Разное / фин_мат / Задачи и тесты по финансовой математике_Капитоненко В.В_2007 -256с

Подставим эти данные в формулу Z и запишем критерий оп­ тимизации формируемого портфеля проектов:

Z = 21,4.x, + 16,07х2 + 11,94*з+ 13,22*4-> max.

Перейдем к ограничениям, которые налагаются на выбор неизвестных {*,}. По условию, начальные вложения ограничены 10 млн руб. Поэтому

10*! + 5 * 2 + 5 * 3 < 10.

В начале 2-го года бюджет капитальных вложений может быть увеличен за счет поступлений по реализуемым проектам. С уче­ том этого придем к следующему неравенству:

40*4 ^ Ю + 30*! + 5*2 + 5*3.

Части внедряемых проектов не могут быть отрицательны, следовательно,

* j , *2 , *з, *4 ^ 0.

Построенная модель представляет задачу линейного прог­ раммирования, которую можно решить в Excel с помощью ко­ манды Сервис, Поиск решения.

В результате расчета получим следующий оптимальный план инвестиций. Вначале все 10 млн руб. должны быть инвестирова­ ны во второй проект (*2 о п т = 2), а по окончании 1-го года следует приступить к реализации «уполовиненного» четвертого проекта (*4 0 П Т = 5), первый и третий проекты в портфель не включаются (*,о п т = 0; * 3 0 П Т = 0). При таком плане инвестиций величина чис­ того приведенного дохода достигает наибольшего значения: NPVmax= 38,75 млн руб.

4.3. Задачи для самостоятельного решения

Расчетные задачи

1.Предприятие имеет возможность выбрать один из двух ти­ пов оборудования А или Б, выполняющих одну и ту же функцию. Срок эксплуатации А - 1 год, Б - 3 года. Сравниваемые варианты имеют следующие потоки вложений и отдач (табл. 4.10).

5.На строительство магазина надо затратить в течение меся­ ца около 10 ООО долл., а затем он неограниченно долго будет да­ вать 2000 долл. в год. Найти характеристики данного проекта, ес­ ли ставка процента 8% в год.

6.Последовательность платежей по проекту представлена в виде следующей временной диаграммы.

Известно, что внутренняя норма прибыли альтернативных проектов с таким же финансовым риском, как и данного проек­ та, равна 17%. Определить чистую текущую стоимость и внутрен­ нюю норму доходности данного проекта. Для решения уравнения относительно IRR советуем воспользоваться электронными таб­ лицами.

7.Имеются два альтернативных проекта:

А- ( 5 0 ; - 1 5 0 ; 140);

Б - (-50; 10; 90).

Сравнить эти проекты по предпочтительности в зависимости от численного значения альтернативной ставки.

8. Инвестиционный проект требует 10 тыс. долл. и обещает доход в 10 800 долл. в конце периода. Предполагается, что нет ни­ какой неопределенности и никаких налогов. Проект на 20% фи­ нансируется заемным капиталом под ставку 6%. Для оценки про­ екта используется ставка дисконтирования, превышающая стои­ мость капитала на 1%. На основании этих данных определите денежные потоки по проекту, а также заемного и акционерного капитала и заполните табл. 4.12.

По проекту Заемного капитала

Акционерного капитала

Найти оптимальный срок эксплуатации при условии, что за его пределами вложения могут осуществляться только под ставку дисконтирования / = 10%.

13.Компания использует ставку дисконтирования 10%. Предположим, что ежегодные поступления одинаковы. Какой максимальный приемлемый простой («недисконтированный») срок окупаемости должно иметь приобретаемое оборудование с жизненным циклом 5 лет? Каким будет максимальный приемле­ мый простой срок окупаемости для жизненного цикла 10, 20 и 40 лет и бесконечно долгого жизненного цикла?

