Разное / фин_мат / Задачи и тесты по финансовой математике_Капитоненко В.В_2007 -256с

ной бумаги В, если известно, что «бета» ценной бумаги А рав­ няется 1,2?

Р е ш е н и е По свойству (6.22) рыночной модели

WB $A-Vf 1,2-490

8. Платеж с поправкой на риск.

Инвестор анализирует целесообразность приобретения сро­ ком на один период акций А. Согласно прогнозам, в конце пери­ ода на рынке ценных бумаг возможны две ситуации, и на каждую из них акция А откликается неслучайным образом. Известны ве­ роятности этих исходов и соответствующие им значения случай­ ной эффективности рынка и случайного курса акции (табл. 6.4).

Пусть доходность г0 безрисковых ценных бумаг составляет 8%. Определить оценку теоретически справедливой текущей сто­ имости акции А методом корректировки ожидаемого платежа.

Р е ш е н и е Используя табличные данные, найдем математическое ожи­

дание и дисперсию рыночной доходности:

/ис = 0,8 -0,2 = 0,16;

с 2 = M(RC)2 - т2 = 0,8 • (0,2)2 - (0,16)2 = 0,0064.

После этого вычислим параметр X, учитывающий поправку на риск в формуле безрискового эквивалента (6.24):

Л, = (0,16 • 0,08)/0,0064 = 12,5.

Для определения этого эквивалента найдем ковариацию ры­ ночной доходности Rc и случайного курса Е:

cov(£, Rc) = М(Е - M(E)){RC - тс)9

где М(Е) = 0,8 • 432 + 0,2 • 108 = 367,2, тс = 0,16.

Очевидно, что

М(Е - M(E))(RC - тс) = М(Е • Яс) - М(Е) • тс.

На основании этого:

cov(£, Rc) = (0,8 • 432 • 0,2 - 367,2 • 0,16) = 10,368.

Подставляя данное значение и величину X =12,5 в формулу (6.24), получим величину скорректированного платежа:

^ с к о р . = 3 6 7 > 2 ~ 1 2 > 5 ' 1 0 > 3 6 8 = 3 6 7 > 2 - 1 2 9,6 = 237,6.

Дисконтируя ее по безрисковой ставке, придем к справедли­ вой цене:

ТС = ^ 6 = 2 2 0 . 1,08

Если текущий курс акции меньше 220, то ее следует покупать, если же акция переоценена рынком, т.е. ее курсовая стоимость превышает найденную нами оценку, от покупки лучше воздер­ жаться.

П р и м е ч а н и е . Найденной оценке соответствует теоретически спра­ ведливая доходность акции RA = (E— TQ/TC, которая используется для рас­ четов скорректированной ставки (6.23):

''скор =rQ+X- cov((E- 220)/220, Rc) = 0,08 + 12,5 • cov(£, Лс)/220.

Согласно выполненным выше вычислениям, cov(£, Rc) = 10,368 и, сле­ довательно, гс к о р = 0,08 + 12,5 • 10,368/220 » 0,6691. Дисконтируя ожидаемую величину платежа М(Е) по этой ставке (по рыночной цене капитального ак­ тива), получим тот же ответ, что и при решении задачи:

ТС = 367,2/1,6691 « 219,9988.

9. Процентная ставка с поправкой на риск.

Проект стоит 3 млн руб., рассчитан на 1 год с ожидаемой от­ дачей в размере 4,5 млн руб. и имеет «бету», равную 2,0. Рыноч­ ная премия за риск (гс - г0) составляет 8%, а текущая безрисковая ставка равна 7%. Используя модель оценки долгосрочных акти­ вов (6.18), найти:

а) альтернативные издержки; б) приведенную стоимость проекта. Р е ш е н и е

а) по формуле (6.23) альтернативная ставка /•=7 + 2-8 = 23%;

б) дисконтируя по скорректированной с учетом риска ставке г = 23%, получим приведенную стоимость проекта:

NPV= - 3 + 4,5/1,23 * 0,658536 млн руб.

6.3. Задачи для самостоятельного решения

Расчетные задачи

1.Портфель состоит из двух пакетов акций стоимостью 3000 тыс. руб. и 2000 тыс руб. Ожидаемая доходность по первому па­ кету составляет 12%, а по второму - 16%. Какова ожидаемая до­ ходность портфеля в целом?

2.В начале года инвестор владел четырьмя видами ценных бу­ маг в следующих количествах и со следующими текущими и ожи­ даемыми к концу года ценами (табл. 6.5).

