Аналитические задачи
1. a) t=— |
—; б) лесоматериал следует обрабатывать и |
1п(1 + /) |
3 |
продавать через 7 лет. Формула оптимального года выводится из ус
ловия максимизации современной стоимости лесоматериалов. |
|
||||||
2. а) Щ |
+r(T-L)) |
= U(l + r7),r = r%/100. |
|
||||
|
|
V |
1 |
|
|
|
|
Откуда |
Т = |
|
L — ; б) Т= 6, через 6 лет. |
|
|||
|
|
V-U |
г |
|
|
|
|
3. |
|
т |
|
|
|
|
|
Sт |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
4. Доказать неравенства (1 + /)' > (1 + ti) при / > 1 и ( 1 + / ) ' < ( 1 |
+ |
||||||
ti) п р и 0 < / < 1. |
|
|
df |
< (1 - |
td) при 0 < t < 1 и (1 -d)' |
> |
|
5. Доказать неравенства (1 - |
|||||||
(1 - td) при/> 1. |
|
|
|
|
|
||
6.(1 + d)Kx> |
AQ(1 |
f) > Kx(l |
|
|
|
|
|
7. а) ЛГ0(1 - |
ct)(l + |
+ |
</); 6) |
29 • 0,993 • 1,11 = 31,94 > |
|||
>28,5 • 1,08 = 30,78 - деньги лучше переложить.
8.Задача сводится к решению дифференциального уравнения
сначальным условием 5(0) = S0. Интегрируя, найдем
|
|
|
|
S(t) = SQe» |
, |
|
где |
/8,Л = ?80а/А = -^(а, '-Г). |
|
||||
|
о |
о |
1пд |
|
|
|
Тогда множитель наращения д = еша |
|
|||||
Ситуационные задачи |
|
|
||||
1. а) 4Р( 1 - |
/)2 = Д |
(1 - 0 |
= У2, / = V2 |
= 50%; б) 4Р(1 - 0,4)'= />, |
||
m*\t |
|
, |
Ig0,25 |
, |
-0,60205999 |
- п |
( 0 ' 6 ) = 0 ' 2 5 ' ' = W г = ^тш?л 2 '7 г о д а -
2. (150000/1,44) = 104166, (6) < 110000; Катя по фактической цен ности денег с учетом календарной даты их получения заработала
больше. |
- г |
|
3. а) 12%; б) из (1.7) следует, что |
/ = т |
100% = -1,75%; приме- |
|
1 + г |
|
няя приближенную формулу (1.8), получим / » - 2 % ; в) потратить деньги на текущее потребление; г) сберечь деньги.
4. 5 лет. 5. а) 14 лет; б) согласно п. «а» удвоение происходит за 14 лет, следовательно, через 70 лет производство вырастет в 32 раза.
6.а) 10,8 долл. б) две годовых;
7.а) 10 лет, б) 3 года.
8.а) деньги следует хранить в рублях; б) не изменится.
Тесты
1.(2); 2. (2); 3. (3); 4. (1), (5); 5. (4); 6. (3); 7. (2). 8. (4); 9. (1).
10.(1); 11. (2); 12. (2); 13. (2); 14. (4); 15. (3); 16. (3); 17. (4); 18. (2), (4); 19. (4); 20. (3).
Раздел 2 ПОТОКИ ПЛАТЕЖЕЙ
2 . 1 . Основные понятия и формулы
В приложениях зачастую приходится иметь дело не с одним платежом, как в предыдущей главе, а с их временной последова тельностью, иначе говоря — потоком. Соответственно, вместо приведения платежа, с учетом фактора времени возникает задача о приуроченной к некоторой временной дате стоимостной оцен ке всего потока. Эти обобщающие (вторичные) числовые харак теристики должны быть финансово эквивалентны, в определен ном смысле, всему потоку и используются для решения широко го круга практических задач с участием финансового фактора.
