Разное / фин_мат / Задачи и тесты по финансовой математике_Капитоненко В.В_2007 -256с

Величина при риске (Value at risk — VAR). Оценки риска откло­ нениями от среднего в обе стороны характеризуют риск неста­ бильности. В общем случае нестабильность может порождаться как нежелательными, так и выигрышными расхождениями от среднего. Для учета только неблагоприятных уклонений можно использовать квантильные характеристики распределения веро­ ятностей и найти такое 5, что для заданного уровня значимости р, например 95%:

ностью (р) предсказать уровень максимально возможных потерь на временном периоде, для которого оценивается риск. Получен­ ная таким образом оценка называется величиной при риске (VAR) и определяет потери при наихудшем стечении обстоя­ тельств. Для достаточно высокого уровня значимости р потери, превосходящие числовое значение VAR, соответствуют пренеб­ режимо редким событиям и, принимая инвестиционные реше­ ния, их можно не учитывать.

Прикладные VAR модели различаются в зависимости от выб­ ранной числовой характеристики потерь и вида ее вероятностно­ го распределения, длительности целевого периода, назначаемого уровня доверительной вероятности и методами расчета: по отно­ сительным частотам, с использованием моментных характерис­ тик или с помощью имитационного моделирования.

Риск разорения. Этот риск порождается такими большими «минусовыми» отклонениями (Я < М(К)), которые не оставля­ ют возможности рискующему их компенсировать. Вероятность осуществления подобного события определяет меру риска разо­ рения.

Пусть IV— начальный капитал инвестора, который получает случайный доход R . За меру риска его деятельности можно при­ нять вероятность разорения. Тогда стремление инвестора к ми­ нимизации этого риска побуждает его к поиску таких решений, которые дают максимум вероятности неразорения: Вер(Л + W> > 0) -» max.

Риск актива — это вероятность его пропажи либо возврата не в полном объеме. В частном случае кредита говорят о кредитном риске.

Риск обязательств определяется вероятностью их непогаше­ ния или погашения не в полном объеме.

Депозитный риск. Так называется вероятность досрочного от­ зыва депозитов.

Показатели риска в виде отношений

Подобные характеристики применяют в связи с влиянием, которое оказывает на риск один из показателей А в зависимости от соотношения его величины с числовым значением другого по­ казателя В. Чтобы снизить риск, коэффициент, равный отноше­ нию этих показателей, ограничивают некоторым приемлемым пороговым значением

К = Д / П < £ и л и > £ ,

где знак неравенства выбирается в зависимости от смысла срав­ ниваемых показателей. В качестве примеров показателей — отно­ шений, являющихся факторами риска финансово-хозяйствен­ ной деятельности, уместно сослаться на понятия финансового и операционного рычагов. Существенной составляющей этих по­ нятий являются отношение заемного и собственного капитала и, соответственно, постоянных издержек к переменным.

При превышении убытков над величиной собственного капи­ тала (СК) возникает риск разорения. Распространенными мера­ ми такого риска являются следующие отношения:

математическое ожидание убытков, то для коэффициента К{ за оценку максимума потерь целесообразно принять величину рис­ ка (VAR) при заданном уровне значимости р.

В финансовом менеджменте чаще применяют обратные отно­ шения, которые называют коэффициентами покрытия рисков и ограничивают снизу числами £ (> £).

Именно такой смысл имеет известный показатель покрытия расходов по обслуживанию заемного долгосрочного капитала:

Этот коэффициент показывает, во сколько раз валовой доход предприятия превосходит сумму годовых процентов по долгос­ рочным ссудам и займам.

Еще один показатель такого рода, известный как коэффици­

Здесь в роли весов выступают риски — вероятности потери со­ ответствующего актива, поэтому знаменатель в (6.12) имеет смысл ожидаемых по активам потерь.

Показатель дюрации и его применение для оценки рисков

Риск, связанный с изменением процентной ставки. Для потока платежей {Си С 2 , С Т } фактором риска, влияющим на его теку­ щую стоимость Р, является процентная ставка (ставка дисконти­ рования). Колебания уровня ссудного процента г могут привести

кнеблагоприятным изменениям этой стоимости, что сопряжено

сриском потери капитала и, в том числе, невыполнения обяза­ тельств. В качестве меры, оценивающей этот риск, широко при­ меняется обобщенная характеристика последовательности пла­ тежей, которая называется дюрацией. Согласно определению, дюрация — это

5 =i>—L ( 6 Л З )

/ =1 Р(1 + гу

где Р = 1С,(1 + /Г'.