14.Для расширения ассортимента выпускаемой продукции предприятию требуется 800 млн руб. По истечении годичного срока освоения производства новой продукции она будет прино­ сить ежегодно 300 млн руб. чистого дохода, и так в течение 5 лет. Требуется:

а) найти величину чистого дисконтированного дохода и внут­ ренней нормы доходности по данному мероприятию при следую­ щих источниках привлечения капитала:

•за счет собственных средств (СС);

•целиком на заемных средствах (ЗС): кредит берется под ставку 10% и его следует погасить в течение двух лет по схеме рав­ ных процентных выплат;

•с частичным самофинансированием (200 млн руб.) и по кредиту (600 млн руб.) на тех же условиях, что и в предыдущем пункте.

Расчеты выполнить для трех вариантов ставки сравнения: 10%; 8%; 15%;

б) на основании полученных числовых значений Л^РКпровести сравнительный анализ эффективности планируемого меро­ приятия в зависимости от величины коэффициента самофинанси-

СС

рования ( ^= (cc + 3 Q ) и Уровня альтернативной ставки ( / ) ;

в) согласно условию задачи выплата основного долга и про­ центов во 2-м году превышает величину чистого дохода. Откуда взять деньги на погашение?

15. Инвестиционный проект рассчитан на один год, требует 1000 долл. начальных вложений и дает в этом же году 1050 долл. чистых, до налога на прибыль, денежных поступлений (выручка - расходы кроме амортизации). Оценить целесообразность такой инвестиции, если цена капитала фирмы, не учитывающая налога на прибыль, составляет 6%, действующая ставка налога — 0,34, а амортизация за период начислена в сумме равной объему сделан­ ных инвестиций.

16. Анализируются два альтернативных проекта

Предполагая, что фирма может реинвестировать капитал в точ­ но такие же проекты, сделать выбор при цене капитала г = 10%.

Ан а л и т ич е с к ие задачи

1.Ожидается, что инвестиционный проект, требующий разо­ вых вложений /, будет приносить одинаковый доход Е в течение всего своего жизненного цикла л. Для оценки инвестиций ис­ пользуется ставка дисконтирования /. Требуется:

а) доказать, что максимально приемлемый «недисконтированный» период окупаемости зависит от жизненного цикла про­ екта п и стоимости денег во времени / и совпадает по величине с коэффициентом приведения простой годовой ренты:

С а х = а ( л ; / ) = Ь 0 ± / Г ;

I

б) убедиться, что найденный показатель приводит в терминах «недисконтированного» периода окупаемости к тому же реше­ нию «принять или отклонить», что и критерий NPV.

2. Проект А рассчитан на п лет и имеет характеристики NPVA = a, IRRA = р. Проект В состоит в последовательной ^-кратной реализации проекта А. Найти характеристики чистого приведенного дохода и внутренней нормы доходности проекта В.

3. Разрабатывается инвестиционный проект заданной про­ должительности п и требуется, чтобы срок его окупаемости (дисконтированный) совпадал с длительностью инвестицион-

ного цикла. Проект должен обеспечивать требуемый годовой доход R. Найти необходимые начальные инвестиции / и харак­ теристики эффективности данного проекта, отвечающие ставке сравнения /.

4. Оборудование стоимостью Р сдается в аренду на п лет. К концу этого срока его остаточная стоимость составит сумму S. Требуется:

а) найти величину минимально приемлемого для арендодате­ ля размера годового арендного платежа Rmm, если в своих оцен­ ках он использует ставку сравнения /;

б) составить уравнение, из которого рассчитывается норма доходности (IRR) для арендодателя, если арендатор согласился

на величину платежа R > Rmin;

в) записать формулу прироста (А) внутренней нормы доход­ ности в условиях п. «б» по сравнению с п. «а».

5. Предприятию для производственных нужд необходим ак­ тив стоимостью Рруб., который предполагается использовать в течение Глет. Требуемую сумму Р можно получить в кредит под ставку / на срок, равный периоду эксплуатации актива Г. Для простоты предположим, что заем берется на Глет на условиях его погашения равными процентами П = iP. Стоимость этого ак­ тива будет списана в течение данного срока по прямолинейному методу.

С другой стороны, фирма может получить актив в аренду на Г лет, выплачивая в конце каждого года Л руб.

