Разное / фин_мат / Задачи и тесты по финансовой математике_Капитоненко В.В_2007 -256с

шения птт. Для этого потребуется решить простейшее показа­ тельное уравнение вида а* = Ь:

Рассмотренное не исчерпывает возможных планов создания погасительных фондов: неравными взносами, накопление для погашения единым платежом в конце срока и т. д.

Потребительский кредит. В потребительском кредите на всю сумму кредита начисляются простые проценты, которые прибав­ ляются к величине самого кредита, и сумма всех погашающих выплат должна быть равна этой величине. При равных выплатах величина одного платежа получается делением этой суммы на их число. Реальная цена кредита для покупателя определяется став­ кой сложного процента, для которой современная величина вып­ лат по кредиту равна основному долгу.

Равномерное погашение потребительского кредита. Пусть кре­ дит размером D взят на п лет под годовую ставку простых процен­ тов /. Следовательно, сумма долга с процентами составит:

S=Z)(1 + ш).

Если в год предусмотрено (договором о кредите) р выплат, то одна выплата Уравна:

Величина Y в принятых выше терминах представляет собой срочную уплату.

Возникает вопрос, как расчленить Уна погашение процентов и основного долга. Для этого применяется правило деления не­ которого числа на части пропорционально данным числам. В ка­ честве исходных данных, позволяющих получить требуемое соот­ ношение пропорциональности, началу каждого периода ставится в соответствие число, равное количеству оставшихся выплат:

процентов 7 = Dni пропорционально числу оставшихся относи­ тельно начала каждого периода срочных уплат:

Отсюда для частного случая, когда кредит выдается на один год с помесячным погашением, получим так называемое правило числа 78. Знаменатель формулы (3.11), как легко понять, равен сумме порядковых номеров всех выплат. В рассматриваемом ва­ рианте эта сумма равна 78:

12

1* = 78,

отсюда и название правила.

Обозначим ставку сложного процента, под которую выдается потребительский кредит, черезj и допустим, что число начислений процентов т в течение года совпадает с числом выплат по кредиту р(т=р). Ставкаj определяется из условия равенства современной

Данное уравнение можно записать в виде многочлена от неизвестной ставки. Для определения его корня можно вос­ пользоваться функцией Excel для расчета внутренней ставки до­ ходности.

Разумеется, что в зависимости от возможностей участников кредитного договора величина т не обязана совпадать с/?, напри­ мер, заемщик может начислять процент один раз в году. Тогда для определения кредитной ставки ему следует решить то же уравне­ ние (ЗЛЗ) при условии, что /и = 1.

Ипотечная ссуда. Такая ссуда выдается под залог недвижимос­ ти и имеет длительный срок погашения. В связи с этим существу­ ет достаточно большое количество различных схем погашения долга по ипотеке, учитывающих возраст заемщиков, их матери­ альное и семейное положение и прочее. В случае непогашения ссуды в установленный срок заложенное имущество становится собственностью кредитора.

Традиционная ипотечная ссуда погашается равными ежеме­ сячными выплатами, на которые ежемесячно же начисляются проценты. Величина ежемесячного платежа У и остатка Lk долга после очередного взноса определяются формулами (3.8), (3.5):

Замена и объединение займов. Параметры нового кредитного соглашения подбирают исходя из требования его финансовой эк­ вивалентности исходным условиям кредитования.

Льготные кредиты. В ряде случаев долгосрочные займы выда­ ются под льготные условия. Низкая процентная ставка, предус­ матриваемая таким займом, в сочетании с большим его сроком и льготным периодом дают должнику существенную выгоду, кото­ рую можно рассматривать как субсидию. Размер этой помощи можно оценить через абсолютное или относительное превыше­ ние объема займа D над суммой G дисконтированных по обычной (не льготной) ставке платежей, поступающих в счет его пога­ шения:

JV= D - G\ w = W/D.