Формально правая часть равенства (6.13), взятая со знаком минус, является эластичностью приведенной стоимости потока по отношению к (1 + г). Например, если поток платежей пред­ ставлен выплатами по купону и номиналом к погашению, то дан­ ный показатель будет характеризовать процентное изменение це-

ны облигации по сравнению с процентным изменением (1 + г). При необходимости значение (6.13) можно пересчитать в число­ вую характеристику чувствительности на процентную ставку.

Риск платежеспособности. Если обозначить

Р(\ + г)'

то формула дюрации приводится к виду

что позволяет толковать данный показатель как средний срок платежа. Исходя из этого, в качестве меры расхождения сроков поступлений по активам (А) и выплат по пассивам (П), оценива­ ющей риск платежеспособности, в финансовой практике ис­ пользуют показатель разницы средних сроков:

GAP —DA—D]п-

6 . 1 . 2 . Портфель ценных бумаг и его свойства

Оптимальный портфель из рисковых ценных бумаг. Инвестор располагает некоей суммой денег, предназначенной им для при­ обретения ценных бумаг на определенный промежуток времени. В конце этого промежутка он их распродает и извлекает доход за счет разницы цен. Принимая решение о видах и количествах по­ купаемых бумаг, инвестор стремится получить ожидаемый им до­ ход с минимальным риском.

Эта задача решается при следующих исходных данных: изве­

- /И/)(Лу - ту ).Удобно также ввести в рассмотрение коэффициен­ ты корреляции:

,=Ji-

сих помощью измеряется линейная связь между двумя случай­ ными величинами Ri9 Rj.

Неизвестными являются доли Xj общего вложения, приходя­ щиеся на у'-ю бумагу. Инвестор-оптимизатор выбирает эти доли таким образом, чтобы получить портфель ценных бумаг требуе­ мой ожидаемой доходности тр с минимальным риском Vp = ср2. Математически этому соответствует известная из портфельной теории модель Марковица:

Если инвестор имеет возможность проводить операции с цен­ ными бумагами типа коротких продаж (short sale), то в модели (6.14) требование неотрицательности переменных Xj можно снять и рассматривать их без ограничения на знак.

Расчеты по модели (6.14) для различных значений доходнос­ ти тр позволяют, в том числе, выявить эффективные портфели, т. е. портфели, не улучшаемые сразу по двум рассматриваемым показателям — тр и ср Всем таким портфелям соответствует так называемая эффективная траектория. Эта линия в плоскости портфельных характеристик изображается кривой зависимости риска ар (СКО) от эффективности тр. Эта кривая имеет положи­ тельный наклон к оси абсцисс тр и возрастающую отдачу по оси ординат ар: последовательные одинаковые приросты ожидаемой доходности портфеля сопровождаются возрастающими прирос­ тами его риска (в математике такая функция называется строго выпуклой).

Оптимальный портфель с безрисковой компонентой. Формируя такой портфель, инвестор в дополнение к рисковым ценным бу­ магам учитывает также возможность вложений с нулевым риском и заданной эффективностью, т.е. под неслучайную ставку г0. Обозначив долю таких вложений через х0 , придем к модели Тобина, предложенной им в порядке расширения постановки (6.14) и с теми же комментариями по поводу влияния коротких продаж на обязательность условий х* > 0:

Vp = Z Z fy*,xy = Z Z г ц ч а ^ ->min

x y > 0 , у = 0,1,...,л

ДЛЯ ЭТОЙ задачи эффективная траектория, полученная по ее решениям при различных значениях параметра тр, содержит пря­ молинейный отрезок с началом в точке (г0 0) и приходящий в точ­ ку касания (тс, <тс) с траекторией эффективных портфелей «уко­ роченной» задачи (6.14). Любой портфель на прямолинейном участке этой траектории получается комбинированием безриско­ вой инвестиции (г0 0) с вложением в касательный портфель (тс, ас ) и является оптимальным решением задачи (6.15). (Теорема об инвестировании в два фонда.) Этот вывод сохраняется и при сня­ тии требования неотрицательности для части или всех перемен­ ных в (6.15), но уже по отношению к криволинейной эффектив­ ной траектории задачи (6.14) с тем же набором не ограниченных знаком переменных.

