Разное / фин_мат / Задачи и тесты по финансовой математике_Капитоненко В.В_2007 -256с

14. Доходность от досрочной продажи «длинных» бумаг:

98,25-96,00,365

96,00 90 доходность погашения «коротких» бумаг:

Покупка и досрочная реализация 180-дневных векселей выгод­ нее, чем покупка векселя с погашением через 90 дней.

15. а) месячная доходность опционной сделки:

( 1 ° - 2 ) - 1 0 ° - 1 0 0 % = 4 0 0 % ; 2100

месячная доходность акции:

2 2 0 - 2 0 ° . 1 0 0 % = 1 0 % ; 200

б) очевидно, что при падении курса месячная доходность опци­ онной сделки составит отрицательную величину (-100%), а доход­ ность вложения в акцию также будет отрицательна и равна — 10%.

16. В случае простого процента банковская ставка должна быть

18.13,98%.

19.18,4%; досрочное погашение проводится по цене выше номи­ нала. Разница называется премией за досрочное погашение. Фирмы обычно погашают свои облигации досрочно, заменяя их новыми, в условиях существенного снижения ссудного процента.

20. Продать.

21. Ежегодные переплаты по облигации в сравнении с депозитом составляют:

s = (0,12-0,1)- 1000 = 20.

Поток этих «выигрышей» образует простую годовую ренту, за ко­ торую покупатель облигации должен заплатить ее продавцу премию, равную современной величине этого потока:

Е = 20 • а(10,10%) « 20 • 6,1446 « 122,89 руб.,

т.е. купить облигацию по теоретически справедливой цене Р =

=1122,89 руб.; см. также задачу 3 из раздела аналитических задач.

22.а) ставка простого процента:

б) ставка сложного процента:

110 -1*0,194=19,4%.

105,23

23. Для отыскания искомой доходности запишем следующую таблицу денежных потоков по каждому из пакетов облигаций и по их совокупности (табл. 5.4).

Таблица 5.4

Определим внутреннюю норму доходности результирующего по­ тока (в расчете на полугодовой период). Вычисляя с помощью Excel, найдем IRR « 0,053 = 5,3%, или в расчете на год 10,6% по простому проценту и соответственно 10,9% с учетом разовой капитализации (по сложному проценту).

24.а) 12,5%; б) акции компании недооценены, поэтому их следу­ ет покупать.

25.а) согласно формуле (5.17) облигации будут приобретаться по номинальной стоимости при условии, что купонная ставка г] совпа-

Отсюда следует ограничение на доходность j :

j>— <1+<0-1.

' Ро

Здесь в качестве периода начисления процентов принят срок ва­ лютного кредита.

7. Данному портфелю соответствует следующий денежный поток.

Искомая доходность / является внутренней нормой прибыли этого потока, т. е. характеристикой IRR. Ее величина определяется из уравнения

Для решения этого уравнения можно воспользоваться соответ­ ствующей финансовой функцией Excel.

8. Оценку рыночной стоимости находим по формуле современ­ ной величины полного потокагдбходов:

9.к =£+ -.

10.а) темп прироста дивидендов gt не меняется во времени и оп­ ределяется величиной g= а • (1 - р);

11.й = £ + г, + *г,,/=1,2, ... ,Г .

Ситуационные задачи

1.Цена каждой акции увеличилась на 100%.

2.а) согласно условиям задачи:

Номинал выпуска = Инвестиции в основной капитал + + Вложение в оборотный капитал + Затраты на эмиссию.

Это соотношение дает следующее уравнение для определения номинала выпуска:

N = 6400 + 1300 + 1000 + 2100 + 0,012025//, или 0,987975 N = = 10800 тыс. руб.

Отсюда

7V = 10931450 руб. б) п = 10931450/1000 * 10930 штук.

3. Минимальный срок достигается при ежегодных взносах в по­ гасительный фонд, равных чистой прибыли. Ее величина:

п = (1 - Ставка налога) • (Выручка - Полные затраты - - Купонная выплата) = 0,76 • (39100 - 31700 - 0,16 • 10931,45) =

= 4294,73 тыс. руб.

