Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Механика.(Лекции 19-27, Яковлев В.П.).doc
Скачиваний:
157
Добавлен:
14.04.2015
Размер:
4.95 Mб
Скачать

Лекция № 19

Давление в жидкостях и газах. Распределение давления в жидкостях и газах, находящихся в состоянии равновесия. Закон Паскаля. Сила Архимеда. Условие плавания тел. Стационарное слоистое движение жидкости. Уравнение неразрывности струи. Уравнение Бернулли для идеальной жидкости и его применение. Формула Торичелли. Реакция вытекающей струи.

Жидкости и газы рассматривают в механике как сплошные сре­ды, непрерывно заполняющие часть пространства. Так же как итвердые тела, жидкости и газы принимают за систему материальных точек, каждая из которых является элементарным объемом.

Представление жидкости или газа в виде системы неизменно свя­занных между собой элементов допустимо, если жидкость покоится или движется как целое. В этом случае мы можем часть объема жидкости (или весь объем) рассматривать как твердое тело и приме­нять к нему законы механики твердого тела. Этот прием носит на­звание принципа отвердения.

Выделим внутри жидкости произвольный элемент и рассмотрим действующие на него силы. Их можно разделить на внутренние (действующие между частицами элемента) и внешние (действующие со стороны соседних элементов). Внутренние силы взаимно уравно­вешиваются, потому мы вправе их действия не учитывать.

Внешние силы, как и в случае твердого тела, разделим на мас­совые (действующие на каждую материальную частицу элемента) и поверхностные (приложенные к поверхности элемента). Вообще говоря, было бы важно знать и внутренние силы, чтобы характери­зовать напряженное состояние внутри выделенного элемента жид­кости. Однако в гидромеханике ограничиваются указанием некото­рого среднего напряженного состояния для объема в целом. В самом деле, если в выбранном элементе находится большое число молекул, движущихся хаотически, то установить детальную картину распре­деления взаимодействия между ними практически невозможно.

На первый взгляд определение среднего напряженного состояния внутри выделенного элемента тоже невозможно, так как внутрен­ние силы при суммировании уравнений, составленных для отдель­ных элементов, взаимно уничтожаются. Однако это затруднение можно обойти, если с помощью какого-либо приема внутренние силысделать внешними.

Как и для сплошного твердого тела, результирующую внутрен­них сил, отнесенную к единице площади сечения, называют напря­жением.

В покоящейся жидкости напряжения могут быть направлены только нормально к поверхности элемента. Это свойство обуслов­лено легкоподвижностью частиц жидкости. Если возникнет хотя бы малая составляющая внутренних сил в направлении, касатель­ном к поверхности элемента, частицы жидкости придут в дви­жение.

Возникновение внутренних напряжений в жидкости легко уста­новить на опыте. Поместим жидкость в замкнутый сосуд с поршнем (рис.1).

рис № 1 Возникновение внутренних напряжений в жидкости.

Положим, на поршень действует сила F. Если при этом некоторый слой жидкости, непосредственно прилегающий к поршню, находится в равновесии, то, следовательно, на него со стороны со­седних слоев жидкости действует сила, результирующая которой уравновешивает силу, действующую со стороны поршня.

В большинстве случаев силы, действующие на поверхность эле­мента жидкости, сжимают его, т. е. направлены внутрь элемента. Силы, направленные по нормали к поверхности объема внутрь его, называютсясилами давления.

Давление имеет размерность силы, деленной на площадь. За единицу давления принимают в СИ Н/

Давление на малой площадке, определяющей точку в покоящей­ся жидкости, одинаково при любой ориентации площадки.

Выделим внутри жидкости произвольную трехгранную призму (рис.2 )

рис. № 2 .Давление в плоскости жидкости не зависит от ориентации площадки.

Силы давления, действующие на противоположные осно­вания призмы, равны по величине и противоположны по направ­лению.

Силы давления Ft, F2, F3 на боковые грани призмы перпендику­лярны к ним.

