й |
+ |
g% |
0. rof-n\ |
\ |
а-— |
9. Для доказательства можно воспользоваться методом матема тической индукции.
Ситуационные задачи
1. 39525; 20620. Срочность кредита равна числу дней между 4 марта и 16 июля (134 дня). Фактически полученная сумма
D = 45000(1 - 0,3-134/360 - 0,01) = 39525 руб. На 16 июля оста ток долга составит:
D0CT= 45000 - 25000 = 2000, а начисленные за 31 просроченный день (с 16 июля по 16 августа) проценты составят:
/= 2000.0,36.31 = 6 2 0
360
Таким образом, господин N 16 августа должен будет выплатить банку сумму:
S = 20000 + 620 = 20620 руб.
2. Завышены. Текущая стоимость потока выплат:
7С= 350 • ct(90; 1) « 350 • 59,16088 « 20706 долл.
Таким образом, переплата господина N- 706 долл.
3. а) Ежеквартальная выплата |
равна |
300 000-1,64/32 = 15375; |
|
б) для искомой ставкиj |
имеем уравнение: |
|
|
15375-а(32;у/4) = 300000. |
|
|
|
Откуда а(32;у(4) =( 1 |
~ ( 1 + у / 4 ) ^ |
«19,51. |
|
|
У/4 |
|
|
Применяя встроенную в Excel функцию для расчета внутренней ставки, получаем:у/4 « 3,33%, т. е.у « 13,3%. Итак, кредит выдан фак тически под 13,3% годовых сложных процентов.
4. Срочность п кредита найдем из уравнения: 70 • а(п; 5) = 300. Для отыскания его корня можно воспользоваться функцией Excel для расчета числа периодов. В результате получим значение п = = 4,94284. На практике это означает, что первые 4 года срочная упла та равна 70 тыс. руб., а в последнем году она будет меньше, так как
год неполный. Заключительная уплата в 5-м году должна быть равна сумме остатка долга (D0CT) на начало 5-го года и начисленных на этот остаток процентов (/5 ):
Z>0CT= 300(1 + 0,05)4 ~70 • j(4; 5) = 300 • 1,2155063 - 70 • 4,3101250 =
=364,65189 - 301,70875 « 62943, / 5 = iD = 0,05 • 62943 « 3147. Откуда
Y5 = 62943 + 3147 = 66090.
Этот ответ можно получить исходя из требования финансовой эквивалентности, которое выполняется при условии, что замыкаю щий платеж:
Y5 = 300(1 + 0,05)5 - 70 • ^(4; 5)(1 + 0,05) » 66090 руб.
5. Цена контракта для финансовой компании равна текущей сто имости потока выплачиваемых фермером платежей, дисконтиро ванных по ставке / = 12%/12 = 1%: PV= 19373,74 долл.
6.14,3629%.
7.Современная ценность контракта с первой строительной орга низацией равна 16821121,76 руб., со второй — 16730756,89 руб. Сле довательно, контракт со второй организацией несколько выгоднее, чем с первой.
Без существенной потери точности будем поток платежей по займу рассматривать как дискретную ренту с месячным периодом начисления процентов. Текущая стоимость такого потока:
А= 10000 • сс(12; 1) • у(2; 12) « 10000 • 11,2551 • 0,7972 * 89726. Абсолютный грант-элемент
W- D-A = 120000 - 89726 = 30274 руб.;
относительный фант-элемент: w = (D — A)/D « 0,25 = 25%.
Более точный результат получится при рассмотрении дискрет ной ренты с начислением процентов один раз в году.
9. К концу 5-го года задолженность составит:
Z,5 = 25000 • 1,15 = 25000- 1,61051 = 40262,75 долл. Величина предстоящих годовых выплат равна:
7 = L5/cx(5; 10) « 40262,75/3,79079 * 10621,203.
Таким образом, студент надеется на годовой доход R = = 21242,4059 долл., или в среднем 1770 долл. в месяц.
