- •Міністерство освіти і науки україни
- •1 Множина комплексних чисел. Дії з комплексними числами
- •1.5 Задачі для самостійного розв’язання
- •2.5 Задачі для самостійного розв’язання
- •3 Основні властивості груп
- •3.5 Задачі для самостійного розв’язання
- •4 Підгрупи
- •4.5 Задачі для самостійного розв’язку
- •5 Циклічні групи
- •5.5 Задачі для самостійного розв’язання
- •6 Перестановки
- •6.5 Задачі для самостійного розв’язання
- •7 Гомоморфізм груп
- •7.5 Задачі для самостійного розв’язання
- •8 Суміжні класи
- •8.5 Задачі для самостійного розв’язання
- •9 Фактор-групи
- •9.5 Задачі для самостійного розв’язання
- •10 Основні властивості кілець і полів
- •10.5 Задачі для самостійного розв’язання
- •11 Гомоморфізм кілець. Ідеали
- •11.5 Задачі для самостійного розв’язання
- •12 Операції над ідеалами. Фактор-кільця
- •12.5 Задачі для самостійного розв’язку
- •13 Кільце лишків. Алгоритм евкліда
- •13.5 Задачі для самостійного розв’язання
- •Термінологічний словник
- •Рекомендована література
3.5 Задачі для самостійного розв’язання
1. З'ясуйте, чи утворює групу кожна із множин відносно названої операції, і вкажіть, які із груп абелеві. Множина:
1) , де –- одна з множин ;
2) , де – одна з множин ;
3) , де – одна з множин ;
4) цілих чисел кратних відносно додавання ();
5) степенів даного дійсного числа з цілими показниками відносно множення;
6) коренів -го степеня з одиниці (як дійсних, так і комплексних) відносно множення;
7) комплексних чисел з фіксованим модулем відносно множення;
8) ненульових комплексних чисел, розташованих на променях, які виходять з початку координат і утворюють з променем кути , відносно множення;
9) ненульових комплексних чисел з модулем, який не перевищує фіксоване число , відносно множення;
10) матриць порядку із цілими (раціональними, дійсними, комплексними) елементами відносно: а) додавання, б) множення;
11) невироджених матриць порядку з раціональними (дійсними, комплексними) елементами відносно: а) множення, б) додавання;
12) матриць порядку із цілими (раціональними, дійсними, комплексними) елементами та визначником, рівним відносно множення:
а) 1, б) ;
13) матриць порядку із дійсними елементами з фіксованим визначником відносно множення;
14) діагональних матриць порядку із дійсними елементами відносно додавання;
15) діагональних матриць порядку із дійсними елементами відносно множення;
16) діагональних матриць порядку із дійсними елементами, всі елементи діагоналей яких відмінні від нуля, відносно множення;
17) верхньотрикутних матриць порядку із дійсними елементами відносно множення;
18) нижньотрикутних матриць порядку із дійсними елементами відносно множення;
19) верхньотрикутних матриць порядку із дійсними елементами відносно додавання;
20) нижньотрикутних матриць порядку із дійсними елементами відносно додавання.
2.Доведіть, що одиничний елемент моноїда завжди має обернений та.
3.Доведіть, що обернений елемент єдиний.
4.Наведіть приклад моноїда, в якому обернений елемент має тільки одиничний елемент.
5. Наведіть по два приклади 1) груп з двох та трьох елементів; 2) скінчених та нескінчених груп.
6. Визначте тип алгебраїчної структури.
1) ,,,,,;
2) ,,,,;
3) ,,,,;
4) ,;
5) , де– множина векторів площини, які виходять з початку координат.
7.Доведіть, що якщо в групі виконується тотожність, то група комутативна.
4 Підгрупи
4.1 Мета заняття
Ознайомити студентів з конкретними прикладами підгруп; навчити студентів відрізняти підгрупи від довільних підмножин у групі; встановити деякі властивості підгруп.