Построим на этих силах силовой треугольник abc(рис №2). Его стороны перпендикулярны сторонам треугольникаABC, полученного сечением призмы плоскостью, параллельной основанию и проходящей через векторы. Следовательно, треугольникиABCиabcподобны:

. (1)

Напряжение на гранях призмы получим, если разделим силы на площади соответствующих граней. Но площади граней равныAC*h,AB*h,BC*h, гдеh— высота призмы. Следовательно ,

(2)

или

Таким образом, давление в покоящейся жидкости (статическое давление) одно и то же на всех трех гранях. Так как призма была выбрана произвольно, то условие (2) будет выполняться для лю­бой призмы (любой величины и любым образом ориентированной).

Уменьшая размеры призмы, мы придем к малым площадкам, различно ориентированным около некоторой точки. Как следствие этого положения может быть получен закон Паскаля: давление в любой точке покоящейся жидкости одинаково по всем направлениям и одинаково передается во все стороны.

Закон Паскаля используется в так называемых гидравлических прессах. Схема такого пресса изображена на рис. 3.

рис.№ 3 Схема гидравлическрго пресса

.Он со­стоит из двух сообщающихся между собой цилиндрических полостей С и Е, закрытых поршнями К и D, которые могут перемещаться вверх и вниз. Когда на поршень D действует сила , приложенная к рычагу H, то создаваемое ею давление передается жидкостью из цилиндра Е через вентиль В в цилиндр С. Сила действующая на поршень D, относится к силе F2, действующей со стороны жидкости на поршень К, как площадь сечения поршня D к площади сечения поршня К. При большой разнице размеров поршней (площади их сечений) можно получить большой выигрыш в силе, который и ис­пользуется в гидравлическом прессе. Гидравлические прессы широ­ко применяются в технике (при штамповке изделий, при подъеме тяжестей, например гидравлические подъемники автомобилей.

Выделим в однородной покоящейся жидкости элемент (рис. 4) в виде пря­моугольного параллелепипеда с пло­щадью основания S и гранями, парал­лельными направлению силы тяжести и имеющими высоту z

. Рис.№4 К выводу распределениягидростатического давления.

Так как жидкость, а вместе с ней и выделенный элемент по­коятся, то, следовательно, давления на его боковые грани уравновешиваются. Для того чтобы найти условие равнове­сия параллелепипеда в вертикальном направлении, надо учесть давленияи, действующие на нижнее и верхнее основания, и силу тяжести, действующую на параллелепипед. К верхнему основа­нию приложена сила , направленная вниз. Сила тяжести, дей­ствующая на весь параллелепипед, равна , где— плотностьжидкости, g—ускорение силы тяжести. На нижнее основание действует сила, направленная вверх. Применив принцип от­вердения для равновесия выделенного элемента жидкости в верти­кальном направлении, напишем условие, аналогичное условию рав­новесия твердого тела:

(3)

или

(12.4)(

(4)

Уменьшая параллелепипед и полагая высоту и площадь его ос­нования в пределе бесконечно малыми, получим из формулы (4):

(5)

(для равновесия элементарного параллелепипеда dp должно быть направлено противоположно силе тяжести, что и показывает знак «минус»).

Чтобы найти закон распределения давления в жидкости по вы­соте конечной величины, проинтегрируем правую и левую части это­го уравнения:

(6)

где р0 — давление на высоте z0 над условной горизонтальной плос­костью, р — давление в данной точке, находящейся на высоте z. Получим:

, (7)

где давление на нижнее основание призмы, создаваемое весом столба жидкости высотой h. Введя объёмный вес , перепишем уравнение (7) в виде:

. (8)

Это уравнение называется гидростатическим уравнением.

Давление жидкости на дно не зависит от формы сосуда, а только от высоты ее поверхности над дном (рис. 5). Давление на элемент боковой стенки сосуда зависит от его глубины под поверхностью жидкости (рис.6).