10. а) Не зависит; б) i = 40,2%; j = 1,055612" 1 = 91,5%; в)« 9,6 мес; г) рассмотрим, например, базовый вариант и 4-месячный кредит. Не ограничивая общности, цену можно принять за единицу, а пер вый взнос считать нулевым. По правилам потребительского кредита (1 + //3) / 4 = 0,285. Откуда / = 42%. Месячная ставка сложного
процента у м е с |
определяется |
уравнением: 0,285 • ос(4, ум е с ) |
= 1, т.е. |
Ум е с = 0,0545. Переходя к |
эффективной годовой ставке, |
найдем |
|
j= 1,05451 2 - |
1 «89%. |
|
|
Тесты
1.(3); (4). 2. (1). 3. (2). 4. (2), (3). 5. (3). 6. (2). 7. (2). 8. (1). 9. (1).
10.(2). 11. (3). 12. (2), (4). 13. (2). 14. (3). 15. (3).
Раздел 4
ИНВЕСТИЦИОННЫЕ ПРОЕКТЫ
В данный раздел включены задачи, которые в упрощенной форме ставят вопросы анализа и принятия инвестиционных ре шений в условиях определенности. Решая их, читатель получит первоначальные навыки для оценки инвестиционных проектов, которые пригодятся ему при освоении специализированных программных средств и необходимы в практической деятельнос ти по управлению инвестициями. Вместе с тем они недостаточны хотя бы потому, что не охватывают вероятностные свойства ин вестиционных процессов и присущие им риски. Автор надеется в дальнейшем снять эти претензии, уделив им специальную главу.
4 . 1 . Основные понятия и формулы
Инвестиционный процесс — это временная последовательность взаимосвязанных инвестиций (вложений денег), отдача (доходы) от которых также растянута во времени. Период, в течение кото рого инвестиции будут приносить отдачу, определяет продолжи тельность проекта с момента его начала и называется жизненным циклом инвестиции.
Под инвестициями в настоящем разделе имеются в виду фи нансовые ресурсы, направляемые в реальный сектор экономики. Еще один вид инвестирования - в финансовые активы — будет рассмотрен в следующей главе.
Поток наличности (cash flaw). Для описания инвестиционно го процесса необходимо прежде всего составить календарный график денежного потока по проекту. Этот поток состоит из ин вестиций — необходимых объемов капитальных затрат и отдач на них - чистых доходов, получаемых в ходе реализации проекта. Под чистым доходом понимают общий доход (выручку) за выче том всех платежей, связанных с его получением. В эти платежи входят все расходы (прямые и косвенные) по оплате труда, мате риалов, налогам, затраты на управление, маркетинг, стимулиро-
вание сбыта и пр. Поскольку амортизационные отчисления не вызывают оттока денежных средств, то они учитываются в пото ке отдач: прибавляются к сумме чистой прибыли.
В общем случае, когда привлекается заемный капитал, наря ду с денежным потоком по проекту следует также учитывать де нежный поток заемного капитала. В этом потоке получению ссу ды соответствуют положительные платежи, а выплатам в счет ее погашения — отрицательные.
Денежный поток по инвестируемому в проект собственному
(акционерному) капиталу получается сложением этих потоков: денежного потока по проекту (капитальные вложения и отдачи) с денежным потоком заемного капитала (объем заимствования и погашающие платежи).
Подчеркнем, что для оценки выгодности инвестиционного проекта основное значение имеет денежный поток по проекту. В случае положительного результата следует также провести анализ денежного потока по акционерному капиталу и выяснить, как влияют условия кредита на эффективность вложения собствен ных средств.
Перед тем как оценивать эффективность инвестиций, необ ходимо преобразовать все денежные потоки по проекту к посленалоговому виду.
На оси времен инвестиционный проект можно изобразить двусторонней последовательностью платежей: отрицательные ординаты (вниз) - отток, положительные (вверх) - приток. При табличном задании этому соответствует временной ряд платежей со знаком плюс, который может быть опущен, — поступления, и со знаком минус - оттоки денежных средств. В стандартной, на иболее простой и типичной ситуации денежный поток развивает ся таким образом, что инвестиции, или отток капитала, предше ствуют поступлениям, или его притоку. Однако возможны и дру гие, неординарные ситуации, когда отток и приток капитала че редуются, и даже «перевернутые» проекты, в которых притоки идут раньше оттоков, например, получение кредитов с последую щим погашением.
