В.В.Капитоненко
Задачи и тесты по финансовой математике
Допущено Советом Учебно-методического объединения вузов России
по образованию в области менеджмента в качестве учебного пособия
по специальности "Информационный менеджмент"
МОСКВА ФИНАНСЫ И СТАТИСТИКА"
2007
УДК [336:51](076.1) ББК 65.26в631я73
К20
РЕЦЕНЗЕНТЫ:
Кафедра менеджмента и информационных технологий Московского государственного университета леса; Н.П. Тихомиров,
доктор экономических наук, профессор, декан экономико-математического факультета
Российской экономической академии им. Г.В. Плеханова
Капитоненко В.В.
К20 Задачи и тесты по финансовой математике: учеб. пособие. — М.: Финансы и статистика, 2007. - 256 с: ил.
ISBN 978-5-279-03182-5
Включены задачи по основным разделам финансовой математики: пото ки платежей, кредитные расчеты, анализ инвестиционных проектов, оценки курсов и доходностей ценных бумаг, измерение финансового риска и форми рование портфеля инвестора. Каждый раздел содержит четыре типа задач: расчетные, аналитические, ситуационные и задачи-тесты. В начале раздела даются основные понятия и формулы, примеры их применения для решения типовых задач. Все задания в зависимости от их характера снабжены ответами или решениями.
Для студентов и преподавателей экономических вузов, а также для широ кого круга специалистов, применяющих финансовую аналитику в своей прак тической деятельности.
1602020000 - 020 |
_ |
УДК [336:51](076.1) |
0 1 0 ( 0 1 ) - 2 0 0 7 |
|
ББК65.26в631я73 |
ISBN 978-5-279-03182-5 |
© Капитоненко B.B., 2007 |
|
Содержание
Предисловие |
5 |
|
Р а з д е л |
1 . Разовый платеж |
7 |
|
1.1. Основные понятия и формулы |
7 |
|
1.2. Типовые примеры |
13 |
|
1.3. Задачи для самостоятельного решения |
17 |
|
Расчетные задачи |
17 |
|
Аналитические задачи |
21 |
|
Ситуационные задачи |
22 |
|
Тесты |
24 |
|
Ответы и решения |
28 |
Р а з д е л |
2 . Потоки платежей |
32 |
|
2.1. Основные понятия и формулы |
32 |
|
2.1.1. Потоки платежей в схеме сложных про |
|
|
центов |
32 |
|
2.1.2. Потоки платежей в схеме простых про |
|
|
центов |
36 |
|
2.2. Типовые примеры |
38 |
|
2.3. Задачи для самостоятельного решения |
46 |
|
Расчетные задачи |
46 |
|
Аналитические задачи |
50 |
|
Ситуационные задачи |
52 |
|
Тесты |
54 |
|
Ответы и решения |
59 |
Р а з д е л |
3. Кредит |
66 |
|
3.1. Основные понятия и формулы |
66 |
|
3.2. Типовые примеры |
72 |
|
3.3. Задачи для самостоятельного решения |
82 |
|
Расчетные задачи |
82 |
|
Аналитические задачи |
85 |
|
Ситуационные задачи |
87 |
|
Тесты |
90 |
|
Ответы и решения |
94 |
Р а з д е л |
4. Инвестиционные проекты |
103 |
|
4.1. Основные понятия и формулы |
103 |
|
4.2. Типовые примеры |
118 |
|
4.3. Задачи для самостоятельного решения |
130 |
|
Расчетные задачи |
130 |
|
Аналитические задачи |
135 |
|
Ситуационные задачи |
138 |
|
Тесты |
143 |
|
Ответы и решения |
147 |
Р а з д е л |
5 . Ценные бумаги |
158 |
|
5.1. Основные понятия и формулы |
159 |
|
5.2. Типовые примеры |
169 |
|
5.3. Задачи для самостоятельного решения |
174 |
|
Расчетные задачи |
174 |
|
Аналитические задачи |
178 |
|
Ситуационные задачи |
181 |
|
Тесты |
183 |
|
Ответы и решения |
188 |
Р а з д е л |
6. Финансовые риски и портфель ценных |
|
|
бумаг |
196 |
|
6.1. Основные понятия и формулы |
196 |
|
6.1.1. Меры риска |
197 |
|
6.1.2. Портфель ценных бумаг и его свойства |
204 |
|
6.2. Типовые примеры |
211 |
|
6.3. Задачи для самостоятельного решения |
223 |
|
Расчетные задачи |
223 |
|
Аналитические задачи |
229 |
|
Ситуационные задачи |
230 |
|
Тесты |
233 |
|
Ответы и решения |
239 |
Приложение |
247 |
|
Библиографический список |
254 |
|
Предисловие
Финансы - один из ключевых факторов экономики. Органы государственного управления, деловые фирмы и предприятия, домашние хозяйства — все они независимо от масштабов своей деятельности для ее успешного ведения должны данный фактор учитывать и уделять ему первостепенное внимание. Это в полной мере относится и к управленческим кадрам, которые в своей про фессиональной деятельности имеют дело с денежными потоками предприятия и могут влиять на его финансовое состояние.