рис.№5 Гидростатический парадокс:

давление жидкости на дно зависит не

от формы сосуда, а только о высоты её

поверхности над дном.

рис.№6 Давление на элемент боковой поверхности сосуда.

Свободная поверхность однородной жидкости в сообщающихся сосудах устанавливается на одной высоте (рис. 7). В случае неод­нородных жидкостей высоты их свободных поверхностей в сообщаю­щихся сосудах над нулевой плоскостью обратно пропорциональны плотностям жидкостей (рис. 8).

рис.№7 Сообщающиеся сосуды.

Рис. № 8Вода и ртуть в сообщающихся сосудах.

Архимед установил, что кажущийся вес тела, погружённого в жидкость, меньше действительного на столько, сколько весит вытесненная телом жидкость.

Выделим мысленно объём жидкости такой же поверхности, как и поверхность данного твёрдого тела. Вообразим, что выделенная нами жидкость затвердела, сохраняя неизменной свою плотность. Равновесие в жидкости при этом , очевидно, не нарушиться. Следовательно, вес отвердевшей части жидкости равен силе давления, с которой на него действует окружающая жидкость. Другими словами, результирующая давлений покоящейся жидкости на произвольную замкнутую поверхность равна по величине и противоположна по направлению весу жидкости, заключённой внутри этой поверхности.

Следовательно, если мы поместим в жидкость твёрдое тело , которое займёт тот же объём , что и отвердевшая часть жидкости, то на него будет действовать выталкивающая сила, равная весу вытесненной им жидкости,

Закон Архимеда используется при оценке плавучести и остойчивости кораблей.

Условием плавания тел в жидкости, очевидно, является равенство его веса весу вытесненной им жидкости.

Представим себе в жид­кости трубку, боковая по­верхность которой состав­лена из прилегающих друг к другу линий тока (рис.9).

рис. № 9. Трубка тока.

Если течение стацио­нарно, то все частицы жид­кости, заключенные внутриэтой поверхности, останутся внутри нее во все время движения.Таким образом, поверхность, образованная линиями тока в жидкости, представляет собой как бы непроницаемую трубку. Часть жидкости, ограниченная линиями тока, пронизывающими замкнутый контур, называется трубкой тока. Размеры и положения кон­тура выбираются такими, чтобы в его пределах скорость течения можно было считать постоянной и направленной по нормали к кон­туру.

Очевидно, всякое движение жидкости, происходящее без разры­вов сплошности (без пузырьков и «пустот»), должно удовлетворять закону сохранения массы. Масса жидкости, прошедшей за время через какое-либо поперечное сечение трубки тока S, равна:

где — скорость частиц, постоянная в данном сечении,— плот­ность жидкости в том же сечении.

При стационарном потоке за один и тот же интервал времени через два разных сечения трубки тока иS2 должны проходить одинаковые массы жидкости. В противном случае масса жидкости, заключенной в объеме трубки между выбранными сечениями, изме­нялась бы, и течение перестало быть стационарным. Поэтому для стационарного течения

(9)

Для капельных жидкостей и для газов, когда сжимаемость последних роли не играет, можно считать плотность постоянной. Тогда уравнение (9) запишется в виде

,

или

(10)

Произведение величины скорости течения несжимае­мой жидкости на величину поперечного сечения трубки тока есть величина постоянная для данной трубки тока

(теорема неразрывности).

Рассмотрим участок трубки тока, ограниченный двумя попереч­ными сечениями А В и CD, площади которых соответственно равны St и S2 (рис. 10). Площади сечений возьмем достаточно малыми, чтобы скорости частиц и давления в пределах каждого из сечений можно было считать постоянными.

Рис.№10 . К выводу теоремы Бернулли.