Таблица 6.5

Какова ожидаемая доходность этого портфеля за год?

3. Инвестор желает приобрести 10-летние бескупонные обли­ гации сроком на 1 год с погашением по номиналу. Согласно структуре процентных ставок, годовая доходность к погашению ожидается на уровне 7%, а ее волатильность (СКО) - 15%. Опи­ раясь на нормальный закон распределения доходности, получить следующие оценки:

7. Предположим, что на рынке могут возникнуть только два исхода и на каждый из них акции А и В откликаются неслучай­ ным образом. Вероятности этих исходов и соответствующих им значений доходности заданы табл. 6.7.

Определить:

а) ожидаемые доходности и риски (стандартные отклонения) этих акций;

б) коэффициент корреляции между доходностями; в) какую акцию выберет инвестор, максимизирующий веро­

ятность неразорения, учитывая, что инвестируются заемные средства, взятые под ставку 1,5%;

г) как распределить вложения, чтобы получить безрисковую комбинацию этих акций — портфель с не зависящей от исхода эффективностью.

8. Инвестор вложил 60% своего капитала в акцию А, а остав­ шуюся часть — в акцию 5. Риски этих акций составляют соответ­ ственно 10 и 20%. Чему равен риск портфеля, если:

а) доходности этих бумаг находятся в полной прямой корре­ ляции;

б) доходности некоррелированы; в) имеет место положительная статистическая связь с коэф­

фициентом корреляции 0,5.

9. Портфель состоит из активов А и В. Доля актива А — 40%, актива В — 60%. Дисперсии активов

аА2 = 0,0012184, ав2 = 0,000987. Коэффициент корреляции:

гАВ = 0,0008765. Чему равен риск портфеля?

а) пять из этих портфелей эффективны, три - нет. Какие портфели неэффективны?

б) допустим, что вы также можете брать кредиты и предостав­ лять займы по ставке 12%. Какой из приведенных портфелей яв­ ляется лучшим в этой ситуации?

в) предположим, вы готовы принять стандартное отклонение, равное 25%. Какую максимальную ожидаемую доходность вы мо­ жете получить при условии, что у вас нет возможности брать кре­ диты или предоставлять займы?

г) как изменится ваша стратегия, если у вас появится возмож­ ность кредитования и заимствования по ставке 12%. Вы по-преж­ нему готовы принять 25%-ный риск, но стремитесь получить максимальную ожидаемую доходность? Чему равен выигрыш по сравнению с п. «в»?

17.Инвестор вложил 60% своих денег в акции Л, а остальные

—в акции В. Он оценивает перспективы для себя следующим об­ разом (табл. 6.11).

Определить:

а) каковы ожидаемая доходность и стандартное отклонение портфеля?

б) как изменился бы ваш ответ, если бы коэффициент корре­ ляции равнялся 0 или —0,5?

в) портфель инвестора лучше или хуже портфеля, полностью состоящего из акций А, или об этом невозможно судить?

18. Случайная доходность ценной бумаги имеет нормальное распределение с ожидаемым значением E(R) = 14% и риском 15%. Облигации государственного займа дают безрисковую до­ ходность 5%. Найти вероятность того, что вложение в эту бумагу будет выгоднее, чем покупка облигаций.

19. Какова «бета» для каждой акции со следующими данными об ожидаемой доходности (табл. 6.12)?

Аналитические задачи

1.Пусть А — вклад в рискованный актив с вероятностью пол­ ной утраты ра и с доходностью га при его сохранении. Требуется:

а) получить формулы математического ожидания и риска (СКО) случайной доходности г подобного вложения;

б) определить, как изменятся формулы п. «а», если вместо риска актива будет иметь место риск процентов: вклад возвраща­ ется в полном объеме, а проценты теряются с вероятностью рп или начисляются по ставке га.

2.Сформировать портфель Тобина минимального риска из двух видов ценных бумаг: безрисковых с эффективностью 2 и рисковых с ожидаемой эффективностью 10 и риском 5. Найти за­ висимость эффективности портфеля от его риска.

3.В модели САРМ известны эффективности т{, т2 и р ь (32 двух ценных бумаг. Как найти безрисковую ставку г0 и эффектив­ ность рынка тс1

4.Имеются два актива со случайными эффективностями Rl9 R2. Возможные значения этих эффективностей и их вероятности сведены в табл. 6.13).