В качестве количественной основы финансового анализа, а также решений по финансированию, инвестициям, кредитам, займам и т. д. выступают правила и методы финансовой матема тики: арифметики, алгебры, оптимизации, в том числе при риске и неопределенности. Ее изучение, как и изучение математики во обще, невозможно без решения учебных задач. На пути к пра вильному ответу будущий менеджер приобретает необходимые навыки и умения, нацеленные на практическое использование полученных в вузе знаний.
Данное учебное пособие написано на основе курсов, читае мых автором в Государственном университете управления по специальностям «Информационный менеджмент» и «Матема тические методы в экономике». Вместе с тем содержащиеся в нем задачи и справочные материалы будут полезны и для других направлений менеджмента, а также широкому кругу специалис тов, использующих финансовую аналитику в практических при ложениях.
Предлагаемый сборник состоит из шести разделов и приложе ния и содержит задачи по основным разделам финансовой матема тики: потоки платежей, кредитные расчеты, анализ инвестицион ных проектов, оценки курсов и доходностей ценных бумаг, изме рение финансового риска и формирование портфеля инвестора. В приложение включены контрольные вопросы по дисциплине в це лом и информация о возможностях программного продукта «eTest» для проведения тестирования на компьютере.
В начале каждого тематического раздела даны необходимые те оретические сведения, используемые при решении задач, и типо-
вые примеры. Затем идут задания для самостоятельной работы, ко торые сгруппированы по четырем видам. Первый из них содержит расчетные задачи на формально-математическое применение формул и основных уравнений, позволяющие закрепить теорети ческий материал. В следующей группе собраны задания, где требу ется вывести алгебраические соотношения, пригодные для анали за и вычислений при различных значениях параметров исходной постановки. Их выполнение способствует развитию навыков мате матической формализации финансовых задач и получения формул для проведения многовариантных расчетов. Вслед за ними даны финансовые задачи, которые в занимательной форме излагают требующие разрешения проблемные ситуации. В завершение предлагаются тесты, где оценка знаний по теме проводится на ос нове выбора правильных ответов из ряда предложенных. Все зада чи в зависимости от трудности снабжены ответами, необходи мыми указаниями или решениями, которые приводятся в конце раздела.
Требуемые для расчетных задач вычисления могут проводить ся «вручную» с помощью финансовых таблиц, а для повышенной сложности — с использованием Excel. Студент, знакомый с осно вами практической работы с этим программным продуктом, в состоянии, опираясь на знания терминов финансовой математи ки, самостоятельно освоить обеспечиваемые им финансовые функции. В пособии не дается облегчающих расчеты таблиц, так как имеется достаточно книг, где они содержатся; например [4, 5, 9, 11]. Кроме того, необходимые табличные значения можно опе ративно получить с помощью Excel.
Автор выражает благодарность студентам Государственного университета управления, способствовавшим своей активной ра ботой на практических занятиях формированию данного сборни ка, и всем коллегам за помощь в подготовке рукописи.
- '^щтшшшшшшшшшшш
Раздел 1 РАЗОВЫЙ ПЛАТЕЖ
1 . 1 . Основные понятия и формулы
Правила приведения во времени. Согласно принципу временной неравноценности денег равновеликие, но разновременные денеж ные суммы оцениваются по-разному. Это свойство финансовых сопоставлений лежит в основе правил приведения денег во време ни. В будущем денежные эквиваленты увеличиваются и отвечаю щие им суммы рассчитываются по формулам наращения. «Попят ное» движение сопровождается снижением равноценных выплат, для определения которых используют формулы дисконтирования.