Перемещаясь от сечения АВ к сечению CD, жидкость переходит в суженную часть трубки и, как следует из уравнения неразрывно­сти, движется ускоренно. Значит, на жидкость, находящуюся в дан­ный момент в суженной части трубки, действует со стороны жидко­сти, находящейся в более широкой ее части, некоторая сила, которая может возникнуть только вследствие разности давлений в раз­личных сечениях трубки. Сила направлена в сторону узкой час­ти трубки, следовательно, в ме­стах сужений давление меньше, чем в местах расширений.

Установим связь между дав­лением и скоростью жидкости в разных сечениях трубки, ограни­чиваясь рассмотрением идеальной жидкости (не учитывая вяз­кость и сжимаемость жидкости), что позволит нам считать работу внутренних сил в жидкости равной нулю. Трение между жидкостью и стенками сосуда будем считать отсутствующим (это позволит нам выбрать трубку в произвольном месте потока); движение — вполне установившимся (стационарным, при этом масса и энергия идеальной жидкости, заполняющей неко­торый объем трубки тока, остаются постоянными во все время дви­жения); линии тока — слабо искривленными (что позволит пре­небречь центростремительным ускорением частиц жидкости и связанным с ним изменением давления в поперечном сечении труб­ки тока).

К жидкости, заключенной в рассматриваемом объеме, можно применить второй закон динамики и написать для нее уравнение движения. Но так как в идеальной жидкости нет рассеяния механи­ческой энергии, то результат проще получить, применяя закон со­хранения энергии.

Покоящаяся жид­кость массой т обладает потенциальной энергией:

(11)

Если жидкость движется со скоростью о, то она обладает еще кинетической энергией, и полное значение энергии будет:

(12)

В выражении (12) давление р отлично от давлениярс, входящего в формулу (11), так как жидкость могла приобрести кинетическую энергию только за счет преобразования потенциальной энергии. При соблюдении первых трех из перечисленных выше ограниче­ний энергия жидкости, заключенной в выделенном объеме, остается неизменной. Следовательно, энергияжидкости массой, втекающей в объем за время через сечение, должна быть равна энергиижидкости массой, вытекающей за то же время че­рез сечение. Если плотность жидкости, то

Приравнивая правые части этих равенств и деля их на

(13)

получим:

(14)

или, учитывая, что

(15)

Так как сечения S1 и S2 взяты про­извольно, то вообще для любого сече­ния данной трубки тока

(16)

Это уравнение, полученное Д. Бернулли (1738 г.), связывает изменение давления в стационарном потоке идеальной жидкости с изменением скорости течения и геометрической высоты.

рис. № 11. Уравнение Бернулли можно применять к сечениям 1,2,3,4,5,6.

Закон Бер­нулли представляет собой закон постоянства полной удельной энер­гии частиц движущейся идеальной жидкости при стационарном те­чении. Формулы (16) и (15) выражают тот же закон сохраненияэнергии для единицы объема жидкости: —кинетическая энергияединицы объема жидкости, — его потенциальная энергия в поле силы тяжести, p — работа силы давления при подъеме единицы объ­ема на единицу высоты.

В выражении (14) все члены имеют размерность длины: и— геометрические высоты, и— пьезометрические высотыи — скоростной, или динамический, напор.

Таким образом, в теореме Бернулли отражены два физических факта: 1) сумма потенциальной энергии и кинетической энергии на всем протяжении данной трубки тока ве­личина постоянная; 2) сумма трех высот: пьезомет­рической, геометрической и скоростной остается по­стоянной в каждом сечении трубки.

Рассмотрим несколько практически важных применений теоремы Бернулли.

а) Скорость истечения из отверстия. Рассмотрим задачу, решен­ную еще Д. Бернулли, об истечении жидкости из открытого сосудачерез малое отверстие под действием силы тяжести. Пусть имеется широкий сосуд с жидкостью (рис. 171), уровень которой стоит на высоте z1 над дном сосуда. На высоте имеется малое (по сравнениюс сечением сосуда) отверстие с плавно закругленными краями. На свободную поверхность жидкости в сосуде действует атмосферное давление р1 такое же давление действует и на поверхность вытекаю­щей струи (сосуд невысок). Так как площадь сечения сосуда велика по сравнению с площадью сечения отверстия, то скорость движения частиц свободной поверхности мала по сравнению со скоростью частиц в отверстии и ею можно пренебречь.

