4.5 Задачі для самостійного розв’язку

1.Чи будуть числа виглядупідгрупою у Q за додаванням?

2.Доведіть, що дані підмножини комплексних чисел будуть підгрупами у групі G=[C/0,] за множенням :

а) коло одиничного радіуса : S¹={zС\0 | |z|=1};

б) корні m-го степеня з 1: .

3.Чи будуть підгрупами в групі:

а) пряма, що проходить через 0; б) пряма, яка не проходить через 0?

4.Чи будуть підгрупами втакі підмножини:

а) ,

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

5.Нехай– множина всіх невироджених матриць. Розглянемо дані множини:

а) , б),

в) .

Довести, що це групи відносно множення матриць. Які з них є підгрупами одна одної?

6.Чи утворять групу відносно множення:

а) невироджені верхнєтрикутні матриці; б) невироджені симетричні матриці?

7.Перевірити, чи утворять групу відносно множення матриці обертань площини:

.

8.Скільки елементів містить напівгрупа, що складається з усіх степенів матриці

?

Чи є ця напівгрупа групою?

9.Чи утворить групу за додаванням множина верхнєтрикутних матриць?

10.Знайти порядок елемента групи

.

11.У мультиплікативній групі невироджених матриць 2-го порядку з комплексними коефіцієнтами знайти порядки елементів: 1); 2); 3); 4); 5); 6); 7); 8).

12.Знайти порядки всіх елементів у групах: 1); 2); 3); 4); 5).

13. Вказати мінімальну підгрупу, яка містить елемент 1); 2); 3); 4). Операцію в групі вибрати довільним чином.

14. У групівказати мінімальну підгрупу, яка містить множину 1); 2); 3); 4); 5); 6).

15. У групівказати мінімальну підгрупу, яка містить множину 1); 2); 3); 4).

16. У групівказати мінімальну підгрупу, яка містить множину 1); 2); 3); 4).

17. Скільки елементів порядку 6 міститься у групі: 1); 2); 3); 4); 5); 6)(група парних перестановок з п’яти елементів)?

5 Циклічні групи

5.1 Мета заняття

Ознайомити студентів з конкретними прикладами циклічних груп і вивчити основні закономірності будови циклічних груп.

5.2 Методичні вказівки з організації самостійної роботи

Студент повинен мати поняття про циклічну групу, її зв'язок з абелевою групою, а також основні теореми про порядок будь-якого елемента та вміти застосовувати теоретичні знання до розв’язання задач [3, c. 143-146].

5.3 Контрольні запитання та завдання

1. Дайте визначення порядку елемента.

2. Який елемент називається утворюючим?

5.4 Приклади розв’язання аудиторних задач

Приклад 1.Перевірити, чи буде адитивна групаз операцією додавання за модулем 4 циклічною. У разі позитивної відповіді вкажіть усі утворюючі елементи.

Розв’язок.Група називається циклічною, якщо всі її елементи можуть бути подані, як степені з цілими показниками деякого одного елемента. Цей елемент називається утворюючим.

Група . По черзі підноситимемо всі елементи до степеня.

Елемент 0 у будь-якому степені дає 0, тобто порядок цього елемента 1. . Елемент 0 не є утворюючим елементом.

Елемент 1. ,,. Порядок цього елемента 4.. Елемент 1 є утворюючим елементом групи, тому що, підносячи цей елемент до степеня отримуємо всі інші елементи групи.

Елемент 2. . Порядок цього елемента 2.. Елемент 2 не є утворюючим елементом групи, тому що, підносячи цей елемент до степеня, отримуємо тільки елементи 2 та 0.

Елемент 3. ,,. Порядок цього елемента 4.. Елемент 3 є утворюючим елементом групи, тому що, підносячи цей елемент до степеня, отримуємо всі інші елементи групи.

Відповідь: група є циклічною, утворюючі елементи :та.

Приклад 2.Знайдіть усі підгрупи адитивної групиз операцією додавання за модулем 4.

Розв’язок.Користуючись попереднім прикладом, маємо такі підгрупи:

, ,.

Згідно з теоремою Лагранжа, порядок групи ділиться на порядок підгрупи. Порядок групи дорівнює 4. Число 4 ділиться без остачі на 1, 2, 4. Тому будуть підгрупи порядку один (підгрупа), порядку два (підгрупа), порядку чотири (підгрупа).

Приклад 3.Довести, що кореніm-го степеня з 1 утворять циклічну групу порядкуу групі.

Розв’язок.Нехай– корінь-го степеня з 1. Тоді. Візьмемо. Відповідно до формули Муавра,. Отже,– утворюючий елемент групи. Оскільки різнимвідповідають різні, то єрізних коренів, звідси випливає, що– циклічна група порядку.

Приклад 4.Довести, що всі підгрупи циклічної групи – циклічні.

Розв’язок.Нехай спочатку G – циклічна група порядку,– будь-який утворюючий елемент G та– будь-яка підгрупа групи. Всі елементи групи G, не рівні, є додатними степенями елемента. Нехайd– найменший з додатних показниківk, для якого, аякий-небудь елемент із H. Розділимоsнаdз залишком, тобто запишемо,. Тоді. Оскільки, тоді. Алета, через мінімальність,. Отже,, тобто– утворюючий елемент підгрупи. Випадок:– нескінченна циклічна група, розібрати самостійно.

Приклад 5.Випишіть всі утворюючі елементи мультиплікативної циклічної групипорядку 10.

Розв’язок.За умовою, тобто. Перевіримо, чи буде елементутворюючим. Знаходитимемо степені елемента.

, ,,.. Елементне є утворюючим елементом.

Для :,,,,,,,,.

Таким чином, .

Зрозуміло, що не будуть утворюючими елементами циклічної групи. Перевіримо елементи.,. Абуде утворюючим елементом групи ітакож є утворюючим елементом.