Предлагаемые жизнью потоковые конструкции весьма раз нообразны и определяются различными сочетаниями вариантов регулярности и случайности по датам платежей, их направле нию (приходы—расходы) и размеру. В настоящей главе ограни чимся правилами алгебраических действий с детерминирован ными потоками и теми задачами, которые решаются с их ис пользованием.
В следующих главах этот материал будет дополнен рассмот рением приложений из области кредитов, инвестиций и ценных бумаг.
2 . 1 . 1 . Потоки платежей в с х е м е сложных процентов
Обобщающие характеристики финансового потока. Наращен ная сумма {S) — сумма наращений всех платежей потока на дату его окончания. Современная величина (А) — сумма современных величин всех платежей потока.
Разумеется, для знакопеременного потока его обобщающие характеристики вычисляются как алгебраические суммы. В об щем случае приведенную величину потока можно рассматривать
для произвольного момента времени, а не только в начале, как для А, или конце потока, как для S.
Поток платежей, все члены которого — положительные вели чины, а интервалы времени между двумя последовательными платежами постоянны, называют финансовой рентой. Ниже приводятся формулы для потока с выплатами в конце периода, так называемые ренты постнумерандо. Если платежи приходятся на начало каждого периода (рента пренумерандо), то обобщаю щие характеристики нетрудно получить, опираясь на формулы предыдущего случая с учетом временного сдвига.
Общая постоянная рента — последовательность р одинаковых выплат на протяжении года в течение всего срока ренты п (число лет) с /w-разовым ежегодным начислением процентов по одной и той же годовой ставке / (десятичная дробь). Наращенная сумма S и современная величина А общей ренты составят:
(2.1)
где R — годовая сумма платежа.
Простая годовая рента — выплаты производятся один раз в конце каждого года, проценты начисляются раз в году (р = т = 1).
Обобщающие характеристики:
[(1 + 0 " - 1 ^
S = R
(2.2)
[l-a+/)-"]
А
Множители |
s(n, i) = [(1 + if - |
1]//, a(n, i) = [1 - (1 + iyn]/i в |
(2.2) называют |
коэффициентом |
наращения и соответственно |
приведения годовой ренты.
Вечная рента (п = оо). Современная величина бессрочной рен ты равна:
R |
(2.3) |
|
Переменные потоки платежей {Rt}: платежи изменяются во времени. Обобщающие характеристики получают, как правило, путем прямого счета.
Ч а с т н ы е с л у ч а и :
• рента с постоянным абсолютным приростом платежей:
Rt+l-Rt |
= a, т.е. {Л, = R{ |
+ (t- |
1)в, / = 1 , 2 , п } \ |
|||
S= |
А + - |
(1 + 0 " - 1 |
па |
|
(2.4) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
( 1 - у л ) |
nay" |
|
(2.5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
• рента с постоянным темпом роста платежей: |
=д, т -е- |
|||||
|
|
{R, = Rx-tf-\t= |
1,2, |
...,п); |
|
|
|
|
S = R, [<! + /)"-(! + *)"]. |
|
|||
|
|
|
а-к) |
|
(2.6) |
|
|
|
|
1+к" |
|
||
|
|
1 - |
|
|
||
|
|
A=R, |
1+/ |
|
|
|
|
|
а-к) |
' |
|
|
|
где £ = 1 — q — темп прироста
Непрерывные потоки платежей. В ряде случаев более адекват ное описание финансовых явлений достигается, когда поток пла тежей рассматривается как непрерывный процесс.
Ч а с т н ы е с л у ч а и :
• постоянная непрерывная рента с начислением процентов раз в год. Обобщающие характеристики для такой ренты получа
ются из формул (2.1), в которых т = 1, с помощью |
предельного |
перехода при р - » оо. |
|
1п(1+/) |
|
1-(1+/Г* |
( 2 J ) |
ln(l+/) |
|
Аналогичным путем находятся приведенные значения непре рывной ренты при капитализации процентов т раз в году;
• постоянная непрерывная рента с непрерывным начислени ем процентов.
