12 Операції над ідеалами. Фактор-кільця

12.1 Мета заняття

Ознайомити студентів з операціями над ідеалами; розглянути конкретні приклади фактор-кілець; установити деякі властивості фактор-кілець.

12.2 Методичні вказівки з організації самостійної роботи

За темою студент повинен знати: способи проведення операцій над ідеалами; визначення фактор-кільця, поняття класів лишків по модулю ідеала [3, c. 178-183; 444-445].

12.3 Контрольні запитання

1. Що називається фактор-множиною?

2. Що називається фактор-групою?

3. Що називається фактор-кільцем?

12.4 Приклади розв’язання аудиторних задач

Приклад 1. Укільці знайдіть ідеал, породжений множиною 1) ,2) .

Розв’язок.В комутативних кільцях ідеал, породжений елементомзнаходиться за правилом.

1) .

2) .

Приклад 2. Укільці знайдітьпороджувальний елемент ідеалу .

Розв’язок..

Приклад 3. Укільці знайдіть ідеал, породженийелементами 0, 2, 3.

Розв’язок....

Приклад 4. Знайдіть класи лишків кільцяза ідеаломі відповідне фактор-кільце. Складіть таблиці Келі для операцій додавання й множення у цьому фактор-кільці і з'ясуєте, чи є воно полем.

Розв’язок.Суміжний класадитивної групи кільцяза підгрупоюназивається класом лишків за модулем ідеалу(коротше, за ідеалом).

Ідеал, породжений елементом 4, має вигляд . Суміжні класиадитивної групи кільцяза ідеалому:

,

,

,

.

У кожен суміжний клас (клас лишків) за модулем ідеалу входять елементи, які мають однаковий залишок при діленні на . Фактор-кільце – це кільце, яке утворене на множині суміжних класів.. Операції в кільці – додавання і множення за модулем. Складемо таблиці Келі.

		0	1	2	3			0	1	2	3
	0	0	1	2	3		0	0	0	0	0
	1	1	2	3	0		1	0	1	2	3
	2	2	3	0	1		2	0	2	0	2
	3	3	0	1	2		3	0	3	2	1

Фактор-кільце не є полем, тому що не для всіх відмінних від нуля елементів існують обернені (для елемента 2 обернений відносно множення не існує).

Приклад 5.Нехай К – кільце з одиницею. Довести, що фактор-кільцетакож містить одиницю.

Розв’язок.Нехай. Перевіримо, що лишки (клас суміжності)є одиницею фактор-кільця. Дійсно, нехай– довільний лишок. Тоді;.

12.5 Задачі для самостійного розв’язку

1.У кільцізнайдіть породжувальний елемент ідеалів: 1); 2); 3); 4); 5); 6).

2.Знайдіть ідеал, породжений множиною, якщо:

1)  у кільці ;

2)  у кільці ;

3)  у кільці ;

4)  у кільці .

3.Чи утворюють ідеали оборотні та необоротні елементи у кільці 1); 2); 3); 4)?

4.Знайдіть класи лишків кільцяза ідеалами а); б); в); г)і відповідні фактор-кільця. Складіть таблиці Келі для операцій додавання й множення у цих кільцях і з'ясуєте, які з них є полями.

5.Скласти фактор-кільце кільцяза ідеалом 1); 2); 3). Чи будуть ці фактор-кільця полями?

6.Скласти фактор-кільце кільцяза ідеалом 1); 2); 3); 4). Чи будуть ці фактор-кільця полями?

7.Чи буде циклічною групаоборотних елементів кільця?

8.Доведіть, що

9.Нехай,– ідеали кільця К. Доведіть, що їхні перетин і добутоктакож є ідеалами кільця К, до того ж.

10. Нехай L – довільне підкільце кільця К, а J – ідеал у К. Доведіть, що – підкільце.