Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Рязанский государственный радиотехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

For Exam / Определенный интеграл

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.04.2015

Размер:

203.21 Кб

Скачать

☆

1 i n

§ 7. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. ФОРМУЛА НЬЮТОНА - ЛЕЙБНИЦА

7.1. Понятие определенного интеграла

Пусть функция y f x определена и ограничена на отрезке

a,b и на этом отрезке произвольно выбраны точки							x0,	x1, , xn
так,	что a x0 x1 xn		b, то	есть	выбрано разбиение
отрезка a,b на n частей. В каждом				отрезке xi 1,xi				i
отрезка a,b на n частей. В каждом				отрезке xi 1,xi				i	1,n
произвольным образом выбрана точка i				i		.
произвольным образом выбрана точка i				i	1,n	.
					n		xi ,
	Определение	7.1. Сумма	вида	Sn f i			xi ,		где
					i 1
xi	xi xi 1,	называется	интегральной		суммой			функции
y	f x на отрезке a,b .

Величина интегральной суммы зависит от способа разбиения отрезка a,b на части и от выбора точек i . Пусть max xi

.
Определение		7.2. Если		предел	интегральной суммы при
0	существует	и	не зависит от		способа	разбиения отрезка
a,b	на части и	от	выбора	точек	i , то	функция y f x

называется интегрируемой на отрезке a,b . Величина этого предела называется определенным интегралом от f x на отрезке

a,b и обозначается:	b	f x dx. Число a называется нижним
a,b и обозначается:		f x dx. Число a называется нижним
	a

пределом интегрирования, b - верхним пределом интегрирования, x- переменная интегрирования, f x - подынтегральная функция, f x dx - подынтегральное выражение.

Замечание. Величина определенного интеграла не зависит от того, как обозначена переменная интегрирования:

b b

f x dx= f z dz.

a a

Теорема. Если функция y f x непрерывна на отрезке

a,b , то определенный интеграл f x dx существует.

Отметим, что непрерывность функции является достаточным условием ее интегрируемости. Однако определенный интеграл может существовать и для некоторых разрывных функций, в частности для всякой ограниченной на отрезке функции, имеющей на нем конечное число точек разрыва.

7.2. Геометрический смысл определенного интеграла

Определенный интеграл есть алгебраическая сумма площадей фигур, ограниченных линиями: y f x , x a, x b, y 0.

Площади фигур, расположенных выше оси Ox , берутся со знаком плюс, а расположенных ниже оси Ox - со знаком минус.

7. 3. Основные свойства определенных интегралов

Пусть функции f x и g x интегрируемы на отрезке a,b . Тогда справедливы следующие свойства определенных интегралов:

b a

10. f x dx f x dx.

a b

20. f x dx 0.

30. dx b a.

a
b		b	b
40.	f x g x dx f x dx g x dx.
a		a	a
b	b	f x dx , где c сonst .
50. cf x dx c		f x dx , где c сonst .

a a

60. f x dx f x dx f x dx, где a c b.

a		a	c
	f x 0			b
70. Если	f x 0		на отрезке a,b , где a b, то f x dx 0.
				a
Если f x 0		на отрезке a,b , то		b
Если f x 0		на отрезке a,b , то		f x dx 0.
				a
				b	b
80. Если	f x g x на отрезке a,b , то f x dx				g x dx.
				a	a
90. Если M - наибольшее значение и m- наименьшее значение
функции f x		на отрезке a,b , то

m b a f x dx M b a .

						a
	b			b
	b			b
100.	f x dx				f x	dx.
	a	f		a			a,b , то существует точка
110. Если		f	x непрерывна на				a,b , то существует точка

	b
с a,b такая, что f x dx f c b a . (Теорема о среднем.)
	a
				1		b
Определение 7.3.		Величина		1		f x dx называется
Определение 7.3.		Величина				f x dx называется
			b a a
средним значением функции f x на отрезке a,b .
x
x		f x .
120. f x dx x		f x .
a
	f x - четная функция, то			a		a
130. Если	f x - четная функция, то				f x dx 2 f x dx.
				a	0
	f x - нечетная функция, то				a
140. Если	f x - нечетная функция, то				f x dx 0.

