3.5 Задачі для самостійного розв’язання

1. З'ясуйте, чи утворює групу кожна із множин відносно названої операції, і вкажіть, які із груп абелеві. Множина:

1) , де –- одна з множин ;

2) , де – одна з множин ;

3) , де – одна з множин ;

4) цілих чисел кратних відносно додавання ();

5) степенів даного дійсного числа з цілими показниками відносно множення;

6) коренів -го степеня з одиниці (як дійсних, так і комплексних) відносно множення;

7) комплексних чисел з фіксованим модулем відносно множення;

8) ненульових комплексних чисел, розташованих на променях, які виходять з початку координат і утворюють з променем кути , відносно множення;

9) ненульових комплексних чисел з модулем, який не перевищує фіксоване число , відносно множення;

10) матриць порядку із цілими (раціональними, дійсними, комплексними) елементами відносно: а) додавання, б) множення;

11) невироджених матриць порядку з раціональними (дійсними, комплексними) елементами відносно: а) множення, б) додавання;

12) матриць порядку із цілими (раціональними, дійсними, комплексними) елементами та визначником, рівним відносно множення:

а) 1, б) ;

13) матриць порядку із дійсними елементами з фіксованим визначником відносно множення;

14) діагональних матриць порядку із дійсними елементами відносно додавання;

15) діагональних матриць порядку із дійсними елементами відносно множення;

16) діагональних матриць порядку із дійсними елементами, всі елементи діагоналей яких відмінні від нуля, відносно множення;

17) верхньотрикутних матриць порядку із дійсними елементами відносно множення;

18) нижньотрикутних матриць порядку із дійсними елементами відносно множення;

19) верхньотрикутних матриць порядку із дійсними елементами відносно додавання;

20) нижньотрикутних матриць порядку із дійсними елементами відносно додавання.

2.Доведіть, що одиничний елемент моноїда завжди має обернений та.

3.Доведіть, що обернений елемент єдиний.

4.Наведіть приклад моноїда, в якому обернений елемент має тільки одиничний елемент.

5. Наведіть по два приклади 1) груп з двох та трьох елементів; 2) скінчених та нескінчених груп.

6. Визначте тип алгебраїчної структури.

1) ,,,,,;

2) ,,,,;

3) ,,,,;

4) ,;

5) , де– множина векторів площини, які виходять з початку координат.

7.Доведіть, що якщо в групі виконується тотожність, то група комутативна.

4 Підгрупи

4.1 Мета заняття

Ознайомити студентів з конкретними прикладами підгруп; навчити студентів відрізняти підгрупи від довільних підмножин у групі; встановити деякі властивості підгруп.

4.2 Методичні вказівки з організації самостійної роботи

За темою студент повинен: знати поняття підгрупи, порядку елемента, властивості груп; вміти застосовувати теоретичний матеріал до розв’язання задач за темою [3, c. 140-143].

4.3 Контрольні запитання й завдання

1. Чи буде множина групою за множенням? Які елементи воборотні?

2. Чи будуть парні числа підгрупою вза додаванням; непарні числа {} підгрупою вза додаванням?

3. Дайте визначення порядку елемента.

4.4 Приклади розв’язання аудиторних задач

Приклад 1. Підмножина H групи G називається підгрупою, якщо множина H, розглянута сама по собі, є групою відносно операції, заданої на G. Довести, що H є підгрупою мультиплікативної групи G, якщо виконуються такі умови:

1. ;

2. ;

3. .

Доведення. Для того, щоб Н була групою, необхідно перевірити виконання чотирьох аксіом групи:

• (замкненість);

• (асоціативність);

• (існування одиничного елемента);

• (існування оберненого елемента).

Враховуючи, що H – підмножина в G, а алгебраїчна операція в така сама, що і в , то асоціативність можна не перевіряти: те, що вірно для всіх елементів з групи G, вірно і для елементів з підгрупи H. Потрібно перевірити:

1) умову існування одиничного елемента ;

2) (замкненість);

3) у будь-якого h існує обернений елемент, тому що G – група, слід перевіряти умову .

Приклад 2. Які із зазначених нижче підмножин є підгрупами групи а) ; б) ; в) .

Розв’язок. Перевіряємо умови, сформульовані у прикладі 1:

а) . Отже, – підгрупа;

б), також . Висновок: не є підгрупою;

в) EMBED Equation.3 Але, якщо і , то – не підгрупа.

Приклад 3. Нехай – адитивна абелева група, і – її підгрупи. Нехай . Доведіть, що – підгрупа в . Де в доведенні використовується комутативність групи ?

Доведення. Під час доведення замкненості відносно операції використовується комутативність групи .

Нехай . Покажемо, що . З випливає, що та , де , . Тоді . Тут використо-вується комутативність. Враховуючи, що , а – підгрупа, то , аналогічно , тоді . Властивість асоціативності виконуватиметься, тому що вона виконується для всієї групи. Одиничний елемент (нульовий) існує та належить .

Перевіримо, що обернені (протилежні) елементи належать .

Нехай , де – підгрупи групи , отримуємо, і , тоді та . Переконаємося в цьому. Розглянемо 

.

–підгрупа групи .

Приклад 4. Знайти порядок елемента у мультиплікативній групі невироджених матриць 2-го порядку з дійсними коефіцієнтами.

Розв’язок. Нагадаємо, порядком елемента називається найменше додатне число  таке, що .

У мультиплікативній групі невироджених матриць одиничним елементом є одинична матриця . Тобто шукатимемо таке число , щоб .

.

. Робимо висновок, що порядок елемента дорівнює 3. Або .

Приклад 5. Визначити порядок елемента 2 у групі .

Розв’язок. Одиничним елементом у групі є .

; ; . Порядок .

Приклад 6. Доведіть, що для будь-яких елементів групи однаковий порядок мають елементи: 1) і ; 2) і ; 3) і .

Розв’язок. 1. Нехай , тобто . Доведемо, що й . Розглянемо . Доведено, що .

2. Нехай , доведемо, що . Представимо . Скористаємося асоціативністю та запишемо, що . Звідси .

3. Нехай , доведемо, що . Розпишемо . Рівність домножимо праворуч на , отримаємо , домножимо , звідки , тоді .

Приклад 7. Доведіть, що якщо у групі порядок кожного неодиничного елемента дорівнює двом, то вона абелева.

Доведення. Нехай . Так як , то , то та з того, що , тобто , випливає, що . , але . Таким чином, , тобто група абелева, якщо порядки неодиничних елементів дорівнюють двом.