For Exam / Прямая на плоскости и кривые второго порядка

Прямая на плоскости. Алгебраические кривые второго порядка I. Прямая на плоскости

Основные теоретические сведения. Прямая на плоскости в декартовой прямоугольной системе координат 0xy может быть задана уравнением одного из следующих видов:

Уравнение прямой в отрезках, где а и b - величины направленных отрезков, отсекаемых прямой на координатных осях 0x и 0y cоответственно (рис. 6):

наклона прямой к оси 0x, b - величина отрезка, отсекаемого прямой на оси

0y (рис.7):

Уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку M0 x0,y0 :

Уравнение прямой, проходящей через точки М1(x1,y1); М2(x2,y2):

параллельны, так как они перпендикулярны к одной прямой (см. рис. 8). Поэтому вектор N (3, 5) является направляющим вектором прямой L. Используя каноническое уравнение (3.3), получаем уравнение прямой

Пример 3.2. Даны вершины треугольника А(1;-1), В(-2;1), С(3;5). Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины А на

является нормальным вектором прямой АН. Точка А(1;-1) принадлежит АН. Воспользовавшись уравнением (3.2), получим уравнение перпендикуляра

II.Алгебраические кривые 2-го порядка Основные теоретические сведения

Вдекартовой системе координат уравнение окружности с центром в точке M(a;b) и радиусом R имеет вид

(x a)2 (y b)2 R2.

Если центр находится в начале координат (a = 0, b = 0), то уравнение окружности

запишется в виде

x2 y2 R2.

Каноническое уравнение эллипса с фокусами на оси 0x:

F1( c,0), F2(c,0) имеет вид xa22 by22 1,

где

а(а>0) – большая полуось, b(b>0) - малаяполуось эллипса,

b2 a2 c2 .

Число e ac называется

эксцентриситетом эллипса.

Каноническое уравнение гиперболы

(рис.12) с фокусами на 0х и

симметричными относительно начала

координат F1( c,0), F2(c,0) имеет вид

x2 y2 1,

a2 b2

где b2 c2 a2, a - называется действительной полуосью, b - мнимой полуосью. Уравнения асимптот

гиперболы y bax.

Каноническое уравнение параболы, фокус F(p2,0) которой находится

на оси 0х, имеет вид y2 2px. Уравнение директрисы: x p2.

Пример 3.4. Вычислить площадь треугольника, одна из вершин которого совпадает с центром, а две другие - с точками пересечения

формуле S 12ВС h, где h - длина высоты, опущенной из вершины А на сторонуВС, ВС = 6, h = 1, S 3 (кв.ед).

Ответ: S 3 (кв.ед.)

Пример 3.5. Составить уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояния до начала координат к расстоянию до прямой 4y– 9 = 0 равно 4/5. Построить линию.

Решение. Дано: MP0M 54 (см. рис.14), где 0M = x2 y2 ; МР = y- 94 . Имеем

Полученное уравнение является

уравнением эллипса с центром в точке

М0(0;-4) и полуосями a = 3, b = 5 (см. рис.15).

Ответ: x2 (y 4)2 1. 9 25