S = |
]Rtbtdt=-\ebn-\)\ |
|
|
5 |
(2.8) |
8 v |
' |
|
Объединение и замена рент. Для подобных изменений в случае равноправных участников должны выполняться требования фи нансовой эквивалентности конструируемой (новой) последова тельности платежей базовым условиям. Они сводятся к так назы ваемому уравнению эквивалентности, в котором сумма заменяе мых платежей, приведенных к какому-либо моменту времени, приравнена к сумме платежей искомой последовательности, приведенных к той же дате.
Простейшим примером такой замены является разовый пла теж, приходящийся на начало потока и равный его современной величине. Его инвестирование по ставке / полностью обеспечи вает все платежи потока, а порожденная им на дату замыкающе
го платежа сумма приводит в точности к наращенной |
стоимости |
всей последовательности платежей: |
|
£ = Л(1 + /)Л . |
(2.9) |
Для сложных процентов способы приведения знакоперемен ных потоков принципиально не отличаются от единообразных правил действия с потоками однонаправленных платежей.
2 . 1 . 2 . Потоки платежей в с х е м е простых процентов
В большинстве случаев в финансовых операциях, предусмат ривающих последовательные платежи, используется сложная процентная ставка. Однако это не единственно возможный спо соб начисления процентов, иногда начисление осуществляется по простым процентным ставкам.
Согласно их основному свойству в этой схеме проценты за период начисляются лишь на основной (инвестированный) ка питал, так что проценты на проценты предыдущих (прошлых) периодов не начисляются. Это свойство требует разделения на копительного счета на две компоненты: счет капитала, который определяется только вносимыми суммами, и процентный счет, учитывающий начисленные на инвестированнный капитал про центы. При этом сами проценты начисляются и накапливаются последовательно по периодам от одного вложения до следующе го. Из-за этого, с точки зрения финансовой алгебры, простой процент оказывается сложнее, чем сложный.
Для простого процента также рассматриваются стандарт ные обобщающие характеристики, основанные на суммиро вании будущих или текущих стоимостей отдельных платежей потока:
{Л„/ = / „ / 2 , ...,/„}.
Стандартные обобщающие характеристики:
Л I h |
<2Л0> |
Если платежи R производятся р раз в году на протяжении п лет и количество начислений процентов в году совпадает с количест вом платежей, то формулы наращенной суммы S и современной величины А примут вид:
f |
(N-l)i |
|
|
S = RN |
1 + |
2p J |
(2.11) |
|
|
|
|
A = |
RUl+it/p)-\ |
|
|
где N — np — общее число платежей. |
|
|
|
В частном случае для годовой ренты имеем: |
|
||
S = nR\ + (п |
-1)/. |
|
|
|
|
|
(2.12) |
В отличие от сложного процента для простой ставки равен ство (2.9) не выполняется, т.е. наращенная сумма .У в этом случае не получается как результат начисления простого процента на начальный вклад, равный стандартной текущей стоимости А. В общем случае понятие финансовой эквивалентности в схеме простых процентов определяется особенностями их начисления с учетом поступлений и изъятий.
Основные модели и правила. Модель мулыписчета — ей соотве тствует финансовый поток, порождаемый открытием п накопи тельных счетов.
Коммерческое правило: все вложения и изъятия относят только к основному счету, а процентный счет при этом не изменяется.
Актуарное правило: изъятие всегда начинается с процентного счета.
С изъятием связана еще одна сложность. Что делать, если снимаемая сумма больше основной? С формальной точки зрения можно выполнить все расчеты, если допустить отрицательные значения для основного капитала. Содержательно это означает, что вкладчик становится должником банка. На практике такая возможность реализуется в так называемом конкоррентном сче те. Такой счет позволяет его владельцу иметь временный отрица тельный баланс (овердрафт). Однако процентная ставка, которая в этом случае становится для банка ставкой по кредиту, обычно больше, чем ставка по положительному балансу, т. е. депозитной ставки.
