8.5 Задачі для самостійного розв’язання

1. Знайдіть суміжні класи:

а) групи за підгрупою;

б) групи за підгрупою;

в) групи за підгрупою;

г) групи за підгрупою;

д) мультиплікативної групи G комплексних чисел, які лежать на одиничному колі за підгрупою коренів-го степеня з 1;

е) адитивної групи дійсних чисел R за підгрупоюцілих чисел;

ж) групи за підгрупою.

2. Знайдіть суміжні класи адитивної групиза будь-якою власною підгрупою: 1); 2); 3); 4).

3. Знайдіть суміжні класи мультиплікативної групиза усіма підгрупами.

4. НехайG– циклічна група,,g– утворюючий елементG,H– циклічна підгрупа групиG, породжена елементом, деd– дільникm. Доведіть, що елементиє повною системою представників суміжних класів.

5. Доведіть, що підгрупа коренів-го степеня з одиниці є нормальним дільником мультиплікативної групи комплексних чисел, які лежать на одиничному колі.

6. Чи буде нормальним дільником у групімножина всіх матриць вигляду, де числа– непарні,– парні?

7. Знайдіть усі підгрупи, відмінні від одиничної та всієї групи, які будуть нормальними дільниками у групах: а); б); в); г); д); е)(група парних перестановок з чотирьох елементів).

9 Фактор-групи

9.1 Мета заняття

Навчити студентів доводити ізоморфність конкретної фактор-групи будь-якій з відомих груп.

9.2 Методичні вказівки з організації самостійної роботи

У темі «Операції над групами. Фактор-групи» студент повинен знати поняття фактор-групи, ізоморфізму; вміти застосовувати на практиці теоретичні знання [3, c. 179-183; 312-313].

9.3 Контрольне завдання

1. Дайте визначення фактор-групи, нормального дільника групи.

9.4 Приклади розв’язання аудиторних задач

Приклад 1.Знайти фактор-групу адитивної групи цілих чисел, за підгрупою цілих чисел, кратних чотирьом.

Розв’язок. Фактор-групою називається група, яка побудована на множині суміжних класів. Суміжні класи знайдені у прикладі 2 теми „Суміжні класи”.

,

,

,

.

У першому суміжному класі об’єднані елементи, які мають остачу 0 при діленні на 4, у другому – остачу 1, у третьому – 2, у третьому – 3. Фактор-множина , а операція у фактор-групі – додавання за модулем 4. Складемо таблицю Келі для фактор-групи, щоб перевірити виконання аксіом групи.

Фактор-група циклічна, утворюючі елементи . Порядок фактор-групи 4.

Приклад 2.Знайти фактор-групу групиза підгрупою.

Розв’язок. Для кожного, лівий суміжний клас групи G по H має вигляд– двостороння послідовність із кроком 1. Тоді одна точкатакої послідовності лежить в інтервалі, який необхідно вибрати як множину представників. Наприклад,. Суміжний клас має вигляд. Якщо, то представником класу суміжностібуде число. Це і є визначена операція. Отримали нескінчену фактор-групу.

Приклад 3.Довести ізоморфність, де– множина комплексних чисел, що лежать на одиничному колі.

Розв’язок. Тут класи суміжності – кола різного радіуса. Як множину представників можна вибрати підгрупу. Задамо відображення вигляду, при якому кожний суміжний клас (коло фіксованого радіуса) відображується в додатне число (радіус). Отже.

Приклад 4.Нехай– група іїї одинична підгрупа. Знайти фактор-групита.

Розв’язок.Як відомо, у будь-якій групісама групата одинична підгрупає її нормальними дільниками. Лівостороннє та правостороннє розкладання групиза підгрупоюскладається з одного суміжного класу, а лівостороннє й правостороннє розкладання групиза підгрупоюскладається з усіх елементів групи. Множина суміжних класів групиза нормальним дільникомз визначеної операцією множення називається фактор-групою і позначається. Таким чином, якщо у групівизначити операцію множення суміжних класів, то,.

Приклад 5.Знайти фактор-групу мультиплікативної групи коренів 6-го степеня з одиниці за підгрупою.

Розв’язок.Елементи групи

, де .

Кількість суміжних класів . Знаходимо їх.

1) ; 2); 3).

Фактор-група . Операція у фактор-групі – множення.