For Exam / Элементарные методы интегрирования

Пусть

функция

f x

определена

на

некотором интервале

a,b . Тогда

функция

F x

называется

первообразной для

функции

f x

f x для всех

на интервале a,b , если F x

x a,b .

F x

Теорема.

Если

функция

является

первообразной

функции

f x

на a,b ,

то множество всех первообразных для

f x называется неопределенным интегралом от функции

f x и

обозначается символом f x dx.

Таким

образом, если F x - какая-либо первообразная

функции f x , то

f x dx F x С .

f x -

Знак

называется знаком неопределенного интеграла,

подынтегральной

функцией,

f x dx - подынтегральным

I.

dF x F x C.

II.

d f x dx f x dx.

III.

f x dx f x dx, где const .

IV.

f x g x dx f x dx g x dx.

V.

Если f x dx F x С и a 0, то

f ax b dx

1

F ax b C .

a

1. x dx

x 1

C 1 . 2.

dx

ln

x

C .

1

dx x C .

x

В частности,

3. axdx

ax

C .

4. exdx ex C.

lna

5. sin xdx cosx C .

6. cosxdx sin x C .

7.

dx

tgx C .

8.

dx

ctgx C.

cos2 x

sin2

x

9. tgxdx ln

cosx

C .

10. ctgxdx ln

sinx

C .

11.

dx

arctgx C .

12.

dx

1

arctg

x

C .

1 x2

a2 x2

a

a

13.

dx

arcsinx C.

14.

dx

arcsin

x

C.

1 x2

a2 x2

a

dx

1

a x

dx

15.

ln

C.16.

ln

x

x2 a2

C.

a2 x2

2a

a x

x2 a2

17.

chxdx shx C.

18. shxdx chx C.

19.

dx

thx C .

20.

dx

cthx C .

ch2x

sh2x

2

1

Пример 1.1. Вычислить интеграл I= x

x 3 1

dx.

x

x

2

x

3

1

I= x2

x 3

dx. Заменив

x на x2

,

x

x

x

2

3

1

1

I=

x

x 3 x

2

x

2

3x

2

dx.

Применим правила III и IV, после чего воспользуемся

формулой 1 таблицы интегралов:

3

1

1

I= x2dx xdx 3 dx x2dx x2dx 3 x 2dx=

x2 1

x1 1

3

1

1

1

1

1

x

x

=

3x

x2

2

3

2

C=

2 1

1

1 1

3

1

1

1

1

2

2

2

x3

x2

2

x5

2

x3

3x

6 x C.

=

2

5

3

3

x

1

x

xdx.

Пример 2.1. Найти интеграл 2

2

x

Решение. Раскроем скобки в подынтегральном выражении,

воспользуемся свойством IV и таблицей интегралов (формулы 1 и

3):

1

x

x

x

2

x

xdx=

x

x

2

2

2

2

x

dx =

x

x

1

1

2x

2 x3

=

2x dx= x

dx 2xdx=

x2 1

2x

C=

C.

2

x

1

1

ln2

3

ln2

2

Пример 3.1. 3x 2 11dx.

a 3,

b 2

Решение. Применим свойство V

и формулу 1

таблицы:

3x 212

3x 211dx=

1

C.

3

12

Пример 4.1. sin2 xdx.

Решение. Применим формулу понижения степени:

sin2 x

1 cos2x

.

По свойствам III,

V и по формулам 1, 6

2

получим:

sin2 xdx=

1 cos2x

dx=

1

dx cos2xdx =

1

x

2

2

2

x

sin2x

1

1

sin2x C

C .

2

2

2

4

dx

=

dx

=

1

arcsin

3x

C.

5

25 9x2

52 3x 2

3

dx

dx

=

x 2

x 3

=

x 2 x 3 x 2

x 3

x 2 x 3

x 2

x 3

x 2

x 3

=

dx

=

dx =

2

2

x 2 x 3

x 2

x 3

1

1

1

x 2

x 3 dx=

1

x 2

dx

1

x 3

dx=

2

2

5

5

5

1

2

1

2

C =

=

x 2 3

x 3 3

5

3

5

3

2

2

C .

=

x 2 3

x 3 3

15

15

x

2

1 1dx

2

1

1

x

=

dx=

x

2

1

2

1

x

2

1

x

1

dx

= 1

dx= dx

= x arctgx C .

x2

x2 1

1

знаменателе полный квадрат: x2 4x 13 x2

4x 4 9

x 2 2 9. Тогда

dx

dx

dx

1

x 2

arctg

C.

x2 4x 13

x 2 2

9

x 2 2

32

3

3

Пример 9.1.

dx

.

Решение.

9x2 6x 2

dx

dx

dx