150. Если f x - периодическая функция с периодом Т, то интеграл по любому отрезку, длина которого равна Т, имеет всегда

T	T
одно и то же значение, то есть: f x dx	f x dx.

7.4.Формула Ньютона - Лейбница

Если для непрерывной на отрезке a,b функции f x может быть найдена ее первообразная F x , то простым и удобным методом вычисления определенного интеграла является формула Ньютона - Лейбница:

f x dx F x ba F b F a .

Пример 1.7. cosxdx.

Решение. Функция F x sin x является первообразной для

функции f x cosx					cosx. Тогда по формуле
			, так как sin x
Ньютона - Лейбница имеем


2

	cosxdx sin x	2	sin	sin0 1 0 1.

		0	2
0

Пример 2.7. 2 xdx.

Решение. Применяем метод подведения функции под знак дифференциала.

7		7		2		7	2			2
						7

	2 xdx		2 xd x 2		2 x 3				93		13
	2 xdx		2 xd x 2		2 x 3				93		13
1		1	3			1 3		3
1		1	3			1 3		3

2 27 1 52 .

3 3

Пример 3.7. sin x3 x dx.

Решение. f x sin x3 x ,

fx sin x 3 x sin x3 x

sin x3 x sin x3 x f x .

Функция f x sin x3 x - нечетная. Тогда по свойству 140 :

sin x3 x dx 0.

Пример 4.7. x4 x2 dx.

Решение. f x x4 x2 ,

f x x 4 x 2 x4 x2 f x .

Функция f x x4 x2 - четная. Тогда по свойству 130:

2		4					2		2		4					2						x5	x3				2		32 8
2		4					2		2		4					2						x5	x3				2		32 8
x			x					dx 2 x				x					dx 2											2
x			x					dx 2 x				x					dx 2											2
																							3							5 3
2									0													5	3				0			5 3
	272			.																		5					0
	272

15									4		dx
									4		dx
		Пример 5.7.														.
		Пример 5.7.														.
										1 8x 3					14 d 8x 3														4
									4 dx														1			8x 3

		Решение.																						ln


									1 8x 3 8								1		8x 3				8						1


					1	ln35 ln11								1		ln			35		.
						ln35 ln11										ln					.
			8									8						11
									2				dx
		Пример 6.7.																		.
		Пример 6.7.																		.
										1 x	2 2x 2											d x 1
									2		dx							2							arctg x 1						2
		Решение.									dx
		Решение.																				x 1 2 1
									1 x2 2x 2									1													1
									1 x2 2x 2									1													1

	arctg1 arctg0							0					.
	arctg1 arctg0							0					.
						4				4
					6		2dx
	Пример 7.7.									.
	Пример 7.7.					x 3 x 1				.
					4	x 3 x 1
	Решение. Разложим подынтегральную дробь на сумму
простейших:
6		2dx			6	1			1						6 dx					6 dx
												dx
	x 3 x 1					x 3						dx					x 3				x 1
4	x 3 x 1				4	x 3			x 1					4			x 3			4	x 1
ln								x 3			6			ln	3	ln		1	ln			9	.
		x 3	ln	x 1			6 ln


								x 1
							4				4			5			3				5
							4

Соседние файлы в папке For Exam

#
15.04.2015200.52 Кб15Метод замены переменной.pdf
#
15.04.2015161.99 Кб21Метод интегрирования по частям.pdf
#
15.04.2015222.26 Кб16Методы интегрирования подстановкой и по частям.pdf
#
15.04.2015224.95 Кб22Несобственные интегралы 2.pdf
#
15.04.2015216.84 Кб17Несобственные интегралы.pdf
#
15.04.2015203.21 Кб15Определенный интеграл.pdf
#
15.04.2015368.26 Кб16Определители.pdf
#
15.04.2015338.66 Кб19Приложения определенного интеграла.pdf
#
15.04.2015324.83 Кб19Прямая и плоскость в пространстве 1.pdf
#
15.04.2015205.01 Кб21Прямая и плоскость в пространстве 2.pdf
#
15.04.2015414.48 Кб38Прямая на плоскости и кривые второго порядка.pdf