Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Рязанский государственный радиотехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

For Exam / Интегрирование тригонометрических и иррациональных функций

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.04.2015

Размер:

236.55 Кб

Скачать

☆

§ 5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

5.1. Интеграл вида R sin x,cosx dx, где	R sin x,cosx -
рациональная функция относительно переменных	sin x и cosx,

сводится к интегралу от рациональной дроби с помощью

универсальной тригонометрической подстановки t tg x .

Тогда x 2arctgt,

2dt

1 t2

2sin

cos

2tg

sin x

2 x

sin

cos

t2 1

cos

sin

1 tg

1 t2

cosx

sin

cos

t2 1

Пример 1.5.

3 sinx cosx

Решение.

2dt

1 t2

3 sin x cosx

1 t2

2 t

arctg

1 2

t2 t 2

2tg

arctg

C .

t sinx

5.2. R sinx cosxdx

R t dt.

dt cosxdx

tcosx

R cosx sinxdx dt sinxdx R t dt .

Пример 2.5. sin3 xdx . cosx 3

Решение. Данный интеграл легко сводится к виду

R cosx sin xdx:

sin3 xdx

sin2 x sin dx

1 cos2 x sin dx

cosx 3

t cosx

t2 1

t 3

dt sin xdx

t 3

3t 8ln

t 3

cos2 x

3cosx 8ln

cosx 3

5.3. R tgx dx или подынтегральная функция содержит cosx

и sin x только в четных степенях, то применяется подстановка

t tgx,	x arctgt,	dx	dt		,
t tgx,	x arctgt,	dx			,
		1 t2		1		1
		cos2 x		1		1		,
		cos2 x				1 t2		,
			1 tg2x			1 t2
		sin2 x		tg2x		t2	.
		sin2 x					.
			1 tg2x			1 t2

После подстановки получим интеграл от рациональной функции.

Пример 3.5.

1 sin2 x

Решение.

t tgx

sin

1 t2

1 sin2

x arctgt

1 t

arctg

t C

arctg

tgx C.

t 2

2t2 1

1 2

m,n Z

5.4. Рассмотрим интеграл

вида

sinm xcosn xdx

.Возможны три различных случая.

sinm xcosn xdx, где m и n таковы,

что по крайней

мере одно из них нечетное. Для определенности пусть n –

нечетное, то есть его можно записать		в виде n 2p 1.
Преобразуем интеграл:
sinm xcosn xdx sinm xcos2p 1 xdx sinm xcos2p xcosxdx
sinm x1 sin2 x p cosxdx	t sinx	tm 1 t2 p dt.
sinm x1 sin2 x p cosxdx	t sinx	tm 1 t2 p dt.
	dt cosxdx

Последний интеграл есть интеграл от рациональной функции переменной t.

Пример 4.5.

sin5 xdx

cos2 x

Решение.

1 cos2

x 2 sin xdx

sin5 xdx

sin4 xsin xdx

cos2

cos2 x

t cosx

1 t2 2 dt

2 t

dt sin xdx

2cosx

cos3 x

C .

cosx

2. sinm xcosn xdx, где

m и n – неотрицательные и

четные.

Пусть

m 2p,

n 2q.

Для

вычисления интеграла

используем формулы понижения степени:

cos2 x

1 cos2x

sin2 x

1 cos2x

(5.1)

Подставим эти выражения в интеграл:

	2p		2q	1 сos2x
sin		xcos		xdx
sin		xcos		xdx	2
					2

p	1 сos2x

		2

dx.

Возводя в степень и раскрывая скобки, получаем члены, содержащие cos 2x в четных и нечетных степенях. Члены с нечетными показателями интегрируются , как показано в п. 1, а слагаемые с четными степенями опять преобразуются по формулам понижения степени (5.1).

Пример 5.5. sin6 xdx .

Решение.

																	3		1
		sin6					xdx sin2									x		dx			1 cos2x 3dx
		sin6					xdx sin2									x		dx		8	1 cos2x 3dx
				1		1 3cos2x 3cos2													2x cos3 2xdx						x			3					sin2x
						1 3cos2x 3cos2													2x cos3 2xdx
		8																						8			8			2
3		1	1 cos4x dx													1	1 sin2					2x cos2xdx				x			3sin2x
8			1 cos4x dx														1 sin2					2x cos2xdx
8		2													8									8						16
	3x				3			sin4x						1	1		1 sin2					2x d sin2x				5x					3sin2x
																	1 sin2					2x d sin2x
16		16									4		8		2									16						16
	3sin4x									1		sin2x			1			sin3 2x				C	5x	sin2x								3sin4x
64									16			sin2x							3			C	16	4						64
64									16						16				3				16	4						64
	sin3 2x						C .
							C .

5.5. Интегралы

вида:

cosmxcosnxdx,

sinmxsinnxdx,

cosmxsin nxdx, где

m n, вычисляются с помощью формул

тригонометрии:

cosmx cosnx

cos m n x cos m n x ,

sinmx sinnx

cos m n x cos m n x ,

sinmx cosnx

sin m n x sin m n x .

Пример 6.5. cos5x cos2xdx.

Решение.

cos5x cos2xdx

cos7x cos3x dx

sin7x

1sin3x C. 6

§ 6. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

Основным методом вычисления интегралов от иррациональных функций является сведение их к интегралам от рациональных функций.

6.1. Интегралы вида

Mx N

dx.

ax2 bx c

В первую

очередь

выделяют

в числителе

производную

знаменателя ax

bx c

2ax b :

Mx N

2ax b N

Mx N

2ax b N

Таким образом,

ax2 bx c

z x

M 2ax b dx			Mb
		N
2a
	ax2 bx c
			2a

ax2 bx c

Первый из полученных интегралов равен:

2ax p dx

d ax2 bx c

bx c .

ax2 bx c

Для вычисления второго из интегралов сначала выделяем полный

квадрат в знаменателе. С помощью замены переменной

второй интеграл приводится к одному из двух табличных

интегралов:

x2 a2

x 4

a2 z2

Пример 1.6.

dx.

