7.5 Задачі для самостійного розв’язання

У задачах 1–9перевірте, чи є зазначені відображення гомоморфізмами. Знайдіть їхнє ядро та образ. Визначте тип гомоморфізму.

1.:

a) ; б); в); г);

д) ; е),; ж).

2.:

а) ; б); в); г); д)е).

3.

4.

5.а), б)

6.а) б)  в) 

7.а) ; б); в), де.

8.а) , б) .

9.; а); б); в); г); д); е); ж).

10.Чи буде перетворенняповної лінійної групи, автоморфізмом?

11.НехайG– мультиплікативна абелева група. Доведіть, що перетворення: а), де– гомоморфізм; б)– ізоморфізм.

12.Для яких групвідображення, визначене правилом а), б)є гомоморфізмом?

13.Нехай. Довести, що відображеннявигляду– гомоморфізм. Знайти його ядро та образ.

14.Знайти всі ізоморфізми між групамита.

15.Довести, що група порядку 6 або комутативна, або ізоморфна групі .

16.Довести, що якщо раціональне числоне дорівнює нулю, то відображенняє автоморфізмом групи. Знайти всі гомоморфізми групи .

17.Знайти всі гомоморфні відображення адитивних груп:

а) ; б); в); г); д).

8 Суміжні класи

8.1 Мета заняття

Навчити студентів описувати суміжні класи в термінах конкретних задач. Потрібно, за можливості, описувати суміжні класи за допомогою геометричних термінів.

8.2 Методичні вказівки з організації самостійної роботи

Студент повинен знати: поняття лівого суміжного класу групиза підгрупою, правого суміжного класу; теорему про два лівих суміжних класи, теорему Лагранжа, теорему про циклічну групу [3, c. 164-168].

8.3 Контрольні запитання й завдання

1. Чи є суміжний клас підгрупою; моноїдом; напівгрупою?

2. Сформулюйте теорему Лагранжа. Чи справедлива обернена теорема?

8.4 Приклади розв’язання аудиторних задач

Приклад 1.Виписати суміжні класи адитивної групиз операцією додавання за модулем 12 за підгрупою.

Розв’язок. Відомо, що. Для скінчених груп кількість суміжних класів (індекс групи за підгрупою) знаходиться за формулою, де– порядок групи,– порядок підгрупи..

Лівим суміжним класом називається множина . Сама підгрупає суміжним класом. Цей суміжний клас отримуємо. Знайдемо ще 2 суміжних класи. Перебираємо елементи групи, елемент 1 не увійшов у перший суміжний клас. Отже, другим суміжним класом буде:

.

Третім суміжним класом буде:

.

Таким чином, група . Праві суміжні класи збігаються з лівим.

Приклад 2.Виписати суміжні класи адитивної групи цілих чиселза підгрупою цілих чисел. кратних чотирьом.

Розв’язок. Відомо, що. Будуємо ліві суміжні класи. Сама підгрупає суміжним класом, тобто. Знайдемо ще суміжних класи.

,

,

.

Якщо братимемо елемент 4, то суміжний клас співпаде з .

Об’єднуючи всі суміжні класи, отримуємо всі елементи групи. . Праві суміжні класи збігаються з лівим.

Приклад 3. Знайти суміжні класи адитивної групи G=[R²,+] векторів площини, що виходять із початку координат, за підгрупою H=[Oх,+] векторів, що лежать на осі.

Розв’язок.Нехайбудь-який вектор. Суміжний клас, що відповідає вектору, за визначенням. З геометричних міркувань маємо, що якщо, то кінці векторівлежать на прямій, яка паралельна осіта проходить через кінець вектора. Таким чином, суміжний класє "віяло" векторів, що виходять із початку координат, кінці яких лежать на прямій, паралельній осі. Оскільки при фіксованому початку координат можна ототожнити вектор з його кінцевою точкою, то можна сказати, що суміжний класє пряма, яка проходить через точкупаралельно.

Приклад 4. Доведіть, що підгрупаматриць із визначниками, рівними одиниці (спеціальна лінійна група) є нормальним дільником повної лінійної групи.

Розв’язок.Підгрупаназивається нормальним дільником групи, якщо.

Для доведення покажемо, що підгрупа разом з кожним своїм елементоммістить також елемент, для довільного.

Оскільки , то. Знайдемо, отже,.

Приклад 5.Доведіть, що будь-яка підгрупа індексу два є нормальним дільником.

Розв’язок.Підгрупа є нормальним дільником, якщо ліві та праві суміжні класи співпадають. Якщо індекс підгрупи, то існує два суміжних класи.або ж, звідки випливає, що, тобтоє нормальним дільником групи.