1. Экономика включает две отрасли и характеризуется матрицей прямых затрат , валовой выпуск отраслей.

Рассчитать матрицу межотраслевых потоков.

(5,12)Т ВП’=ВП1/1-СУММ(0,1+0,3)-первого столбца=10/1-0.4=16.7

ВП”=20/1-0.6=50 0.1*16.7=1.67 0.3*16.7=5 0.2*50=10 0.4*50=20

ПП1=1.67+10=11.7 ПП2=20+5=25 (11.7;25)т-ПП

КП=ВП-ПП КП1=16.7-11.7=5 КП2=50-25=25 (5;25)т=КП

2. Задача безусловной оптимизации: необходимые условия оптимальности

Задача безусловной оптимизации

Постановка и схема решения задачи

Задача безусловной оптимизации имеет вид:

(1)Предполагается, что функциядважды непрерывно дифференцируема всюду на, т.е. в точке имеет градиент

и матрицу Гессе.

Теорема1. Необходимое условие наличия локального экстремума

Пусть - непрерывно дифференцируемая функция в точке. Если - точка локального минимума функции , то

(2)

Точки , удовлетворяющие условию (2), называются стационарными точками функции или задачи (1).

Для выявления искомой точки на множестве стационарных используется условие локальной оптимальности второго порядка

Теорема 2. Необходимое условие локальной оптимальности второго порядка

Пусть - дважды непрерывно дифференцируемая функция некоторой окрестности точки . Если - точка локального минимума функции , то матрица Гессе неотрицательно определена, т.е.

, (3)

где

Теорема 3 Достаточное условие локальной оптимальности

Пусть - дважды непрерывно дифференцируемая функция в некоторой окрестности точки . Если удовлетворяет

условию (2), а матрица Гессе положительно определена, т.е.

, (4)то точка строгого локального минимума функции .

Схема отыскания локального экстремумадважды непрерывно дифференцируемой функции:

1. Составляется система уравнений.

2. Находятся стационарные точки функции.

3. Составляется матрица Гессе .

4. Для каждой стационарной точки вычисляется, устанавливается ее знакоопределенность и делается вывод относительно наличия и квалификации экстремума (минимум это или максимум).

Билет 11

1. Численные методы решения оптимизационных затрат: градиентные методы

1. Ведущее место среди прямых методов решения экстремальных задач занимает градиентный метод (точнее, семейство градиентных методов) поиска стационарных точек дифференцируемой функции. Применяя градиентный метод, находят множество точек локальных максимумов (или минимумов), среди которых определяется максимум (или минимум) глобальный. Градиент функции указывает направление ее наиболее быстрого возрастания в окрестности той точки, в которой он вычислен. Поэтому, если из некоторой текущей точки х⁽¹⁾ перемещаться в направлении вектора f(x⁽¹⁾), то функция f будет возрастать, по крайней мере, в некоторой окрестности х⁽¹⁾.

2. Прежде всего отыскивается какое-то решение задачи — исходный опорный план. Затем посредством специальных показателей опорный план проверяется на оптимальность. Если план оказывается не оптимальным, переходят к другому плану. При этом второй и последующие планы должны быть лучше предыдущего. Так за несколько последовательных переходов от не оптимального плана приходят к оптимальному.