2. Простейшая модель Уилсона: затраты, оптимальный размер партии

В розничной торговле возникают определенные издержки при закупке и хранении товарных запасов, а в промышленности – издержки, связанные с производством и хранением запасов готовой продукции. В первой модели будем рассматривать лишь два вида потерь:

• Потери при выполнении заказа, представляющие собой накладные расходы. Если -затраты на выполнение заказа, а - размер заказываемой партии, то издержки выполнения заказа в расчете на единицу товара составляютпри увеличении размера партии они уменьшаются. Для определения потерь за календарный период(год) полученную величину нужно умножить на потребное количество товара. Но- число заказов, тогда. (1)

Издержки хранения запасов обычно выражают упущенную выгоду от вложения капитала в запасы ,

где выражается в процентах от закупочной цены товара,- ставка процента,- цена единицы товара,- средний уровень запасов на складе. Тогдазатраты хранения равны

. (2)

Общие годовые затраты создания и управления запасами включают в себя потери (1), (2)

. (3)

Графики функций (1) – (3) показаны на рис.3, где видно, что функция совокупных затрат имеет экстремум в т.. Это обстоятельство наталкивает на мысль найти оптимальный размер заказа, минимизирующий затраты (3), т.е. решить задачу одномерной оптимизации

W(h)

Wхр

Wо

h

Рис.3

. (4)

Возьмем первую производную (3) по и приравняем нулю

. (5)

Вычислим вторую производную

(6)

которая оказывается больше нуля. Следовательно, достаточные условия минимума функции выполняются и точкаявляется решением задачи(4).Формула (6), определяющая наиболееэкономичный размер заказа, называется формулой Уилсона.

. Тогда

Оптимальным числом заказов будем считать N*, минимизирующее затраты

. (7)

В результате получаем

. (8)

При использовании оптимальной стратегии управления(5), (8) средний уровень запасов в системе будет равен

.

Билет 13

1.Оптовые скидки, нахождение оптимального размера партии. Оптовые скидки на размер заказываемой партии

На практике стоимость единицы товара часто зависит от размера партии. При покупке товара большими партиями вводятся скидки следующего вида: задаются числа. Если размер закупки, то цена единицы товара равна, т.е. стоимостьединици. Подобные скидки называютсяоптовыми.

Введение оптовых скидок затрудняет нахождение оптимального размера заказа. Достаточно просто это сделать графически. Запишем функции совокупных затрат при различных ценах на товар

. (13)

W

H1 h1*H2 h3* H3 h

Для нахождения функции совокупных затрат при наличии скидок следует построить графиков (13), каждый из которых соответствует значению цены. Важно отметить, что кривые затрат (13) не пересекаются, т.к. привыполняется

. (14)

Кроме того из формулы Уилсона следует. Одна из возможных функций совокупных затрат приведена на рис.3. Части кривых, которые показаны тонкими линиями, физически не реализуются. По рис. определяется минимум функции совокупных затрат и оптимальный размер партии заказа.

Данную задачу можно решить, пользуясь следующими правилами:

1. Вычисляем оптимальное значение , минимизирующее функцию затратдля. Если, то- является оптимальным для задачи со скидками. Это следует из того, что затраты ни по одной из кривых не могут быть меньше (14).Если, тофизически не реализуется (см. рис.3). В этом случае вычисляют, соответствующую издержкам в точке- излома.

2. Вычисляется оптимальное значение , минимизирущее функцию затратдля. Если, то находитсяи сравнивается с. Если, то, В противном случае. Приза оптимальное значение принимается илиили. Если, то вычисляется, затем, откуда находится, и т.д.

Общие годовые затраты создания и управления запасами включают в себя потери (1), (2)

. (3)

найти оптимальный размер заказа, минимизирующий затраты (3), т.е. решить задачу одномерной оптимизации

. (4)

Возьмем первую производную (3) по и приравняем нулю

. (5)

Вычислим вторую производную

(6)

которая оказывается больше нуля. Следовательно, достаточные условия минимума функции выполняются и точкаявляется решением задачи(4).Формула (6), определяющая наиболее экономичный размер заказа, называетсяформулой Уилсона.

Запишем формулу (6) по другому. Введем в рассмотрение число возможных заказов на пополнение . Тогда формулы (1)- (3) принимают вид:

Оптимальным числом заказов будем считать N*, минимизирующее затраты

. (7)

В результате получаем

. (8)

При использовании оптимальной стратегии управления(5), (8) средний уровень запасов в системе будет равен

.