Критерии оценки эффективности инвестиционных проектов
Для инвестора, а также кредитора, если проект кредитуется, важно иметь количественные показатели, оценивающие выгод-
ность проекта в терминах сопоставления требуемых инвестици онных затрат и получаемых экономических результатов.
Показатели без дисконтирования. К этим показателям отно сятся следующие простейшие характеристики сопоставления ка питальных затрат и отдач без учета временного фактора.
Норма прибыли на капитал. Единого общепризнанного алго ритма расчета этого критерия не существует, в частности, в силу множественности приписываемых понятию «доход» измерите лей: сумма прибыли и амортизации, доход после уплаты налогов и процентов за кредит, чистая прибыль.
Расчет нормы прибыли на капитал может проводиться двумя способами:
а) исходя из общего или среднего размера вложенного капи тала в течение инвестиционного цикла (средних учетных инвес
тиций): |
|
|
|
ЕД/ |
1Д/ |
|
|
# п к = ПТ ' |
# п к =77—П т |
v / V ^ост = А> ~Л- |
(4.1) |
h |
\ y 0 + y |
o c T / / z |
|
где ЕД, - сумма годовых доходов за весь срок; первоначальные вложения;
А>ст —остаточная стоимость вложений;
сумма износа основных средств, входящих в первоначальные вло жения, за всю продолжительность проекта п;
б) по отношению к средним учетным инвестициям. В этом случае рассчитанный показатель называется показателем учет ной нормы рентабельности и имеет общепринятую аббревиатуру ARR (Accounting Rate of Return).
В частном случае разовых начальных инвестиций / 0 и равных ежегодных отдач Д (Д{ = Д 2 = ... + ДЛ = Д) норма прибыли равна:
Величина отдачи |
Д |
/*пк = |
——. |
Объем инвестиций |
/ 0 |
Простой (недисконтированный) период окупаемости. Смысл этого показателя заключается в вычислении периода, необходи мого для возмещения вложений за счет полученных доходов. Например, если некоторое мероприятие дает ежегодную при быль П, то чистый ежегодный доход составит:
£ = ( l - r j ) n + A ,
где r| — налоговая ставка;
А — амортизационные отчисления в расчете на год.
Тогда упрощенный, без учета временной неравноценности доходов, показатель срока окупаемости (Го к ) находится из урав нения
( ( 1 - П ) П + А ) . Г 0 К = /,
где / — сумма всех инвестиций,
и
Ток=1/Е. (4.2)
При неравных значениях отдачи {Et} период окупаемости оп ределяется минимальным сроком л, при котором:
Z £ , - / > 0 . |
(4.3) |
/ =1 |
|
Обычно управляющий устанавливает некий максимальный период окупаемости и отклоняет все инвестиционные предложе ния, период окупаемости которых больше этого максимума.
Приведенные затраты. Использование данного показателя опирается на принцип сравнения затрат при тождественных ре зультатах. Сравниваемые по затратам варианты различаются еже годными текущими издержками С и капитальными вложениями К, которые с помощью показателя приведенных затрат сводятся к одной величине
JV=C+jK. (4.4)
Здесь в качестве j принимается минимально допустимая ин вестором норма отдачи на его вложения (процент на капитал); ее еще называют нормативным показателем эффективности капита ловложений для данного хозяйствующего субъекта. Величину/ К можно толковать как ежегодные проценты, упущенные из-за от влечения денег в данный проект. По результатам сравнения выби рается вариант г с наименьшим значением приведенных затрат:
Cr + jKr = mm(Cs+jKs).
s<n
Сюда же относится случай, когда проекты можно условно привести к одинаковым результатам, скорректировав для этого издержки на их осуществление. Пусть, например, рассматривае мые варианты различаются и по объемам производства, и по рас ходам. Тогда в качестве коэффициента приведения затрат к оди наковой производительности (тождественному результату) сле дует использовать следующую формулу:
Здесь Z>m a x — максимальная производительность из представ ленных вариантов, которая рассматривается как тождественный результат, к которому приводятся вариантные затраты; Ds — про изводительность по каждому варианту.
