Распространение колебаний в однородной ciiлошной среде бегущие волны

В природе и технике мы встречаем огромное разнообразие волн: волны и зыбь океанов, волны землетрясений, сейсмические волны, волны звука, волны в натянутой струне или в кристалле кварца, который используется для излучения или приема ультразвука, электромагнитные волны — свет, радио и даже волны вероятности (!), которые рассматривает квантовая механика при изучении поведе­ния электронов, атомов и т. п.

При всех различиях в происхождении и проявлении волн они обладают целым рядом общих свойств. Эти свойства могут быть выяв­лены и математически описаны в общем виде, одинаковом для раз­личных физических систем. Установив, что явление определяется волнами, мы можем предсказать многие особенности явления не­зависимо от механизма возбуждения и передачи волн.

Наша задача — выяснить некоторые общие свойства волн на примере волн механических. Как можно возбудить механические волны?

Система, помещенная в какую-либо среду (например, в воздух пли в воду), колеблясь, взаимодействует с частицами, находящимися в прилегающем слое среды. Она создает непрерывный ряд импульсов деформаций, следующих один за другим и распространяющихся в среде. Если скорость распространения каждого отдельного импуль­са не зависит от их амплитуд и формы (пока импульсы достаточно малы), то они распространяются, следуя в порядке их возбуждения колеблющейся системой, сохраняя свою первоначальную форму.

Положим, система колеблется по гармоническому закону, тогда вынуждающая сила, с которой она действует на прилегающие час­тицы среды, заставляя их колебаться, также меняется по гармони­ческому закону. Частицы среды колеблются с частотой вынуждаю­щей силы, т. е. с частотой колебания системы.

Будем считать границу среды настолько удаленной от источника колебаний, что возмущения не успевают за время наблюдения от­разиться от нее, и затухание колебаний настолько малым, что им можно пренебречь.

Частицы среды, прилегающие к колеблющейся системе, прихо­дят в колебание одновременно с возникновением колебаний системы. Очевидно, частица, отстоящая от системы на расстоянии x в на­правлении распространения колебаний, начнет колебаться, когда до нее дойдет начало распространяющегося в среде возмущения. Пусть скорость распространения возмущения в среде с.

Если колебания системы происходят по закону:

, (1)

То точка среды, отстоящая от нее на расстоянии х ,колеблется по тому же закону, но в момент t она имеет смещение, которое имела частица, прилегающая к возмущающей системе, в момент

.

Таким образом, частицы среды смещаются по закону:

(2)

Это уравнение носит название уравнения бегущей волны. Оно оп­ределяет величину смещения частицы от положения равновесия как функцию времени t и ее расстояния х от источника возмущения.

Введем вместо частоты период () :

(3)

Если зафиксировать определенное значение времени t, то уравне­ния (1) и (2) дадут нам распределение смещений частиц вдоль направления распространения волн в зависимости от расстоя­ния х. Смещения точек, отстоящих друг от друга на расстоянии х=сТ, в один и тот же момент времени t₁ будут, как следует из равенства (3), одинаковы. Следовательно, распространение ко­лебаний в среде — периодический в пространстве процесс. Если в уравнении (1) зафиксируем значение x=x₁, т. е. выделим в среде определенную частицу, отстоящую на x₁ от источ­ника колебаний, то закон ее колебания:

(4)

где

Колебания в каждой точке среды — процесс периоди­ческий во времени.

Процесс распространения колебаний в сплошной среде, периоди­ческий во времени и в пространстве, называется волновым процессом.

Расстояние между двумя частицами среды, испытывающими в один и тот же момент времени одинаковое смещение, называется длиной волны λ. Как мы видели выше, длина волны равна расстоя­нию, которое проходит волна за один период:

λ=сТ. (5)

Равенство (3) можно записать в виде

(6)

Частицы среды колеблются с одинаковой амплитудой, но точка, отстоящая на x₁ от начальной, имеет относительно нее сдвиг фаз . На расстоянии одной длины волны фаза колебания изменяется на 2π. Величину— называютволновым числом. Оно показывает, сколько длин волн укладывается на отрезке длиной 2π. Вводя вол­новое число, уравнение бегущей волны можно записать в виде

(7)

Уравнения (2), (3), (4) и (5) совершенно равноправ­ны. Они описывают один и тот же волновой процесс.

Как и в случае распространения импульса, частицы среды не перемещаются вслед за волной. При прохождении волны они лишь колеблются около положения равновесия. Еще в XV в. Леонардо да Винчи, гений, соединявший в себе наблюдательность художника и интуицию ученого, писал: «Волнения гораздо подвижнее воды, поэтому часто случается так, что волна ускользает от места ее возникновения, а вода остается на том же месте, подобным же обра­зом ведут себя волны, создаваемые ветром на некошеном поле: волны бегут по полю, а стебли злака остаются на месте».

Скорость распространения волны с — это скорость распростра­нения возмущения, вызывающего смещение частиц от положения равновесия. Если на поверхность озера положить в направлении распространения волн веревку с пробковыми поплавками, отстоя­щими друг от друга на равных расстояниях, то легко заметить, что поплавки и веревка в целом не перемещаются в направлении движе­ния волны. Они лишь поднимаются и опускаются, причем в из­вестной и постоянной последовательности.

Мы видели, что точки, отстоящие друг от друга на расстоянии, равном длине волны λ=сТ, колеблются в одинаковой фазе. Можно сказать, что фаза за время одного периода «пробегает» расстояние λ или движется со скоростью с. Поэтому скорость распространения волны называют фазовой скоростью. Если в данной среде скорость распространения импульса не зависит от его величины и формы, фазовая скорость совпадает со скоростью распространения отдель­ного импульса.

Как следует из уравнения (5),

. (8)

За время одного полного колебания фиксированной частицы сре­ды (4) волна (2) распространяется на расстояние, равное длине волны. Если частица в секунду совершает ν колебаний, то волна проходит ν длин волн.

Если смещения частиц среды от положения равновесия в волне параллельны направлению ее распространения, волна называется продольной, если перпендикулярны — поперечной