31.Закон больших чисел. Теорема Бернулли. Теорема Пуассона.

В широком понимании закон больших чисел состоит в прогнозировании значения многомерной СВ при сравнительно широких условиях. При этом суммарное поведение достаточно большого числа СВ становится практически неслучайным.

Для практики важно знание условий, при выполнении которых совокупное действие многих СВ приводит к результату, практически независимому от случая.

В узком понимании, закон больших чисел – это ряд теорем, в каждой из которых, при определенных условиях устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа испытаний к некоторым постоянным величинам.

Теорема Бернулли. Частота событий m/n в серии из n-независимых испытаний, в каждом из которых оно может наступить с одной и той же вероятностью P при n→∞ сходится по вероятности к вероятности p наступления этого события в отдельном испытании

т.к. имеет место схема незав-х испытаний СВ Х им.бином.ЗР, тогда по теории Чебышева:

Теорема Пуассона. Частота события в n повторных испытаниях в кажд. из кот-х оно может наступить соответствует с вероятностями p1,p2,…pn

при n→∞ сходится по вероятности к средней арифметической вероят-ти наступления события в отдельных испытаниях т.е. также следует из теоремы Чебышева.

32.Закон больших чисел. Центральная предельная теорема.

В широком понимании закон больших чисел состоит в прогнозировании значения многомерной СВ при сравнительно широких условиях. При этом суммарное поведение достаточно большого числа СВ становится практически неслучайным.

Для практики важно знание условий, при выполнении которых совокупное действие многих СВ приводит к результату, практически независимому от случая.

В узком понимании, закон больших чисел – это ряд теорем, в каждой из которых, при определенных условиях устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа испытаний к некоторым постоянным величинам.

Теорема ЛяпуноваЕсли ,х2,…,хn независимые СВ каждый из кот-х имеет матем. ожидание M(xi)=ai, D(xi)=Qi^2, i=1,n и абсолютный третий центральный элемент 3-го порядка = и

Yn=x1+x2+..+xn

при n→∞ неограниченно приближает к норм. ЗР

M(Yn)=,D(Yn)=

33. Корреляционный момент и коэффициент корреляции.

Корреляционным моментом (ковариацией) СВ Х и У называется математическое ожидание произведения централизованных СВ Х и У.

Или второй смешанный центральный момент СВ Х иУ.

Свойства.

1) K_xy=K_yx. Следует из определения корреляционного момента .

2) K_xy = М(XY)-М(X)М(Y)

3)

Корреляционный момент характеризует степень разброса возможных значений СВ Х и У относительно из мат. ожид. с одной стороны и с другой стороны вид зависимости (прямая или обратная) между СВ Х и У.

K_{xy <0} – х и у находится в обратной зависимости

K_{xy >0} - х и у находятся в прямой зависимости

Коэффициент корреляции (r_xy)СВ Х и У называется отношение их корреляционного момента к произведению их средних квадратических отклонений.

коэффициент корреляции безразмерная величина

Свойства коэффициента корреляции:

1. r_xy = 0. М/у СВ Х и У отсутствует линейная связь

2. 

│r_xy│=1, то СВ Х и У находится в жесткой линейной зависимости

r_{xy <0} – обратная связь

r_{xy >0-} прямая линейная зависимость

Неравенство 0 коэфф. корреляции свидетельствуют о наличии линейной зависимости м/у СВ, т. е. СВ Х и У коррелированны.

Из некоррелированности СВ Х и У не следует их независимость. Кроме линейной зависимости м/у СВ может существовать и другие виды зависимости.

Из условия независимости СВ следует из некоррелированность.

Исключения составляет система СВ в которой каждая СВ имеет нормальный закон распределения, то есть если в системе СВ каждая компонента распределена по нормальному закону, и является некоррелированным, то это СВ называется также независимости.