Список типовых приемов решения задач планирования и анализа кредитных операций можно продолжить, рассмотрев, в том числе, ссудные и учетные операции с удержанием комисси­ онных, коммерческие сделки купли-продажи товаров в кредит и т.д. Способы решения подобных задач достаточно просто полу­ чить самостоятельно, опираясь на правила действия с процента­ ми и гибко используя принцип финансовой эквивалентности, основанный на сопоставлении обобщенных характеристик срав­ ниваемых потоков платежей.

3.2. Типовые примеры

Условия выдачи и погашения кредитов (займов, ссуд) весьма разнообразны. Вместе с тем независимо от частностей можно вы­ делить две группы взаимосвязанных задач:

1) при заданных параметрах кредита (D, п, i) определить спо­ соб его погашения;

Примечание . D4 совпадает с L4c точностью до первого знака после запятой; указанное расхождение обусловлено принятой точностью вычис­ лений (до четвертого знака). В приложениях можно использовать прибли­ женные с точностью до целых значения {К, /„ В,). При этом чтобы избе­ жать отмеченного выше расхождения, целесообразно замыкающую по долгу выплату полагать равной остатку задолженности на начало послед­ него года.

2. Равные выплаты по долгу.

Долг в сумме 1 млн руб. требуется погасить за 5 лет равны­ ми суммами, выплачиваемыми в конце года. За заем начисля­ ются проценты по годовой ставке 10%. Составить план пога­ шения.

Р е ш е н и е Расчеты и план погашения кредита представим в табл. 3.2.

Долг в 100 тыс. долл. решено погасить по специальному гра­ фику за 4 года. Ежегодные платежи по первым трем годам опре­ делены в размере 40, 20 и 30 тыс. долл. Ставка процента по долгу установлена на уровне 10%. Определите:

а) остаток долга на конец третьего (начало четвертого) года; б) величину четвертой срочной уплаты; в) чему равны ежегодные суммы погашения долга и процентов. Р е ш е н и е а) согласно формуле (3.5) имеем:

L3= 100(1 + ОД)3 -40(1 + ОД)2 -20(1 + 0,1) - 30 = 32,7;

б) Y4 = Z,3(l + 0,1) = 35,97. Эту величину можно также вычис­ лить из уравнения (3.2) финансовой эквивалентности потока по­ гашающих платежей величине долга:

Г4 = 100(1 + 0,1)4 -40(1 + ОД)3 -20(1 + ОД)2 -30(1 +0,1) = = 146,41 - 53,24 - 24,2 - 33 = 35,97;

в) табл. 3.3 иллюстрирует порядок расчетов выплат по долгу и процентам.

Для выхода на полную мощность предприятие нуждается в кредите на пополнение оборотного капитала. Требуемая сумма - 7 млн руб., доступная кредитная ставка — 12% годовых, длитель­ ность операционного цикла (время оборота оборотного капита­ ла) — 1 месяц. Кредит планируется погасить одним платежом. Для получения необходимой для этого суммы предполагается использовать чистую прибыль в размере 1 420 000 руб./мес, ко­ торую будет получать предприятие в режиме полной загрузки. В качестве способа накопления этой суммы формируется погаси­ тельный фонд с начислением процентов один раз в году по той же ставке 12%. Определить допустимый для предприятия срок заимствования средств.

Р е ш е н и е Для получения ответа воспользуемся формулой наращенной

суммы ренты (2.1) с характеристиками р = 12, т = 1, / = 0,12, R/p = 110000 и приравняем ее требуемой величине погашающего в конце срока х платежа. В результате получим следующее соот­ ношение:

что дает простейшее показательное уравнение

1,12х = 1,0491

с решением:

lnl,0491 0,0479 «0,42 года «5 мес. lnl,12 0,1133

П р и м е ч а н и е . Разумеется, ставка погасительного фонда не обяза­ тельно совпадает с кредитной ставкой. При различных ставках уравнение, содержащее неизвестную х в показателе степени, уже не будет сводиться к простейшему типу а* = Ьч однако эти трудности носят вычислительный ха­

рактер и вполне преодолимы.