Линии тока в отверстии можно считать параллельными и направ­ленными перпендикулярно плоскости его сечения. Все линии тока начинаются на поверхности жидкости, которая медленно снижается по мере вытекания жидкости из сосуда. Тогда для каждого момента времени мы можем написать уравнение Бернулли:

,

где величины с индексом 1 относятся к сечению, совпадающему со свободной поверхностью жидкости в сосуде, а с индексом 2 — к сече­нию струи в отверстии. Но по условию

и .

Тогда

,

откуда

,

т. е. скорость частиц в отверстии такова, как если бы частицы под действием собственного веса падали с высоты h. Формула эта носит названиеформулы Торричелли.

рис.№12. Сжатие струи:

а)отверстие без насадки, б)цилиндрическая насадка. в)насадка по форме струи

Решая задачу с помощью теоремы Бернулли, мы пренебрегали вязкостью жидкости и считали линии тока перпендикулярными плоскости сечения отверстия. На самом же деле частицы подходятк отверстию по криволинейным траекториям и не могут в отверстии внезапно изменить направление движения, вследствие чего струя оказывается несколько сжатой и площадь ее сечения меньше пло­щади отверстия (рис. 12).

Для проверки формулы Торричелли проще всего измерить объем жидкости, вытекающей из отверстия за время , и, разделив его на время, получить величину расхода жидкости Q, которая должна удовлетворять равенству:

где S — площадь сечения отверстия.

При сравнении фактического и вычисленного расхода жидкости первый оказывается меньше второго. Коэффициент пропорциональ­ности между ними называют в гидравликекоэффициентом истече­ния или коэффициентом расхода:

Коэффициент различен для разных жидкостей (зависит от их вязкости) и отверстий разной формы (зависит от степени сжатия струи).

б) Некоторые приборы для измерения давлений и скоростей в жидкости

( трубки Пито-Прандтля, трубка Орлова).

в) Использование в технике зависимости давления в жидкости от величины её скорости.

Лекция №20.

Течение вязкой жидкости. Ламинарное и турбулентное течения, число Рейнольдса. Движение тела в жидкостях и газах. Сила лобового сопротивления и подъёмная сила . Подъёмная сила крыла самолёта, формула Жуковского.

Рассмотрим течение смачивающей жидкости по горизонтальной трубе круглого сечения радиуса r. Жидкость считаем несжимаемой и вязкой. Предположим, что течение стационарное и происходит цилиндрическими слоями, параллельными стенкам трубы.

Обозначим скорость течения в некоторой точке поперечного сече­ния трубы v, расстояние этой точки от оси трубы у.

Выделим внутри жидкости элементарный цилиндрический объем с осью, совпадающей с осью трубы, и боковой поверхностью, парал­лельной стенкам трубы и проходящей через точку с координатой у. Высоту цилиндра вдоль течения обозначим (рис. 1). Так как движение стационарное и равномерное, то силы давления, действую­щие на основание цилиндрического объема , и сила вязкоготрения, действующая на боковую поверхность цилиндра

должны уравновешиваться.

Cледовательно,

или

После интегрирования, полагая, что у стенок имеет место прили­пание жидкости, т. е. скорость на расстоянии r от оси равна нулю (vr=0), получим:

(1)

Это соотношение устанавливает закон распределения скоростей течения в данном сечении трубы. Считая падение давления на еди­ницу длины трубы постоянным ( ) и объединяя постоян­ные, получим:

(2)

т. е. скорость частиц жидкости распределяется в сечении трубы по параболическому закону. Вершина параболы лежит на оси трубы (рис. 1).

рис.№1 К выводу распределения скорости в цилиндрической трубе.

рис.№2 К выводу закона Гагена-Пуазейля.