6 2x x2

x 4

Решение.

6 2x x2

2 2x

6 2x x2

2 2x 6

2 2x dx

6 2x x2

1 d 6 2x x2

2 6 2x x

6 2x x2

7 x2 2x 1

3arcsin

6 2x x2

7 x 1 2

6.2. Интеграл вида

R x, x

xq , , x

dx,

где k,r, p,q, ,s - целые

числа. Для вычисления интеграла

используется замена: x tn , где n -

наименьшее общее кратное

чисел

r, q, , s

(иначе:

- наименьший

общий

знаменатель

дробей	k	,	p	, ,	h	). Тогда dx ntn 1dt . В результате

	r		q		s

подстановки получим интеграл от дробно-рациональной функции.


Пример 2.6.		x	1	dx.


2		x x
	1
Решение. Интеграл зависит от x и от					x	x	2	, поэтому

применим подстановку: x t2 .

t 1 2tdt

t2 t

x 1

x t

dx 2tdt

2t t2

x x

t2 2t

2 1

dt 2

2ln

t 2

t2 2t

t 2

x 2lnx 2 C .

6.3.Интеграл вида

R x, ax b kr , ax b qp , , ax b hs dx,

где k,r, p,q, ,s -

целые числа. Для вычисления интеграла

используется замена:

ax b tn ,

где n

- наименьшее

общее

кратное чисел r, q, , s.

Пример 3.6.

dx.

x 1

Решение.

x 1

Подынтегральное

выражение зависит от

x 1 x 1

3 x 1 x 1

Наименьшим

общим

кратным чисел 2 и 3 является число 6, поэтому применим замену:

x1 t6.

x 3xx1 1dx dxx 16t5tdt6 t6 t12 t3 6t5dt

6 t9 t6

t3 dt 6

C 6t

x 1

C 63 x 1 2

x 1

C .

6.4. Интеграл вида

ax b r

ax b q

ax b s

, ,

dx,

cx d

где k,r, p,q, ,s - целые

числа.

Для

вычисления

интеграла

используется замена:

ax b

tn ,

где

наименьшее

общее

cx d

кратное чисел r, q, , s.

Пример 4.6.

1 x

1 x 1 x 2

Решение. Для нахождения интеграла воспользуемся заменой

1 x

t2 . Выразим x:

1 x t2

t2x x1 t2 t2 1

1 x

2t t2 1 2t t2

t2 1

. Найдем dx : dx

4tdt

t2 1

t2 12

t 4tdt

Тогда

1 x

1 x 2

t2dt

1 x

1 t

1 2

6.6. Интеграл вида

x dx

(6.1)

x a

ax2 bx c

где P

xn a

n 1

xn 1

a x a

Применяется формула:

Pn x dx

ax2

bx c

, (6.2)

n 1

ax2 bx c

где Qn 1 x bn 1xn 1 bn 2xn 2 b1x b0 .

Чтобы найти коэффициенты bn 1, bn 2, , b1, b0, ,

записывают для интеграла (6.1) равенство (6.2) с неопределенными коэффициентами и дифференцируют его. Полученное выражение

умножают на ax2 bx c . Тем самым освобождаются от дробей и корней. Затем приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях равенства. Решая полученную систему, находят коэффициенты bn 1, bn 2, , b1, b0, .

Пример 5.6.

x2 1dx

x2 2x 2

Решение. По формуле (6.2) получим равенство:

x2 1dx

ax b

x2 2x 2

(6.3)

Дифференцируем его:

ax b x 1

2 1

a x

2x 2

x2 2x 2

Умножим обе части равенства (6.3) на x2 2x 2 : x2 1 a x2 2x 2 ax b x 1 .

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x слева и справа:

								x2									1 2a,
								x1							0 3a b,
								x0				1 2a b .
Решая систему, находим										a					1		,	b	3		,				3	.		Подставляем
Решая систему, находим										a							,	b			,					.		Подставляем
														2				2					2
найденные коэффициенты в (6.3):
		x2 1dx					1		3												3				dx
		x2 1dx					1	x	3				x	2		2x 2					3				dx

									2												2
		x2 2x 2																						x2 2x 2
		x2 2x 2					2											d x 1						x2 2x 2
		1		3							3
		1	x	3	x	2	2x 2				3

											2

	2			2													x 1 2 1
		1		3							3
		1	x	3	x	2	2x 2				3					x		1 x		2		2x 2					C .
													ln
													ln
	2			2							2
	2			2							2

Соседние файлы в папке For Exam

#
15.04.2015267.03 Кб20Векторная алгебра.pdf
#
15.04.2015113.78 Кб42Двойные интегралы 2.pdf
#
15.04.2015204.58 Кб25Двойные интегралы.pdf
#
15.04.2015335.49 Кб16Интегрирование дробно-рациональных функций.pdf
#
15.04.2015173.5 Кб16Интегрирование тригонометрических и иррациональных функций 2.pdf
#
15.04.2015236.55 Кб27Интегрирование тригонометрических и иррациональных функций.pdf
#
15.04.2015251 Кб21Кривые второго порядка.pdf
#
15.04.2015551.6 Кб12МАТАН 1.jpg
#
15.04.2015663.67 Кб12МАТАН 2.jpg
#
15.04.2015110.86 Кб19Матрицы.pdf
#
15.04.2015200.52 Кб15Метод замены переменной.pdf