Применяя функцию Expel для расчета общего количества перио­ дов выплаты 4294,73 с^бад^нсом будущей наличности 10931,45, най­ дем, что требуемое число периодов равно 2,3261. Отсюда следует, что в расчете на минимальный срок обращения облигации должны быть трехгодичными. Так как 3 > 2,3261, то, например, последний взнос можно уменьшить. Будущая стоимость трехгодичной ренты FV =

=14772,15 превышает номинал на величину А = 14772,1510931,45 =

=3840,7. Чтобы устранить этот избыток, достаточно уменьшить тре­ тий взнос в погасительный фонд на величину

rf= 3840,7/1,14 = 3369,03, т.е довести его до величины:

R = 4294,73 - 3369,03 = 925,7 тыс. руб.

4. Если налоги не учитывать, то у Сидорова через год будет 1300 руб. Эта сумма включает остаток при покупке (100), дивиденды (100) и выручку от продажи (1100). Уплаченные им налоги составят:

Г = 0,003 • 900 + 0,003 • 1100 + 0,13 • 100 + 0,13 • (1100 - 900) = = 45 руб.

За вычетом налогов у Сидорова останется 1255 руб. По сравне­ нию с Петровым его капитал больше в 1,255 раза.

5. а) для решения можно воспользоваться ответом аналитичес­ кой задачи 1. Применяя полученную в этой задаче формулу, найдем стоимостную оценку Федора:

_ 30(1 + 0,05) 0,14-0,05 ~ 3 5 0 '

б) ту же формулу можно использовать для приведения прогнози­ руемого Михаилом бесконечного потока с темпом роста 104%:

Р(3) = 3 0 ^ 3 ' ^ 0 4 =539,136. м 0,14-0,04

Врезультате интересующую его оценку получим как текущую стоимость потока из трех платежей:

Л, = 30- 1,2; Д 2 = 3 0 - 1,22; Д 3 = 30 • 1,23 + 539,136.

Таким образом, при ставке дисконтирования в 14% оценка Ми­ хаила

Л, «463,71.

6. Теоретически справедливая цена акции равна текущей стои­ мости потока получаемых по ней дивидендов. Применяя формулу из ответа к аналитической задаче 10, найдем, что эта цена:

PV= 12-(1 + 0,15 • (1 - 0,4))/(0,12 - 0,15 • (1 - 0,4» = 436.

Сравнивая ее с курсом, определим: NPV = 436 - 477 = - 4 1 . Так как NPV< 0, то акции рынком переоценены, и инвестировать в них невыгодно.

7. а) за 180 дней до погашения ожидаемая цена продажи годич­ ной облигации будет такой же, как и текущая цена 180-дневной об­ лигации. Купив короткие облигации, Иванов на дату их погашения 14 июля получит сумму: Sx = 34200 • 1000/950 = 36000. При вложении в годичные облигации и их досрочной продаже его выручка составит величину S2 = 950 • 34200/900 = 36100. Откуда видно, что игра на кри­ вой доходности выгоднее, чем покупка 180-дневных бумаг; б) г т = (1000/950)2 - 1 = 0,108 = 10,8%; г 3 6 5 = (1000 - 900)/900 = 0,11 = 11%;

'кривая доходности = (950/900)2 - 1 = 0,114 = 11,4%.

8. а) 62,5%; б) ЭФР = (0,43 - 0,625) • 0,4/0,6 = -0,13 = - 13% .

Тесты

1.(4). 2. (1). 3. (2). 4. (2); (5). 5. (2); (3); (5). 6. (1). 7. (2). 8. (1); (4).

9.(4). 10. (1). 11. (4). 12. (1). 13. (2). 14. (2). 15. (2). 16. (2). 17. (3).

18.(2). 19. (3). 20. (2). 21. (3).

Раздел 6 ФИНАНСОВЫЕ РИСКИ

И ПОРТФЕЛЬ ЦЕННЫХ БУМАГ

6 . 1 . Основные понятия и формулы

До сих пор мы имели дело с задачами, для решения которых не требовалось учитывать действие стохастических факторов и веро­ ятностный характер финансового рынка и инвестиционных про­ цессов. Вместе с тем, реальность такова, что фактические реализа­ ции найденных решений могут отличаться от предписанных этим решениям «средних» вариантов. Вызванные данными расхожде­ ниями потери, а возможно, и приобретения зависят от меры слу­ чайности рассогласований, а также от их амплитудных характерис­ тик (величины рассогласований). В финансовой сфере это несоот­ ветствие ожиданиям порождает так называемый финансовый риск, обусловленный влиянием «случая» и информационной неопреде­ ленности. Рассматривая подверженный финансовому риску ре­ зультат в зависимости от вызывающих его причин, придем к поня­ тию факторов риска. Иначе говоря, результат — функция, а факто­ ры риска — ее аргументы. В общем случае числовые значения этих аргументов - случайные величины, и, следовательно, риск резуль­ тата частично зависит от риска учитываемых факторов, а его остав­ шаяся часть объясняется влиянием «внешней» случайности.