Функция полезности. Для описания инвестора в финансовой теории используется понятие функции полезности дохода: U(R). Руководствуясь оценками полезности доступных рисковых аль­ тернатив, инвестор выбирает наилучшую из них, т.е. ту, что име­ ет наивысшую ожидаемую полезность:

mdix{MU(R) / R е Ж}.

Вид функции полезности выбирается таким образом, чтобы ее математические свойства соответствовали основанным на ре­ альных данных представлениям об отношении инвестора к дохо­ ду и риску. Самое важное из этих свойств, которое выполняется для различных типовых зависимостей, — вогнутость этой функ­ ции. Подобное течение кривой U(R) моделирует поведение не­ расположенных к риску, у которых с ростом дохода полезность растет, но потери воспринимаются ощутимее выигрышей. Мож­ но сформулировать это свойство и так: прирост полезности денег уменьшается с увеличением их количества.

В портфельной теории широкое распространение получила квадратичная функция полезности (возрастающий участок пара­ болы U(R) = аЯ + ЬЯ2 с ветвями вниз, а > О, Ъ < 0) и выводимая из нее функция полезности карты кривых безразличия: MU(R) = = U(m, а). Теоретический анализ оптимизационной задачи завер­ шается постулатом о выборе инвестором из множества эффек­ тивных портфелей такого, который доставляет максимум функ­ ции полезности U(m9 а). Геометрически это решение приводит в точку касания соответствующей кривой безразличия с траекто­ рией эффективных портфелей.

Рыночный портфель. В том случае, когда претендентами для за­ дачи (6.14) являются все виды торгуемых акций, касательный портфель(Аяс, ас) будет иметь ту же структуру, что и равновесный портфель рынка. В связи с этим его отождествляют с рыночным портфелем, а прямолинейный участок эффективной траектории называют линией рынка капитала (capital market line — CML). Этот термин отражает полученный в теории вывод, что все инвесторы разделяют свой капитал между двумя фондами: безрисковым и рыночным портфелем. При этом выбор пропорции, т.е. конкрет­ ной точки на прямолинейном участке эффективной траектории, определяется отношением к риску индивидуального инвестора.

Заметим, что данный вывод не охватывает всех возможных случаев в зависимости от допустимости продаж без покрытия (short sale) и величины требуемой доходности тр. Например, при запрете подобных продаж и тр > тс эффективные портфели пе­ рейдут на криволинейный участок траектории с нулевой долей вложения в безрисковую компоненту.

Бета-коэффициент. Эта характеристика ценной бумаги j за­

а ее числовое значение определяет вклад данной бумаги в диспер­ сию (риск) рыночного портфеля:

Заметим, что данное свойство можно перефразировать, опре­ делив вклад какой-либо акции А в риск содержащего ее портфе­ ля, необязательно рыночного. Этот вклад определяется относи­ тельным весом хл акций А в портфеле и их ковариацией с доход­ ностью портфеля Rp; можно также сказать — их средней ковариа­ цией с акциями в портфеле:

cov(RA9 Rp) = Ixj cov(RA9 Rj)9 Ixj = 1.

Квадратичная регрессия случайной доходности акции j в за­ висимости от случайной доходности рынка определяется линей­ ной функцией

M(Rj/Rc) = ^-(Rc -mc)+mj9 (6.17)

с угловым коэффициентом, равным, как следует из определения (6.16), «бета» вклада этой акции, т.е. РУ-.

Пользуясь соотношением (6.16), можно определить «бета» для произвольного портфеля ценных бумаг, при этом «бета» портфеля равна взвешенной сумме «бета» его бумаг.

Модель оценки капитальных активов (capital assetspricing model — САРМ). Данная модель описывает равновесную взаимосвязь между ожидаемым доходом mj бумаги j и ее вкладом ру в риск ры­ ночного портфеля:

Альфа-коэффициент. Реальные ценные бумаги могут откло­ няться от прямой (6.18), отвечающей модели идеального конку­ рентного рынка. Соответствующие этим отклонениям невязки ау- между фактическими значениями ожидаемой доходности т у ф и модельными оценками /яу называются «альфа» вклада:

Наблюдаемые всплески (ау- > 0) и провалы (ау < 0) означают, что фактическая доходность выше или ниже теоретической, ко­ торая располагается на прямой (6.18), называемой линией рынка ценных бумаг (security market line —SML). Этому соответствуют недооцененные для всплесков, а для провалов переоцененные рынком бумаги. В первом случае следует ожидать роста цены, а