9.5 Задачі для самостійного розв’язання

1. Розгляньте фактор-групу. Доведіть, що операція фактор-групи визначає на наведеній системі залишків за модулемоперацію додавання за модулем:.

2. Знайти фактор-групу адитивної групи цілих чисел, кратних чотирьомза підгрупою цілих чисел, кратних дванадцяти. Чи буде фактор-група циклічною? Визначити її порядок.

3. Знайти фактор-групу адитивної групи цілих чисел, кратних трьомза підгрупою цілих чисел, кратних дванадцяти. Чи буде фактор-група циклічною? Визначити її порядок.

4. Знайти фактор-групу адитивної групи цілих чисел, кратних п’ятьомза підгрупою цілих чисел, кратних двадцяти. Чи буде фактор-група циклічною? Визначити її порядок.

5. Знайти фактор-групу адитивної групи цілих чисел, кратних двомза підгрупою цілих чисел, кратних десяти. Чи буде фактор-група циклічною? Визначити її порядок.

6. Знайти фактор-групу мультиплікативної групи коренів 6-го степеня з одиниці за підгрупою.

7. Доведіть, що фактор-група адитивної групивекторів площини, що виходять із початку координат, за підгрупоювекторів, що лежать на осіізоморфна групівекторів, що лежать на осі.

8. Доведіть ізоморфізм зазначених груп:

1) ; 2);

3) , де– множина точок, які належать одиничному колу;

4) ; 5);

6) ; 7).

8) ; 9).

10 Основні властивості кілець і полів

10.1 Мета заняття

Розглянути конкретні приклади кілець і полів; навчити студентів виконанню операцій у кільцях, особливо в некомутативних; звернути увагу студентів на специфіку кілець, відмінних від числових кілець, передусім, на наявність дільників нуля.

10.2 Методичні вказівки з організації самостійної роботи

За темою «Основні властивості кілець і полів» студент повинен: знати поняття кільця, поля, їхні основні властивості, а також поняття абелевої групи, підкільця, комутативного кільця; вміти роз’язувати задачі за темою [3, c. 172-178].

10.3 Контрольні запитання

1. Що називається кільцем; тілом; полем?

2. У чому відмінність поля від кільця?

10.4 Приклади розв’язання аудиторних задач

Приклад 1. З’ясувати, чи буде множина матриць вигляду

кільцем або полем відносно звичайних операцій додавання й множення матриць.

Розв’язок.Нагадаємо, що непуста множина, на якій задані дві алгебраїчні операції додавання і множення, називається кільцем, якщо виконані три умови:

1) – абелева група;

2) – полугрупа;

3) операції додавання і множення зв’язані дистрибутивним законом:

та .

Якщо у кільці множення комутативне, то кільце називається комутативним. Одиничний елемент за додаванням називається нульом кільця, одиничний елемент за множенням – одиницею кільця.

Поле – це комутативне кільце з одиницею, в якому міститься не менше двох елементів і кожен ненульовий елемент має обернений відносно множення. Тобто щоб алгебраїчна структура була полем , необхідно невиконання умов:

1) – абелева група;

2) – абелева група;

3) операції додавання і множення зв’язані дистрибутивним законом:

та .

Перевіримо . Перевіряємо аксіоми групи:

1) замкненість даної множини матриць відносно додавання:

+=, тому щота;

2) властивість асоціативності перевіряти не потрібно, тому що вона справедливі для будь-якої множини матриць;

3) наявність одиничного елемента . Одиничний елемент – нульова матриця;

4) наявність оберненого елемента . Обернений елемент – матриця:;

5) комутативний закон виконується .

Отже – абелева група.

Так само перевіряємо .

1) замкненість даної множини матриць відносно множення:

=, тому щота.

2) властивість асоціативності перевіряти не потрібно, тому що вона справедлива для будь-якої множини матриць.

3) одиничний елемент – одинична матриця .

4) обернений елемент – обернена матриця

.

Обернені існують для всіх елементів, крім нульової матриці.

5) комутативний закон виконується .

=.

Отже – абелева група.

Дистрибутивний закон теж виконується. Висновок: - поле.

Приклад 2. Елемент,називається нільпотентним, якщо. Довести, що якщо g нільпотентний, то елементоборотний.

Розв’язок.Перевіримо, щоє оберненим довідносно множення. Дійсно,, тому що.

Аналогічно . Отже, елементоборотний (тобто має обернений відносно множення) та елемент.

Приклад 3. Доведіть, що в довільному, не обов'язково комутативному кільці K справедливі рівності:

1. ;

2. ;

3. .

Доведення.Доведемо, що 1.і 2.. Відомо, що. Скористаємося дистрибутивністю множення відносно додавання, одержимота. Із цих рівностей одержимота..

Доведемо, що 3. . Маємо, з огляду, що, далі одержуємо.

Приклад 4. Доведіть, що в кільці зnелементів.

Розв’язок.За додаванням кільце – абелева група. Нехай елементмає порядок. Тоді циклічна підгрупамає порядок. За теоремою Лагранжа порядок підгрупи є дільником порядку групи, тобто.

Отримуємо, .

Приклад 5. Доведіть, що якщо,,, тойнеоборотні.

Доведення.Нехай, тоді. Використовуючи асоціативність, запишемо,,, що суперечить умові. Отже, елементнеоборотний. Аналогічно доводиться, що елементнеоборотний.

Приклад 6. Знайдіть всі оборотні елементи кілець:

1) ; 2).

Розв’язок.1. Складемо таблицю Келі для операції множення за модулем 7.

	0	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6
2	0	2	4	6	1	3	5
3	0	3	6	2	5	1	4
4	0	4	1	5	2	6	3
5	0	5	3	1	6	4	2
6	0	6	5	4	3	2	1

З таблиці Келі випливає, що ,,,,,, тобто всі елементи, крім нуля, оборотні. Отже, множина оборотних елементів кільцяє.

2. Для кільця множина оборотних елементів, що випливає з таблиці Келі.

	0	1	2	3	4	5
0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5
2	0	2	4	0	2	4
3	0	3	0	3	0	3
4	0	4	2	0	4	2
5	0	5	4	3	2	1

Приклад 7.Знайдіть усі підкільця кілець,і.

Розв’язок.Будь-яка підгрупа адитивної групи кільцяє підкільцем кільця. Отже, підкільцями кільцяє підгрупи,,,; кільця:,,,,,; поля:,.