В условиях риска будущий результат взвешивается по двум критериям: один дает прогнозную характеристику (математичес­ кое ожидание), а другой — меру изменчивости (дисперсию). Вы­ бор действий зависит от оценки согласования этих разнонаправ­ ленных критериев; как правило, рисковость варианта возрастает с ростом ожидаемой результативности. При этом стремление к наивысшему ожидаемому результату сдерживается опасениями его высокой колеблемости. На что решится оперирующая сторо­ на, зависит от ее отношения к риску, от того, в каких отношени­ ях она готова обменять дополнительные порции риска на допол­ нительные порции выигрыша.

Вместе с тем дисперсия — это лишь один из возможных изме­ рителей риска. В приложениях, а также в финансовой теории имеется множество других показателей, в том числе основанных на вычислении вероятностей, например, нежелательных собы­ тий, а также косвенные измерители, числовые значения которых корреспондируют с финансовой надежностью хозяйствующих субъектов, и прочие.

6 . 1 . 1 . М е р ы риска

Характеристики рассеяния

Дисперсия. При действии стохастических причин любое конк­ ретное значение финансового результата г является реализацией определенной случайной величины R. При этом ожидаемый ре­ зультат оценивается математическим ожиданием M(R), а его риск — дисперсией D(R):

Чем больше дисперсия (вариация), тем в среднем больше отк­ лонение, т.е. выше неопределенность и риск.

Среднеквадратинеская характеристика риска. Зачастую за степень рискованности принимают также величину среднеквадратического отклонения (СКО)

называемую риском анализируемого показателя R: дохода, эф­ фективности вложения и т. д. в зависимости от конкретного со­ держания.

Оценка риска акции во времени. Для оценивания риска в зави­ симости от длительности временного периода опираются на ма­ тематическое описание ценовой динамики акций, принятое в известной модели Блэка—Шоулса. В ее обозначениях риск ак­ ции а измеряется стандартным отклонением доходности, представленной как непрерывно начисляемый процент в расче­ те на год (в виде десятичной дроби), а ц — ожидаемое значение годовой ставки. Согласно свойствам этой модели математичес­ кое ожидание доходности и ее риск достигнут за время Т (в до­ лях года) значений:

ния сопряжены с риском потерь, а движения в противополож­ ном направлении дают выигрыши и определяют уже не риски, а шансы. Полудисперсия эти положительные сдвиги не учитыва­ ет, они приравниваются нулевым значениям, а вычисляется только по отрицательным отклонениям (R — M{R)) < 0. Для дискретной случайной величины R = г,-с вероятностьюр( этот из­ меритель риска определяется суммой взвешенных по вероятнос­ тям значений квадратов неблагоприятных отклонений от сред­ него M(R) = т:

Аналог этого показателя для непрерывной случайной величи­ ны рассчитывается интегрированием на области ее отрицатель­ ных уклонений с плотностью вероятностей J[r) в роли весовой функции:

Дисперсионные характеристики риска. Эти показатели осно­ ваны на известной формуле разложения дисперсии, согласно ко­ торой

Физический смысл составляющих дисперсии в (6.7) следую­ щий. Дисперсия условного математического ожидания DM(R/X) характеризует ту часть флуктуации переменного результата R, ко­ торая вызвана влиянием фактора риска X. Средняя условная дис­ персия MD(R/X) характеризует ту часть общей дисперсии пере­ менной R, которая вызвана совокупностью всех остальных фак­ торов, кроме влияния переменной X.

Из приведенной трактовки следует, что измеряемый диспер­ сией риск разлагается на две части: риск, обусловленный влияни­ ем учитываемого фактора X, и риск по всем неучитываемым фак­ торам. Характер преобладания между учитываемыми и неучиты­ ваемыми факторами по их влиянию на риск результата устанав­ ливается в зависимости от сопоставления величины вклада каж­ дого из слагаемых в сумме (6.7).