10.5 Задачі для самостійного розв’язання

1.З'ясуйте, чи утворює кільце множина матриць виглядувідносно матричного додавання та множення.

2.З'ясуйте, які з даних множин є кільцями (але не полями), а які – полями відносно звичайних операцій додавання та множення:

а) ; б);

в) ; г).

3.Знайти оборотні елементи у кільці 1); 2); 3); 4).

4.Знайти дільники нуля у кільці 1); 2); 3); 4); 5).

5.Знайти всі підкільця кілець 1); 2); 3); 4); 5).

6.Чи буде циклічною група оборотних елементів кільця: 1); 2); 3); 4)?

7.Доведіть, що всі оборотні елементи кільця з одиницею утворюють групу відносно множення.

8.Доведіть, що якщопереставний з, то він переставний з 1); 2); 3). Якщопереставний зта, то він переставний зта.

9. Нехай– комутативне кільце. Доведіть, що для будь-яких:.

10. Нехай K – довільне кільце. Доведіть, що якщо,,, то,.

11. Доведіть, що в довільному, не обов'язково комутативному кільці K справедливі рівності:

1. ;

2. ;

12. Доведіть, що якщо,,, тойнеоборотні.

13.Доведіть, що в кільці матрицьтільки всі вироджені матриці є дільниками нуля.

14.Нехай P – поле. Визначте дрібяк. Покажіть, що для таких дробів справедливі всі властивості звичайних дробів:

1) ; 2); 3); 4).

11 Гомоморфізм кілець. Ідеали

11.1 Мета заняття

Ознайомити студентів з конкретними прикладами гомоморфізмів кілець; вивчити деякі загальні властивості гомоморфізмів; ознайомити студентів з конкретними прикладами ідеалів.

11.2 Методичні вказівки з організації самостійної роботи

За даною темою студент повинен знати: визначення гомоморфізму кільця, поняття ядра гомоморфізму, ідеалу кільця, мономорфізму, епіморфізму, ізоморфізму кільця [3, c. 178-179].

11.3 Контрольні запитання

1. Що називається гомоморфізмом кільця?

2. Що називається лівим (правим) ідеалом?

3. Що називається двостороннім ідеалом?

11.4 Приклади розв’язання аудиторних задач

Приклад 1.Нехай. Доведіть, що відображення– гомоморфізм. Знайдіть його ядро.

Розв’язок.Перевіримо виконання умов:;.

Нехай й, причому. Тодій.

Знайдемо . Тоді. З іншої сторони. Таким чином,.

Виконано умови й, отже– гомоморфізм.

Знайдемо ядро гомоморфізму .

Приклад 2.Довести, що множинав кільціє двостороннім ідеалом.

Розв’язок. Підкільцекільцяназивається лівим (правим) ідеалом, якщо

.

Нехай .

. є лівим ідеалом.

. є правим ідеалом. Якщо лівий та правий ідеали співпадають, то це двосторонній ідеал.

Приклад 3.Перевірити, чи буде множинаідеалом у кільці.

Розв’язок. Нехай,. Тоді. А також. Множинане є ідеалом в кільці.

11.5 Задачі для самостійного розв’язання

1.Перевірте, чи є дані відображення гомоморфізмами кілець:

а). ,, де;

б) ;

в) , де.

2.Доведіть зазначену ізоморфність полів:

а) , б).

3.Знайти всі гомоморфізми кілець: а); б); в).

3.Нехай– гомоморфізм. Доведіть, що– ідеал,–

підкільце.

4.Доведіть, що в полі Р є тільки тривіальні ідеали

5.Нехай– анулятор елементаа(правий). Доведіть наступне: 1)А– підкільце; 2) якщоK – комутативне кільце, тоА– ідеал.

6.Нехай. Доведіть: а)f– гомоморфізм адитивної групи кільця; б)і– підкільця; в) якщо К – комутативне кільце, то,– ідеали; г).

7.Знайдіть усі ізоморфізми поля комплексних чисел у себе, що залишають незмінними всі дійсні числа.

8.Чи ізоморфні кільця цілих чисел і парних чисел?

9.З’ясувати, чи буде підкільцем та ідеалом множина матрицьв кільці.

10.Знайти всі ідеали кільця верхньотрикутних матриць порядку 2 з цілими елементами.

11.Чи утворюють ідеал необоротні елементи кілець: а), б); в); г).