Общим правилам наращения и дисконтирования для произ вольного срока предпошлем частный случай приведения на еди ничном периоде. В зависимости оттого, величина какого из кон цевых платежей считается базовой, т. е. принимается за 100%, различают два варианта: 1) приведение по ставке начисления; 2) приведение соответственно ставке удержания процентов.
В а р и а н т 1.
Пусть в качестве базовой рассматривается величина Р0 в нача ле периода. Тогда ставкой приведения г% считается ставка начис ления процента, т. е. тот процент, на который увеличится началь ная сумма Р0 за один период. В результате наращенная за один период сумма Р{ составит величину:
/*=/Ь(1+щ) = Р0 <1+0,
где / = * j ^ " — дробное измерение ставки.
Дисконтирование по этой ставке, называемой в этой связи еще и ставкой дисконтирования, заключается в приведении поздней выплаты Р{ к предшествующему эквиваленту Р0:
р—5-
В а р и а н т 2.
Пусть за базовую принята величина Р{ в конце периода. Тогда ставкой приведения q% является ставка удержания процентов, ее еще называют учетной ставкой, т. е. тот процент, на который уменьшится финальная сумма Рх на один период «назад». В этом случае процедура дисконтирования определяется формулой
Рп = Pi (1 ——) = Р\ (1 —У),
где j = -У— - дробное измерение ставки.
100
Наращение по этой ставке, называемой еще ставкой нараще ния по учетному проценту, заключается в приведении ранней выплаты Р0 к последующему эквиваленту Рх\
По отношению к другим периодам («вперед» или «назад») формулы приведения определяются принятым правилом начис ления (удержания) процентов: простых или сложных.
Согласно простым процентам приросты (удержания) денеж ных сумм на любом периоде составляют одну и ту же долю базо вой величины. Отсюда получаются следующие формулы простых процентов:
Рп = Р0(\ + ni) - наращение по простому проценту;
PQ = —Ей— _ дисконтирование по простому проценту;
+ |
(1.1) |
Р„ =——— - наращение по учетной ставке простого процента;
=~~ nJ)"~ дисконтирование по учетной ставке простого про
цента.
Для сложных процентов одна и та же ставка берется не от ба зовой величины, а от результата предыдущего во времени приве дения. В результате придем к формулам сложных процентов:
Р„ = P0(l + if |
— наращение по сложному проценту; |
|
(1 + /)я |
дисконтирование по сложному проценту; |
|
(1.2) |
||
|
||
Ро |
наращение по учетной ставке сложного процента; |
|
О-УГ |
|
|
Р0 — Рп{\ — jf |
— дисконтирование по учетной ставке сложного про |
|
|
цента. |
|
Коэффициенты приведения денежных сумм в (1.1) и (1.2) на |
||
зывают множителем наращения \{п\ /) и дисконтным множите |
||
лем у(я; /), а промежуток приведения п измеряют в долях единич ного периода, например года.
Приведение в «дробном» времени. Начисление процентов за дробное число лет может выполняться двумя методами:
1) по формуле сложных процентов:
S=P0(\+if |
+ b; |
2) смешанным методом: |
|
S = P 0 ( l + 0 e O + W ) .
В этих формулах (а + Ь) — период приведения, а — целое чис ло лет, Ъ - дробная часть года.
Правила приведения в непрерывном времени. В практических расчетах в основном применяют дискретные проценты, т.е. про центы, начисляемые за фиксированный промежуток времени (год, полугодие, квартал и т.д.). В некоторых случаях — для эконо мического анализа и в расчетах, связанных с непрерывными про цессами, в математическом моделировании, а иногда и на прак тике — возникает необходимость в применении непрерывных процентов.
Правилу начисления по непрерывной ставке сложного про цента отвечает такое изменение наращиваемой суммы S(t), при котором ее «привес» — процентные деньги за малый промежуток А/ - будет пропорционален длине этого промежутка и денежной сумме на его начало с коэффициентом пропорциональности 8:
S(t + АО - S(t) = SS(t)At.