- •Міністерство освіти і науки україни
- •1 Множина комплексних чисел. Дії з комплексними числами
- •1.5 Задачі для самостійного розв’язання
- •2.5 Задачі для самостійного розв’язання
- •3 Основні властивості груп
- •3.5 Задачі для самостійного розв’язання
- •4 Підгрупи
- •4.5 Задачі для самостійного розв’язку
- •5 Циклічні групи
- •5.5 Задачі для самостійного розв’язання
- •6 Перестановки
- •6.5 Задачі для самостійного розв’язання
- •7 Гомоморфізм груп
- •7.5 Задачі для самостійного розв’язання
- •8 Суміжні класи
- •8.5 Задачі для самостійного розв’язання
- •9 Фактор-групи
- •9.5 Задачі для самостійного розв’язання
- •10 Основні властивості кілець і полів
- •10.5 Задачі для самостійного розв’язання
- •11 Гомоморфізм кілець. Ідеали
- •11.5 Задачі для самостійного розв’язання
- •12 Операції над ідеалами. Фактор-кільця
- •12.5 Задачі для самостійного розв’язку
- •13 Кільце лишків. Алгоритм евкліда
- •13.5 Задачі для самостійного розв’язання
- •Термінологічний словник
- •Рекомендована література
5.5 Задачі для самостійного розв’язання
1. Перевірте, що множинаутворює циклічну групу відносно операції додавання за модулемm(результат – залишок від діленнянаm). Цю операцію позначають.
2.Знайти всі утворюючи елементи групп: 1), 2), 3), 4), 5).
3.Випишіть всі підгрупи в адитивних групах з операцією додавання за модулем: а); б); в); г).
4.У мультиплікативній групі комплексних чисел випишіть корені: а), б)і в)в алгебраїчній формі. Знайдіть всі утворюючі елементи цих груп. Чи є групи циклічними? Випишіть всі підгрупи.
5.Перевірте, що матриці
E=; A=; B=; C=
утворюють циклічну групу за множенням. Знайдіть всі утворюючі елементи. Випишіть всі підгрупи.
6.Доведіть, що множина всіх симетрій 1) правильного трикутника, 2) квадрата, 3) ромба, що не є квадратом, 4) прямокутника, що не є квадратом, є групою відносно множення симетрій як відображень.
7.З’ясуйте, чи будуть циклічними такі групи. У разі позитивної відповіді вкажіть всі утворюючі елементи. Група симетрій 1) правильного трикутника, 2) квадрата, 3) ромба, що не є квадратом, 4) прямокутника, що не є квадратом.
8.З’ясуйте, чи будуть циклічними дані групи. У разі позитивної відповіді вкажіть всі утворюючі елементи. Група обертань 1) правильного трикутника, 2) квадрата, 3) ромба, що не є квадратом, 4) прямокутника, що не є квадратом.
9. Наведіть по два приклади циклічних груп скінченого та нескінченого порядків.
10. У циклічній групіпорядкузнайти всі елементи, які задовольняють умові, та всі елементи порядкупри:
1) ; 2); 3); 4); 5); 6).
11. Знайти всі підгрупи в циклічній групі порядку: а) 24; б) 100, в) 360; д) 125.
12. Нехай у деякій неодиничній групі всі неодиничні елементи мають однаковий порядок. Доведіть, що– просте число.
13. Довести, що у будь-якій групі парного порядку є елемент порядку 2.
14.НехайG– довільна скінчена група порядку. Доведіть, що
15.Покажіть, що якщо– утворюючий елемент підгрупиHциклічної групиGпорядкуm, тоd – дільник m.
16.Покажіть, що якщоd– дільникm,,, то– утворюючий елемент власної підгрупи H циклічної групи G.
17. Нехайg– утворюючий елемент циклічної групиGпорядкуm. Довести, що якщо– утворюючий елемент, тоді НСД.
6 Перестановки
6.1 Мета заняття
Ознайомити студентів з поняттям перестановки, навчити описувати властивості перестановок.
6.2 Методичні вказівки з організації самостійної роботи
Студент повинен мати поняття про перестановку, її порядок, парність, вміти застосовувати теоретичні знання до розв’язання задач [3, c. 146-154].
6.3 Контрольні завдання
1. Дайте визначення перестановки, її порядку, парності.
2. Нехай . Знайти.
6.4 Приклади розв’язання аудиторних задач
Приклад 1.Розкладіть перестановку в добуток незалежних циклів і транспозицій, визначте її порядок і парність.
Розв’язок.Незалежним цикломназивається перестановка, яка елементi1переводить уi2,i2- вi3, ...,in– вi1, а інші елементи залишає на місці. Будь-яку перестановку можна розкласти в добуток незалежних циклів.
.
Порядок перестановки – це найменше спільне кратне довжин незалежних циклів ..
Транспозицією називається цикл довжиною два: . Будь-яка перестановка є добутком транспозицій. Цей добуток можна отримати так:.
Для заданої перестановки добуток транспозицій має вигляд .
Число , де– кількість транспозицій, називається парністю перестановки. Якщо.
Для заданої перестановки . Тобто перестановка непарна.
Приклад 2.Знайдіть, якщо.
Розв’язок.Для розв’язання задачі визначимо порядок перестановки. Для цього розкладемо її в добуток незалежних циклів
. Тоді НСДНСДта.
Приклад 3.Знайдіть перестановкуз рівності, якщо
, ,.
Розв’язок.Рівністьпомножимо ліворуч ната праворуч на, враховуючи, щоотримаємо.
Обернену перестановку отримуємо з перестановки, міняючи місцями рядки. Обчислимо,, підставляючи їх у вираз для, знаходимо
.
Перевірка: перевіримо, що . Дійсно
.
Приклад 4.Знайдіть перестановки множинипереставні з перестановкою, якщо.
Розв’язок.Перестановкиназиваються переставними, якщо. Відразу можна сказати, що перестановкипереставні з.,.
У загальному випадку дві перестановки непереставні.