В общем случае определение текущей стоимости зависит от применяемой модели: современным эквивалентом всех будущих платежей потока является такая сумма А, что ее инвестирование сегодня в соответствии с выбранным правилом (актуарное, ком мерческое, мультисчет) полностью обеспечивает (воспроизво дит) все платежи потока.
Так, для модели мультисчета текущая стоимость потока сов падает со стандартной текущей стоимостью А (2.10). Этот факт — естественное следствие полной независимости, которой облада ют отдельные платежи потока в мультисчетной модели.
Необходимость в определении современной величины ренты с простыми процентами возникает, например, во внешнеторго вых операциях, когда оплата покупки производится с помощью портфеля векселей, сроки которых равномерно распределены во времени. В этой операции, отвечающей модели мультисчета, сов ременная величина равна текущей стоимости этого портфеля (2.10) и характеризует сумму, которую получит экспортер при од новременном учете всех векселей.
2.2. Типовые примеры
1. Наращенная сумма (простой процент).
Клиент сделал вклад на текущий счет в банке в сумме 100 тыс. руб. под простую ставку 14% годовых. Затем через 3, 6 и 9 меся цев он вложил еще по 10 тыс. руб. В конце года клиент закрыл счет. Какую сумму он получил при закрытии счета?
Решить задачу, используя следующие правила.
1.Разделение счета на основной и процентный.
2.Мультисчет.
Ре ш е н и е
1.В течение первого квартала сумма на счете капитала состав ляла величину Р = 100. Проценты за первый квартал (длитель ность квартала в долях года равна 0,25):
ШР =0,14- 0,25100 = 3,5.
В течение второго квартала сумма на основном счете Р = 100 + + 10 = 110, проценты с которой равны:
/Д/-Р=0,14- 0,25110 = 3,85;
сумма на счете в течение третьего квартала - 120, проценты за третий квартал — 4,2; сумма на основном счете в течение четвер-
того квартала - 130, проценты равны 4,55. Итоговая сумма на процентном счете (проценты за год) определяется сложением поквартальных процентов и составляет величину / = 3,5 + 3,85 + + 4,2 + 4,55 = 16,1. Сумма, которую получит клиент при закры тии счета, равна 130 + 16,1 = 146,1 тыс. руб.
2. Величина вклада на накопительном счете на дату закрытия равна наращенной сумме потока всех вложений:
S=SX + S2 + S3 + S4;
S = 100(1 + 0,14) + 10(1 + 0,75 • 0,14) + 10(1 + 0,5 • 0,14) + + 10(1 + 0,25 • 0,14) = 146,1 тыс. руб.
2. Коммерческое и актуарное правила.
В условиях предыдущей задачи заменим вложение 10 тыс руб. в конце 6-го месяца на изъятие в 20 тыс. руб. и найдем состояние счета на конец каждого квартала в зависимости от используемого банком правила (коммерческого или актуарного);
Р е ш е н и е Согласно коммерческому правилу все платежи учитываются
на счете капитала, и его последовательным состояниям соответ ствует вектор (ПО, 90, 100, 100).
Найдем последовательность сумм на процентном счете:
(3,5; 3,5 + 3,85 = 7,35; 7,35 + 0,14 • 0,25 • 90 = = 10,5; 10,5 + 0,14 • 0,25 • 100 = 14).
Сопоставляя эти последовательности, получим полную сум му счета на конец каждого квартала:
^ = 113,5; ^ 2 = 97,35; ^ 3 == 110,5; 5 4 = 114.
На практике банки выплачивают проценты по вкладу, поэто му в случае изъятия сумм сначала уменьшается процентный счет, а затем основной (актуарное правило). Согласно этой процедуре выплата в 20 тыс. руб. производится за счет накопленных за полу годие процентов (7,35) и снятия недостающей суммы (20 - 7,35 = = 12,65) с основного счета. В результате придем к следующим временным характеристикам состояний основного, процентного и полного счетов (Ph Ii9 SJ) (табл. 2.1).