогда имеет место формула интегрирования по частям:

Замечание 8.3. При вычислении по формуле интегрирования по частям всегда берут только одну первообразную v.

Пример 6.8. x 2 cosxdx.

Пример 9.8. arctgxdx.

Решение.

Соседние файлы в папке For Exam