1.5 Задачі для самостійного розв’язання

1. Обчисліть 1) ;2) ; 3) ;4) .

2. Знайдіть всі значення коренів: 1) ; 2) ; 3) .

3. Доведіть, що .

4. Вкажіть на площині множини точок, що зображують комплексні числа й задовольняють нерівностям: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) .

2 БІНАРНІ АЛГЕБРАЇЧНІ ОПЕРАЦІЇ

2.1 Мета заняття

Ознайомити студентів з основними властивостями бінарних алгебраїчних операцій, з поняттям одиничного, оберненого елемента.

2.2 Методичні вказівки з організації самостійної роботи

Студент повинен знати властивості комутативності, асоціативності. Вміти знаходити одиничний, обернений елементи; вміти розв’язувати задачі заданоютемою[3, c. 133-140].

2.3 Контрольні запитання

1. Що називається одиничним, оберненим елементом?

2. Яка операція називається комутативною, асоціативною?

2.4 Приклади розв’язання аудиторних задач

Приклад 1. На множинізадана алгебраїчна операціярівністюНСД. З'ясуйте, чи є ця операція комутативною, асоціативною, чи існує одиничний відносно неї елемент, для яких елементів існують обернені елементи.

Розв’язок.Згадаємо властивості операцій:

– комутативність ;

– асоціативність ;

– наявність одиничного елемента ;

– наявність оберненого елемента .

Найбільший спільний дільник (НСД) двох або декількох натуральних чисел – найбільше із чисел, на яке ділиться кожне з даних чисел.

Оскільки НСДНСД, то операція комутативна.

Для довільних розглянемо такі рівності:НСДНСД,(НСД)=НСД; отже, – операція асоціативна.

За визначенням, одиничним елементом називається елемент, що належить множині, для якого виконується умова . У нашому випадку такий елемент має задовольняти умові НСД. У множині із заданою операцією немаєодиничного елемента.

Приклад 2. На множинізадана операціярівністю. Визначити властивості цієї операції.

Розв’язок.1. Нехай. Розглянемо, отже, операціяне комутативна.

2. Для знайдемо, розглянемо. Але, тому операціяне асоціативна.

3. Одиничного елемента немає, тому що умови ,не виконуються для жодного.

Приклад 3. Нехай,– булеан, тобто множина усіх підмножин множини, і на множинізадана алгебраїчна операціярівністю. Охарактеризуйте цю операцію.

Розв’язок.1. Операціякомутативна, тому що.

2. Операція асоціативна, тому що.

3. Одиничним елементом є порожня множина .

4. Обернений елемент існує тільки для одиничного елемента .

Приклад 4. На множинівизначимо дві алгебраїчні операції:

– залишок від ділення на. Цю операцію назвемо додаванням за модулемі позначатимемо символом;

– залишок від ділення на. Цю операцію назвемо множенням за модулемі позначатимемо символом.

Охарактеризуйте операції додавання та множення за модулем . Дляскладіть таблиці Келі.

Розв’язок.1. Операціядодавання за модулем:

– комутативна, оскільки залишок від ділення надорівнює залишку від діленняна;

– асоціативна, тому що , де;

– одиничним елементом є 0, тому що виконуються умови , для;

– елементом, оберненим до елемента , є елемент, що випливає з виконання умови.

2. Операція множення за модулем:

– комутативна, оскільки залишок від ділення надорівнює залишку від діленняна;

– асоціативна, оскільки , де(залишки однакові);

– одиничним елементом є одиниця, тому що виконуються умови , для;

– для елемента обернений елемент існує тоді й тільки тоді, коли.

Складемо таблиці Келі:

		0	1			0	1
	0	0	1		0	0	0
	1	1	0		1	0	1

		0	1	2			0	1	2
	0	0	1	2		0	0	0	0
	1	1	2	0		1	0	1	2
	2	2	0	1		2	0	2	1

		0	1	2	3			0	1	2	3
	0	0	1	2	3		0	0	0	0	0
	1	1	2	3	0		1	0	1	2	3
	2	2	3	0	1		2	0	2	0	2
	3	3	0	1	2		3	0	3	2	1

Приклад 5. Охарактеризуйте операцію, задану на множинірівністю.

Розв’язок.Операціякомутативна й асоціативна. Знайдемо одиничний елемент. Длятаза визначенням. З умовизнаходимо. Елемент 1 має обернений йому елемент, який теж дорівнює 1. Інші елементи множинине мають обернених. Рівністьне виконується для.

Приклад 6. На множинівведена операціярівністю. Охарактеризуйте цю операцію.

Розв’язок.1. Перевіримо комутативність.

, запишемо , тому– операція комутативна.

2. Перевіримо асоціативність. Розглянемо таПорівнюючи отримані результати, переконуємося, що, отже, операціяне асоціативна.

3. Перевіримо наявність одиничного елемента. Використовуючи визначення одиничного елемента для розглянутої операції, одержуємо . Рівністьвиконується при, тобто.

4. Для ,буде оберненим доелементом, якщо. Рівність виконується, якщо оберненим елементом доє він сам.

Приклад 7. На множинізадана алгебраїчна операція рівністю. Охарактеризуйте цю операцію.

Розв’язок.1. Операціякомутативна, тому що.

 2. Перевіримо асоціативність, ,

а – операціяне асоціативна.

 3. Рівність не виконується, отже, немає одиничного елемента.

 4. Оскільки в множині немає одиничного елемента відносно розглянутої операції, то задача про існування обернених елементів не розглядається.