5. Потребительский кредит. Покупатель приобрел в кредит хо­ лодильник по цене 4000 руб. При оформлении кредита он внес 1000 руб., обязавшись погасить остальное в течение 6 месяцев, делая ежемесячно равные взносы. Определить:

а) сумму, которую покупатель должен выплачивать ежемесяч­ но, если продавец требует за кредит 6% в год;

б) реальную доходность кредитной операции для продавца при условии, что имеется возможность помесячного реинвести­ рования;

в) рассчитать график погашения процентов и основного долга. Р е ш е н и е а) Сумма кредита с начисленными процентами составляет ве­

личину:

5 = 3000(1 + 0,06 • 0,5) = 3090 руб.

Следовательно, ежемесячно покупатель должен выплачивать продавцу 3090/6 = 515 руб.;

б) реальная доходность измеряется ставкой сложного процен­ та. Обозначим номинальную годовую ставку черезу. Тогда поме­ сячная ставка сложного процента: х = у/12. Имеем уравне­ ние: 515(1 — (1 + х)~в)/х = 3000 с областью допустимых значений х Ф - 1, х Ф 0. Заменой переменной z = 1 + х придем к уравнению 5, S25z7 ~ 6,825z6 + 1 = 0. Из ограничений на допустимые значения х вытекает, что z * 0, z * 1. Это уравнение имеет два положитель­ ных корня: z\== 1 и Zi ® 1,00852* из которых допустимым является только второй. Откудах = 0,00852 и, следовательно, годовая ставкау = \2х = 0,10224. Таким образом, реальная доходность для кре­ диторау = 10,2% превышает объявленную им простую ставку пот­ ребительского кредита / = 6% на 4,2%;

в) по условиям примера общая сумма начисленных процентов / = 90, а запись(3.11) примет вид: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1).

Согласно (3.12) для определения последовательных процент­ ных погашений следует разделить величину / = 90 на части пропорционально числу оставшихся выплат, т.е. в соотношении

6 : 5 : 4 : 3 : 2 : 1 . Воспользовавшись сформулированным прави­ лом, найдем суммы в счет уплаты процентов:

1Х = 90 • 6/(6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1) = 540/21 * 25,71; / 2 = 90 • 5/21 » 21,42; / 3 * 90 • 4/21 = 17,14; / 4 = 90 • 3/21 * 12,86; / 5 = 90 • 2/21 * 8,57; / 6 = 90 • 1/21 * 4,28.

Помесячная разность между срочной уплатой и процентным платежом выделяется на погашение основного долга:

D, = 515 - 25,71 = 489,29; D2 = 515 - 21,42 = 493,58;

Z)3 = 515 - 17,14 = 497,86; Z)4 = 515 - 12,86 = 502,14;

Z>5= 515 - 8,57 = 506,43; Z)6 = 515 - 4,28 = 510,72.

Имея эти значения, найдем остаток основного долга на нача­ ло каждого месяца:

Lx = 3000; L2 = 3000 - 489,29 = 2510,71;

L3 = 2510,71 - 493,58 = 2017,13; L 4 = 2017,13 - 497,86 = 1519,27; L 5 = 1519,27 - 502,14 = 1017,13; Z 6 = 1017,13 - 506,43 = 510,7.

Сумма D6 погашения долга в конце срока полностью списы­ вает оставшуюся задолженность L6: Z)6 = Z,6 = 510,7. Нетрудно убедиться, что проценты уменьшаются, а суммы, погашающие долг, растут.

6. Стандартная ипотека. Ипотечная ссуда в размере 300 тыс. руб. выдана сроком на 15 лет. Погашение - в конце каждого меся­ ца, номинальная годовая ставка — 12%. Определить сумму ежеме­ сячного платежа и остаток долга на конец пятого года погашения.