Нормативный срок окупаемости. Пороговое значение j в фор муле приведенных затрат (4.4) можно рассматривать как устанав ливаемый инвестором норматив эффективности своих вложений (нормы прибыли на капитал). Ему соответствует нормативное значение срока окупаемости, которое, аналогично (4.2), удовлет воряет следующему условию:
JKTQK=K.
Отсюда видно, что нормативный срок окупаемости есть вели чина, обратная нормативной эффективности:
Го к =1/у.
Дисконтные показатели. С помощью этих показателей сопос тавимость разновременных инвестиционных затрат и чистых до ходов производится с учетом времени посредством их расчетного приведения (дисконтирования) к началу проекта.
Чистый приведенный доход (net present value — NPV). Данный показатель равен разности современных величин потока доходов от проекта и потока вызвавших их инвестиционных затрат:
NPV = ZEtf |
- Х/,У' • |
(4.5) |
доходы инвестиции
Здесь и в дальнейшем у' — дисконтный множитель по ставке сравнения /:
Чистый наращенный доход (net future value — AW).Данный по казатель равен разности наращенных на дату окончания п вели чин потока доходов {Е(} и потока инвестиционных затрат {/,}:
NFV=NPV(l+i)n.
Индекс рентабельности
PI
Сумма приведенных доходов Сумма приведенных инвестиционных затрат
"№ ' '
В отличие от NPVэтот показатель является относительным — он характеризует уровень доходов на единицу затрат: чем больше значение индекса рентабельности, тем выше отдача каждого руб ля, инвестированного в данный проект.
Рентабельность. Этот показатель оценивает эффективность инвестиционных затрат по отношению к результату, измеряемо му величиной чистого приведенного дохода:
p=NPV |
|
(4.7) |
|
|
|
причем, как легко установить, |
|
|
PI=P+ 1. |
|
|
«Дисконтированный» период |
окупаемости |
|
Ток — min я, |
|
|
при котором |
|
|
|
2 / у . |
(4.8) |
t=\ |
инвестиции |
|
Очевидно, что в случае дисконтирования срок окупаемости превышает одноименную характеристику, не учитывающую не равноценности денег во времени.
Внутренняя норма доходности (internal rate of return — IRR).
Численное значение этого показателя равно той ставке процента, при которой чистый приведенный доход проекта равен нулю. Инвестируя под эту ставку, мы получим финансовый результат, равносильный капитализации с тем же процентом всех получен ных в ходе реализации проекта доходов.
Пусть {is,}, {/,} — календарные графики доходов и инвестиций. Тогда внутренняя норма доходности q является корнем урав нения
|
£ £ Д1 + <7Г'-1/Д1+<7Г'=0. |
(4.9) |
|
|
доходы |
инвестиции |
|
|
Левая часть уравнения |
(4.9) - многочлен от |
неизвестной |
|
1 |
|
|
X = |
. |
|
|
|
1+* |
|
|
|
Для однозначного определения величины IRR |
данный мно |
|
гочлен должен иметь только один положительный корень. Это будет справедливо для денежных потоков, у которых отток (пос ледовательные инвестиции) сменяется притоками, в сумме пре восходящими этот отток.
В общем случае положительных корней может быть несколь ко или они могут отсутствовать, и поэтому задача отыскания IRR становится некорректной. От этого недостатка свободен показа тель модифицированной внутренней нормы доходности, кото рый можно применять для анализа проектов с неоднократно че редующимися инвестициями и доходами.
Модифицированная внутренняя норма доходности (MIRR). Для пояснения данного показателя будем исходить из возможности инвестора получать доходность на вложенные средства, равную
ставке сравнения /. Тогда современная величина |
инвестирован |
ных в проект средств составит: |
|
/(0) = Е/ / (1 + /Г / , |
(4.10) |
инвестиции |
|
а будущая стоимость чистых доходов (на завершающую дату проекта):
£(л) = £ £ , ( 1 + / Г ' . |
(4.11) |
доходы