Непосредственную опытную проверку этого закона про­вести трудно, так как любой измеритель скорости, помещенный в трубу, искажает распределение скоростей в месте измерения. По­этому подсчитаем расход жидкости (количество жидкости, проте­кающей через сечение трубы за единицу времени) в предположении, что выражение (1) справедливо, а затем сравним его с фактиче­ски измеренным расходом. Так как скорость частиц жидкости зави­сит от расстояния от стенки трубы, то мы подсчитаем элементарный расход жидкости через кольцевое сечение радиуса у и толщиной dy (рис. 2), в пределах которой скорость течения можно считать по­стоянной.

За единицу времени через площадь кольцевого сечения вытекает объём жидкости:

(3)

или с учетом равенства (1)

(4)

Интегрируя по всем кольцевым сечениям от 0 до r, получим рас­ход жидкости в трубе:

. (5)

Разделив расход жидкости на площадь поперечного сечения трубы получим среднюю скорость в сечении:

(6)

Эта зависимость называется законом Гагена Пуазейля: средняя скорость параллелоструйного течения жидко­сти в трубе прямо пропорциональна падению напора на единицу длины трубы, квадрату радиуса трубы и об­ратно пропорциональна коэффициенту вязкости жид­кости.

Движение жидкости параллельными слоями называется лами­нарным течением.

Величина равна потере давления на единицу длины трубы,

Так как труба горизонтальна () и сечение ее постоянно, то. Следовательно,

, (7)

где —величина диссипации механической энергии единицы объёма жидкости в единицу времени,т. е. сила сопротивления при ламинарном течении прямо пропорциональна первой степени скорости.

Проверка закона Гагена — Пуазейля осуществляется легко. При этом получается неожиданный результат. Уравнение (6) оказывается справедливым лишь при малых скоростях течения жид­кости и.малых размерах труб. Точнее говоря, при малых значениях безразмерного числа

где vcpсредняя скорость, — плотность жидкости,r — радиус трубы, — коэффициент вязкости жидкости. Число Re носит на­звание числа Рейнольдса.

При ламинарном движении жидкость движется слоями, и скорости в каждом сечении параллельны друг другу; скорости частиц жидкости меняются от твердых гра­ниц внутрь потока по параболическому закону; сопро­тивление движению жидкости или твердого тела в ней прямо пропорционально первой степени скорости, причем сопротивление обязано своим происхождением действию сил вязкости.

Если траектории частиц жидкости искривляются, то на них долж­на действовать некоторая сила, сообщающая им центростремитель­ное ускорение. В потоке вязкой жидкости на каждую частицу дейст­вуют сила давления р и сила вязкости FB. Эти силы и обусловливают возникновение ускорения частиц.

По второму закону Ньютона

Если система отсчета связана с движущейся частицей, то в этой системе на частицу будет действовать сила инерции, равная

Можно предположить, что степень устойчивости ламинарного течения характеризуется отношением сил инерции к силам вязкости, так как силы инерции, видимо, тем больше, чем больше отклонение траекторий частиц в потоке от прямолинейного направления, а сила вязкости препятствует возникновению этих отклонений.

Силы инерции выражаются через произведение плотности жид­кости на объем и на производную скорости по времени.

Производную от скорости по времени можно представить как величину, пропорциональную отношению:

,

где —некоторая скорость, характерная для данной задачи,—некоторая характерная длина. Масса , т.е. произведение плотности на объём, пропорциональна. Тогда сила инерции:

=.

Сила вязкости пропорциональна производной скорости по рас­стоянию некоторой площади и коэффициенту вязкости:

Найдем отношение Fи к FB. Легко видеть, что оно равно с точ­ностью до постоянного множителя безразмерному числу, котороемы назвали числом Рейнольдса:

(8)

где —коэффициент кинематической вязкости.