Р е ш е н и е Равные ежемесячные выплаты размером У образуют простую

ренту длительности п = 15 • 12 = 180 единичных периодов (меся­ цев) начисления процента под ставку / = 12% / 12 = 1%. Следова­ тельно, ее наращенная величина

СУ У Ч . У (1 + 0,01)1 8 °-1

идля определения Уимеем уравнение

S(Y) = 300(1 +0,01) 1 8 °,

т. е.

У- 100 • (5,9958 - 1) = 499,58 Г= 300 • 5,9958.

Теперь можно определить ежемесячный взнос: Г= 3,6 тыс. руб. = = 3600 руб.

Наращенная за 5 лет величина ссуды при условии помесячно­ го начисления процентов составит сумму

5 5 = 300(1 + 0,01)6 0 = 300 • 1,8167 = 545,02,

наращенная величина произведенных выплат есть:

3,6- 100 - (1,01 6 0 - 1) = 294,012.

Применяя формулу (3.14), найдем остаток:

L 5 = 545,02 - 294,012 = 251,008 тыс. руб. = 251008 руб.

7. Замена одного займа другим.

Господин NB течение 5 лет должен один раз в квартал выпла­ чивать 500 д.е. в счет погашения ссуды, взятой под 8% годовых. В связи с отъездом за границу через 2 года он попросил пересчитать величину ежеквартальной выплаты, чтобы успеть рассчитаться. Как изменится величина квартального платежа?

Р е ш е н и е Величина ссуды

D = 500 • сс(20; 8/4) = 500 • 16,351 = 8175,5.

Поэтому искомый ежеквартальный платеж R должен удовлет­ ворять уравнению

R • сс(8;8/4) = 8175,5,

откуда

R = 81175,5 /7,325 = 1116,1 д.е.

8. Реструктуризация кредиторской задолженности.

В настоящее время обязательство заемщика перед кредито­ ром составляет 1000 д.е. Финансовое состояние предприятиядолжника не позволяет ему погасить эту задолженность по пре­ дусмотренной кредитным договором ставке в 8% даже с рассроч­ кой в 4 года. Вместе с тем при снижении ставки до 5% отсрочка в

погашении кредита по схеме равных срочных уплат возможна и выплачиваемые предприятием средства не нарушают нормаль­ ных условий его функционирования. Кредитор согласился на выплаты по льготной ставке. Определить общие потери кредито­ ра, т. е. величину предоставленной заемщику льготы.

Р е ш е н и е

Выплаты по льготной ставке вычислим из уравнения: Y- а (4; 5) = 1000. По таблице коэффициентов приведения ренты нахо­ дим: а (4; 5) =3,5459; отсюда Y — 282,016. Применяя базовую ставку, определим финансово-эквивалентную величину долга, погашаемую заемщиком:

А = Y- сс(4; 8) = 282,016 • 3,3121 = 934,065.

Таким образом, субсидия кредитора заемщику составит:

К= 1000 - 934,065 «65,935 ден. ед.

В пересчете на конечную дату общие потери кредитора совпа­ дают с наращенной суммой:

5 = 65,935 • (1 + 0,08)4 = 89,704 ден. ед.

Еще один способ решения основан на оценке ежегодных по­ терь кредитора. В случае равномерного погашения по ставке в 8%, срочная уплата будет равна:

Z*= 1000 /сс(4; 8)= 1000/3,3121 = 3019232,

а ежегодные потери кредитора:

A = Z - Г= 19,907.

Тогда предоставляемая заемщику льгота Л соответствует сов­ ременной величине этого потока:

Л = А • а(4; 8) = 19,907 -3,3121 « 65,934,

что совпадает с полученным ранее ответом: Л = К« 65,93.

9. Ссуда с удержанием комиссионных. При выдаче ссуды на 180 дней под 10% годовых по простой ставке кредитором удержа­ ны комиссионные в размере 0,5% суммы кредита. Какова эффек­ тивность ссудной операции в виде годовой ставки сложных про­ центов при условии, что год равен 360 дням?