- •1. Гармонические колебания
- •2. Потенциальная и кинетическая энергии
- •3. Векторная диаграмма гармонического колебания
- •4. Комплексная форма представления колебаний
- •6 Рис. 4 Рис. 5 Рис. 6. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
- •7. Гармонические осцилляторы
- •7.1. Математический маятник
- •7.2. Пружинный маятник
- •7.3. Физический маятник
- •8. Свободные затухающие колебания
- •8.1. Логарифмический декремент затухания
- •9. Вынужденные колебания
- •Распространение колебаний в однородной ciiлошной среде бегущие волны
- •Энергия волнового движения. Поток энергии. Вектор умова.
- •Плоские и сферические волны
- •Принципы гюйгенса и гюйгенса — френеля. Законы отражения и преломления волн. Дифракция
- •Интерференция волн
- •Стоячие волны
- •Кинетическая и потенциальная энергия стоячей волны.
- •Природа звука. Звуковое поле
- •Скорость звука и ее измерение
- •Отражение и преломление звука на границе двух сред.
- •Распространение звука.
- •Характеристики звука.
- •Источники звука
- •Эффект доплера
- •Акустический резонанс
- •Ультразвук
- •Инфразвук
Кинетическая и потенциальная энергия стоячей волны.
Выделим в среде, где установилась продольная стоячая волна, элементарный объем ΔV, достаточно малый, чтобы можно было считать скорости колебательного движения частиц одинаковыми, а деформацию однородной. Выделенный объем обладает кинетической энергией
Так как для стоячей волны
то
Подставив это выражение в формулу для ΔЕк, получаем:
. (3)
Отсюда видно, что кинетическая энергия, выделенного объема изменяется во времени, как квадрат косинуса, и что существуют такие точки волны, в которых кинетическая энергия равна нулю в любой момент времени (). Эти точки называютсяузлами кинетической энергии. Они совпадают с узлами смещения. Точки, в которых ΔЕк имеет наибольшее значение () , называютсяпучностями кинетической энергии. Такие точки совпадают с пучностями смещения.
Выделенный объем среды ΔV обладает и запасом потенциальной энергии
Подставляя сюда выражение
и учитывая, что , получаем:
Так как , a окончательно
(4)
Из этого соотношения видно, что потенциальная энергия фиксированного объема также изменяется во времени, но уже по закону синуса в квадрате. В те моменты времени, когда кинетическая энергия равна нулю (cos ωt= 0), потенциальная энергия достигает максимума (sin ωt= 1). Это значит, что колебания кинетической и потенциальной энергии сдвинуты во времени на четверть периода (T/4). Напомним, что в бегущей волне оба вида энергии изменяются в одной фазе.
Потенциальная энергия зависит не только от времени, но и от положения выделенного объема ΔV. Имеются такие точки стоячей волны, где потенциальная энергия равна нулю в любой
момент времени (). Эти точки называются узлами потенциальной энергии. Существуют и пучности потенциальной энергии ().Сопоставляя (3) с (4), приходим к выводу, что узлы потенциальной энергии приходятся на пучности кинетической энергии. И наоборот, пучности потенциальной энергии совпадают с узлами кинетической энергии. На рисунке 7 показаны графики распределения амплитуд кинетической энергии и потенциальной энергии.
Рис.7
Из графиков видно, что пучности кинетической энергии и пучности потенциальной энергии сдвинуты в пространстве на четверть длины волны (λ/4). Таким образом, в отличие от бегущих волн максимумы кинетической и потенциальной энергии разобщены не только во времени на (на T/4), но и в пространстве (на λ/4).
Когда кинетическая энергия волны максимальна, ее потенциальная энергия равна нулю. Через четверть периода кинетическая энергия обращается в нуль, потенциальная энергия достигает максимума. Однако участки среды, где наблюдаются максимумы потенциальной энергии, отстоят на λ/4 от тех участков, где четверть периода назад была максимальна кинетическая энергия. В стоячей волне наблюдается периодически повторяющийся переход кинетической энергии в потенциальную и обратно, что в определенной степени аналогично переходам энергии в простой колебательной системе (например, математическом маятнике). В отличие от бегущих стоячие волны не переносят энергии. Действительно, кинетическая энергия через Т/4 перейдет в потенциальную и переместится в пространстве на четверть волны, например в сторону положительных х. В следующую же четверть периода потенциальная энергия вновь перейдет в кинетическую и переместится и пространстве на λ/4 в противоположную сторону.
Таким образом, средний за каждый полупериод поток энергии через площадку, поставленную перпендикулярно оси х, будет равен нулю.
Лекция 26