В число Рейнольдса (8) вхо­дят некоторая скоростью, размер /0 и коэффициент кинематической вяз­кости. Коэффициент вязкости опре­делен, если известна жидкость в потоке, для которого вычисляется значение Re. Скорость 0 есть ско­рость, характерная для данного случая течения жидкости, напри­мер: для течения жидкости в длин­ной трубе это средняя скорость в сечении трубы, для случая обтека­ния жидкостью шарика это ско­рость его движения относительно жидкости и т. д. Характерным раз­мером в случае течения жидкости в трубе служит диаметр трубы, при обтекании малого по сравнению с размерами потока шарика — диаметр шарика и т. д.

Пока число Рейнольдса мало, силы вязкости преоб­ладают над силами инерции и всякое возмущение, случайно возникшее в жидкости, гаситься.

При возрастании скорости токе воды, и размеров потока (или убы­вании вязкости) силы инерции становятся при прочих равных усло­виях близкими по величине к силам вязкости. Случайные искрив­ления траекторий частиц жидкости возникают легче и существуют дольше. Этому режиму течения жидкости соответствует некоторая область значений числа Рейнольдса, которая называется критической.

Наконец, если число Рейнольдса больше критического значения, силы инерции значительно превышают силы вязкости и случайно возникшие возмущения развиваются в толще потока. На рисун­ке 3 изображено развитие возмущения, возникшего на выступе твердой границы. Со временем весь поток оказывается заполнен­ным возмущениями. Частицы жидкости движутся по искривленным, случайно изменяющимся во времени траекториям . Такое движение называется турбулентным.

Рис.№3 Развитие случайного

возмущения в потоке жидкости.

Переход от ламинарного к турбулентному режиму течения на­блюдается для всех жидкостей при одном и том же значении чис­ла Рейнольдса Reкр. Следовательно, критическая скорость , при которой осуществляется этот переход, меняется в зависимости от размеров потока и вязкости таким образом, что критическое значение числа Рейнольдса для всех жидкостей остается постоян­ным.

Ламинарному течению соответствуют значения чисел Рейнольдса примерно до Re=\000. Переход от ламинарного к турбулентному течению происходит в области значений Re от 1000 до 2000. При значениях больших 2000 течение турбулентное.

Подъемная сила Fn возни­кает в результате существования циркуляционного движения жид­кости вокруг тела.

Строгая математическая теория подъемной силы разработана великим русским механиком Н. Е. Жуковским. Он показал, что те­чение вблизи крыла можно рассматривать как два одновременно су­ществующих течения идеальной жидкости: непрерывного обтекания с плавно изогнутыми линиями тока и циркуляционного течения во­круг крыла (рис. 4). Частицы жидкости при этом деформируются, но не вращаются, т. е. движение удовлетворяет условию потенциаль­ности. При потенциальном движении особая физическая величина — циркуляция скорости по любому замкнутому геометрическому контуру, охватывающему тело,величина постоянная.

рис.№4 Возникновение подъёмной силы крыла самолёта.

Найдем подъемную силу. Пусть поток обтекает крыло, располо­женное под углом атаки к направлению скорости v0 в невозмущен­ном потоке; давление в невозмущенном потоке р0. Положим, скоро­сти циркуляционного течения в точках сверху и снизу крыла, от­стоящих на расстоянии х от передней кромки, соответственно и v2 и давление и . Напишем уравнение Бернулли для двух тру­бок тока, проходящих одна сверху другая снизу крыла. Одно сече­ние возьмем в невозмущенной части потока, второе — на расстоянии х от передней кромки.

Тогда

для верхней трубки тока и

для нижней трубки тока. Отсюда

Так как при малых углах атаки v1 и v2 мало отличаются от v0, поло­жим

Тогда

Выделим около точки с координатой х полоску шириной dx вдоль хорды крыла и длиной в направлении размаха крыла /. Результи­рующая сила давления на выделенную полоску:

Значение результирующей, действующей на всю поверхность крыла:

Но интеграл

представляет собой циркуляцию скорости по контуру, проведенному вокруг крыла. Таким образом:

Эта формула носит название формулы Жуковского Кутта, где

Г=,

величина циркуляции скорости.