Согласно принятым правилам, лизинговые платежи Л и рас­ ходы на амортизацию^ вычитаются из налогооблагаемой прибы­ ли. В предлагаемой задаче считается, что то же правило имеет место и относительно процентных выплат П (что не всегда соот­ ветствует российскому налоговому законодательству). Отнесение этих затрат на себестоимость, так называемый налоговый щит, снижает размер налогооблагаемой прибыли и дает налоговую экономию, которую необходимо учитывать в оценках денежных потоков для покупателя и в случае аренды.

Определить денежные потоки, необходимые для анализа це­ лесообразности того или иного варианта при условии, что ставка налога на прибыль равна т.

6. Известный из финансового менеджмента эффект финансо­ вого рычага равен приросту рентабельности активов (гА ) благода-

ря привлечению заемного капитала (ЗК), несмотря на его плат­ ность (гж). Согласно этому свойству эффективность собственно­ го капитала (ЭСК) при использовании заемного меняется в соот­ ветствии со следующей формулой:

ЭСК = г А + ( г А - г з к ) ^ - 7 .

Автором данного учебника получен аналог этого соотноше­ ния для инвестиционных проектов. Допустим, что проект фи­ нансируется частично за счет заемного капитала, т. е. инвестиции / включает как собственные средства / с к , так и заемные / з к :

Тогда рентабельность проекта по собственному капиталу от­ личается от рентабельности проекта по общему объему инвести­ ций на величину эффекта финансового рычага (ЭФР):

Требуется:

а) доказать эту формулу; б) определить ЭФР при совпадении кредитной ставки со

ставкой сравнения; в) показать, что доказанная формула приводится к следую­

щей зависимости между индексами рентабельности потоков по проекту и займу:

где PVnPi РУЖ — текущие стоимости потоков отдач и срочных уплат;

г) записать ограничение на допустимый объем заимствования / з к при следующих условиях:

• индекс рентабельности проекта превышает единицу;

• начальные инвестиции в оборудование / = 17,6 млн ден. ед.;

•норма амортизации — 0,1;

•суммарная налоговая нагрузка по отношению к прибыли —

50%;

•период отдачи от проекта — 10 лет;

а) найти характеристику ЛТ^Кпроекта при ставке дисконтиро­ вания / = 6%. Какое решение примут менеджеры фирмы по дан­ ному проекту?

б) как должна измениться цена продажи тренажера, чтобы менеджеры приняли противоположное решение?

2.Предприниматель Кирилл Петров накопил 7000 долл., что­ бы приобрести станок для производства бирюлек. Ежегодные денежные выгоды от его использования одинаковы и равны 1000 долл. В качестве альтернативы им рассматривается валют­ ный депозит под годовую ставку 6%. Сколько полных лет должен составлять жизненный цикл этого станка, чтобы его приобрете­ ние было по крайней мере приемлемым?

В студенчестве Петров успешно решал задачи по оценке ин­ вестиций, в том числе и такие, как расчетная задача 10 и аналити­ ческая 1. Чтобы получить ответ на интересующий его вопрос, Петров руководствуется показателем максимально приемлемого периода окупаемости из аналитической задачи 1.

3.Действующий универмаг будет продолжать неограниченно долго приносить 200 тыс. долл. ежегодного дохода. Новый, мо­ дернизированный универмаг, построенный вместо старого, обойдется в 1 млн долл. и, как ожидается, будет стоять вечно и да­ вать 25% прибыли. Следует ли принимать этот проект, если стои­ мость денег для инвестора 10%?

Пр и м е ч а н и е . Решить задачу двумя способами: а) на основе сравне­ ния двух вариантов: «с проектом — без проекта»; б) на основе анализа отно­ сительного денежного потока (денежные потоки от нового универмага ми­ нус потоки от старого универмага).

4.Компания «Домстрой» собирается вложить 15,552 млн долл.

встроительство жилого дома. У нее имеются два проекта: А и Б. По проекту А дом строится в две очереди, первая очередь даст за 1-й год 10 млн долл. дохода. В течение 2-го года строится вторая очередь, затраты на которую равны доходам от первой очереди. В конце 3-го года инвестор получит 10 млн долл. дохода. По проек-