2.5 Задачі для самостійного розв’язання

1.Охарактеризуйте кожну із заданих операцій, тобто з'ясуєте, чи є операція комутативною, асоціативною, чи існує одиничний відносно неї елемент, для яких елементів існують обернені елементи.

На множині задані алгебраїчні операції рівностями:

а) , (найменше спільне кратне);

б) , , в) , ;

г) , ; д) , ;

е) , ; ж) , .

2.Нехай,– булеан,– множина усіх підмножин множини, і на множинізадані алгебраїчні операції рівностями:

1) ;

2)

Охарактеризуйте кожну із заданих операцій.

3.Наведіть приклад алгебраїчної операції на множині, відносно якої для певного елементаіснують обернені елементи: 1); 2).

3 Основні властивості груп

3.1 Мета заняття

Ознайомити студентів з основними поняттями напівгруп і груп; з’ясувати деякі властивості напівгруп і груп загального характеру.

3.2 Методичні вказівки з організації самостійної роботи

Студент повинен знати: поняття напівгрупи, моноїда, групи, абелевої групи, їхні властивості; вміти розв’язувати задачі за даною темою [3, c. 133-140].

3.3 Контрольні запитання

1. Яка алгебраїчна структура називається напівгрупою, моноїдом, групою?

2. Яка група називається абелевою?

3.4 Приклади розв’язання аудиторних задач

Приклад 1.З'ясуйте, чи утворюють групу кожні із множин відносно названої операції та вкажіть, які із груп абелеві. Множина:

1) цілих чисел відносно: а) додавання, б) множення, в) віднімання;

2) непарних чисел відносно додавання;

3) вільних векторів площини відносно додавання векторів;

4) невироджених матриць порядку з дійсними елементами відносно: а) множення, б) додавання.

Розв’язок. Згадаємо основні властивості алгебраїчних структур з однією бінарною операцією:

1) замкненість ;

2) асоціативність ;

3) наявність одиничного елемента ;

4) наявність оберненого елемента .

5) комутативність .

Залежно від кількості виконання властивостей, алгебраїчні структури поділяються на:

• групоїд (виконується тільки властивість 1);

• напівгрупи (виконуються тільки властивості 1-2);

• моноїди (виконуються тільки властивості 1-3);

• групи (виконуються тільки властивості 1-4);

• абелеві групи (виконуються всі властивості 1-5).

Повернемося до приклада.

1) а) перевіряємо виконання аксіом групи:

Замкненість. Для , отже, множиназамкнена відносно операції додавання.

Асоціативність виконується.

Наявність одиничного елемента. . Для операції додавання одиничний елемент – це число 0, тому що. (Одиничний за додаванням елемент називають ще нульовим).

Всі елементи множини мають обернені (протилежні для операції додавання) елементи,.

Операція додавання комутативна на .

Висновок: – абелева група.

б) Розглянемо структуру . Перевіримо виконання аксіом групи: замкненість, асоціативність, комутативність – виконуються. Одиничним для множення елементом є число 1. Для цілого числанемає елемента, що належить, щоб виконувалася умова. Лише числа 1 та –1 мають обернені (зворотні для множення) елементи.і, тобтой.

Висновок: – комутативний моноїд.

в) –групоїд (не виконується асоціативність).

2) . Сума двох непарних чисел є парним числом, тобто сума не належить множині. Розглянута структура не утворює групу.

3) Використовуючи визначення суми двох векторів, переконаємося, що всі аксіоми групи для множини вільних векторів площини виконуються. Нульовий вектор є одиничним елементом. Вектором, протилежним до вектора , є вектор, що лежить на одній прямій з векторомі протилежно йому направлений. Виконується комутативність– Множина векторів є абелевою групою.

4) а) Розглянемо множину невироджених матриць порядку з операцією додавання. Структура не є групою, хоча операція додавання матриць має властивості комутативності, асоціативності, нульова матриця є одиничним елементом, але вона не належить множині. Якщо, то(не виконується замкненість).

б) Структура є групою. Перевіримо виконання аксіом:

4.1. Нехай та. Існуєта, тоді. Операція замкнена.

4.2. Для добутку матриць виконується асоціативність, тобто .

4.3. Матриця буде одиничним елементом за множенням, тому що.

4.4. Оскільки , то існує, причому, отже,.

У загальному випадку , тому група неабелева.

Приклад 2. Нехай елементи,мають обернені. Довести, що елементитатакож мають обернені та.

Розв’язок.Доведення проводимо шляхом прямого обчислення. Маємо. Аналогічно

Приклад 3. Довести закон скорочення у моноїді: якщо елементамає оберненний, то з.

Розв’язок.Помножимо рівністьна обернений елементліворуч. Тоді одержимо. Операція у моноїді асоціативна та, тоді одержуємо.

Приклад 4. Довести, що одиничний елемент у моноїді єдиний.

Розв’язок.Нехай є два одиничних елементи. Тоді, тому що– одиничний елемент. З іншого боку,, тому що– одиничний елемент. Отже,.