Л Е К Ц И И 21-23. К О Л Е Б А Т Е Л Ь Н Ы Е П Р О Ц Е С С Ы

В природе и технике часто происходят процессы, повторяющиеся во времени. Такие процессы называются колебаниями.

Качания маятника часов, волны на воде, переменный электрический ток, свет, звук, и т.д. являются примерами колебаний различных физических величин. Все эти процессы качественно отличаются друг от друга, но оказывается, что количественные закономерности (т. е. математические выражения) этих процессов имеют много общего. Именно это обстоятельство придает учению о колебаниях его важное значение. Изучая на этих двух лекциях механические колебания, мы получим также знания - в других областях, например, из области электромагнитных колебаний, радиотехники, оптики, и др.

1. Гармонические колебания

И

Рис. 1

зучим простейшую колебательную систему – тело массы m, прикрепленное к пружине и скользящее без трения по горизонтальному столу (рис. 1).

Рассмотрим движение этого грузика под действием однократно приложенной силы. Отклонение обозначим через х, и предположим, что имеем дело с абсолютно упругой пружиной. В этом случае пружина действует на груз с упругой силой F, пропорциональной смещению х и направленной в сторону обратную смещению, т. e. F= - kx, где k - коэффициент пропорциональности, называемый также жесткостью пружины. Знак "минус" означает, что сила упругости противодействует смещению.

В физике встречаются силы иного происхождения, чем упругие, которые обнаруживают такую же закономерность, т. е. оказываются равными -kx, где k – постоянная положительная величина.

Силы такого вида, независимо от их природы, принято называть квазиупругими.

Под действием этой однократно приложенной силы грузик начнет совершать колебания.

Механическая система, совершающая колебания около положения равновесия, называется классическим осциллятором.

Промежуток времени, по истечению которого движение повторится, называется периодом колебания и обозначается Т, [Т] = с.

Частота колебаний равна числу полных колебаний за 1 с: . Частота измеряется в Гц. 1 Гц - это одно колебание за 1 с. В технике частоты измеряются также в килогерцах (1 кГц = 103 Гц), мегагерцах (1 Мгц = 106 Гц), гигагерцах (1ГГц = 109 Гц ).

Выведем уравнение колебаний гармонического осциллятора.

Напишем 2-й закон Ньютона: F = та, где F = -kx, а ускорение . В итоге получаем или

, (1)

где . (2)

Уравнение (1) является обыкновенным линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Его решением будет:

или , (3)

где А - амплитуда колебаний, т. е. наибольшее отклонение колеблющегося грузика от положения равновесия; оно задается начальными условиями при однократном приложении силы.

Поскольку значения какcos так и sin через 2 радиан повторяются, то можно найти связь между периодом Т0 и , откуда

(4)

- называется собственной круговой частотой. Она равна числу полных колебаний за секунд. Для вращательного движения круговая частота и величина угловой скоростисовпадают.

Рис. 2

Выражение в скобках (3) называют фазой колебания. Она определяет смещение в данный момент времени t; начальная фаза. Она характеризует смещение в начальный момент времени t = 0 и определяется начальными условиями, как и амплитуда А.

П

усть , тогда .

График этого уравнения приведен на рис. 2. Из (2) и (4) следует, что период колебания не зависит от амплитуды колебанийА.

Скорость (5)

пропорциональна амплитуде и круговой частоте, и отличается по фазе от смещения (3) на . Максимальная скорость .

Ускорение (6)

пропорционально A и , и по направлению совпадает с направлением силы , а по фазе отличается от скорости (6) на, и от смещения (3) – на . Максимальное ускорение .

Простейшее периодическое колебание, при котором смещение изменяется со временем по закону cos или sin называется гармоническим колебанием.

Как следует из (5) и (6) скорость и ускорение колеблющегося груза изменяется со временем также по гармоническому закону, т. е. по закону sin и cos.