4.2 Методичні вказівки з організації самостійної роботи
За темою студент повинен: знати поняття підгрупи, порядку елемента, властивості груп; вміти застосовувати теоретичний матеріал до розв’язання задач за темою [3, c. 140-143].
4.3 Контрольні запитання й завдання
1. Чи буде множина групою за множенням? Які елементи воборотні?
2. Чи будуть парні числа підгрупою вза додаванням; непарні числа {} підгрупою вза додаванням?
3. Дайте визначення порядку елемента.
4.4 Приклади розв’язання аудиторних задач
Приклад 1. Підмножина H групи G називається підгрупою, якщо множина H, розглянута сама по собі, є групою відносно операції, заданої на G. Довести, що H є підгрупою мультиплікативної групи G, якщо виконуються такі умови:
1. ;
2. ;
3. .
Доведення. Для того, щоб Н була групою, необхідно перевірити виконання чотирьох аксіом групи:
(замкненість);
(асоціативність);
(існування одиничного елемента);
(існування оберненого елемента).
Враховуючи, що H – підмножина в G, а алгебраїчна операція в така сама, що і в , то асоціативність можна не перевіряти: те, що вірно для всіх елементів з групи G, вірно і для елементів з підгрупи H. Потрібно перевірити:
1) умову існування одиничного елемента ;
2) (замкненість);
3) у будь-якого h існує обернений елемент, тому що G – група, слід перевіряти умову .
Приклад 2. Які із зазначених нижче підмножин є підгрупами групи а) ; б) ; в) .
Розв’язок. Перевіряємо умови, сформульовані у прикладі 1:
а) . Отже, – підгрупа;
б), також . Висновок: не є підгрупою;
в) EMBED Equation.3 Але, якщо і , то – не підгрупа.
Приклад 3. Нехай – адитивна абелева група, і – її підгрупи. Нехай . Доведіть, що – підгрупа в . Де в доведенні використовується комутативність групи ?
Доведення. Під час доведення замкненості відносно операції використовується комутативність групи .
Нехай . Покажемо, що . З випливає, що та , де , . Тоді . Тут використо-вується комутативність. Враховуючи, що , а – підгрупа, то , аналогічно , тоді . Властивість асоціативності виконуватиметься, тому що вона виконується для всієї групи. Одиничний елемент (нульовий) існує та належить .
Перевіримо, що обернені (протилежні) елементи належать .
Нехай , де – підгрупи групи , отримуємо, і , тоді та . Переконаємося в цьому. Розглянемо
.
–підгрупа групи .
Приклад 4. Знайти порядок елемента у мультиплікативній групі невироджених матриць 2-го порядку з дійсними коефіцієнтами.
Розв’язок. Нагадаємо, порядком елемента називається найменше додатне число таке, що .
У мультиплікативній групі невироджених матриць одиничним елементом є одинична матриця . Тобто шукатимемо таке число , щоб .
.
. Робимо висновок, що порядок елемента дорівнює 3. Або .
Приклад 5. Визначити порядок елемента 2 у групі .
Розв’язок. Одиничним елементом у групі є .
; ; . Порядок .
Приклад 6. Доведіть, що для будь-яких елементів групи однаковий порядок мають елементи: 1) і ; 2) і ; 3) і .
Розв’язок. 1. Нехай , тобто . Доведемо, що й . Розглянемо . Доведено, що .
2. Нехай , доведемо, що . Представимо . Скористаємося асоціативністю та запишемо, що . Звідси .
3. Нехай , доведемо, що . Розпишемо . Рівність домножимо праворуч на , отримаємо , домножимо , звідки , тоді .
Приклад 7. Доведіть, що якщо у групі порядок кожного неодиничного елемента дорівнює двом, то вона абелева.
Доведення. Нехай . Так як , то , то та з того, що , тобто , випливає, що . , але . Таким чином, , тобто група абелева, якщо порядки неодиничних елементів дорівнюють двом.