Разное / фин_мат / Задачи и тесты по финансовой математике_Капитоненко В.В_2007 -256с

тие путем голосования в принятии основных решений) и приви­ легированные. Дивиденд по обыкновенным акциям корректно оп­ ределять в рублях на одну акцию. В отличие от обыкновенных ак­ ций при выпуске привилегированных устанавливается фиксиро­ ванный уровень дивиденда. Поэтому их, как и облигации, можно относить к ценным бумагам с фиксированным доходом и гово­ рить о ставке дивиденда в процентах к номиналу.

Депозитные сертификаты. Эти сертификаты (аналог сберега­ тельных сертификатов для физических лиц) эмитируют и выдают банки в обмен на размещаемые у них средства.

Вексель — ценная бумага, представляющая письменное обяза­ тельство уплатить определенную денежную сумму и дающая его держателю право требовать от должника его выполнения. Век­ сель может быть простым или переводным (тратта).

Производные ценные бумаги. Из производных ценных бумаг отметим фьючерсы и опционы. С этими бумагами имеют дело спе­ кулянты и хеджеры. Спекулянты покупают и продают фьючерсы (опционы) с целью получения выигрыша; напротив, хеджеры по­ купают и продают эти бумаги, чтобы исключить рискованную позицию на спотовом рынке. Эта позиция может быть обусловле­ на их бизнесом, в ходе которого они или производят, или исполь­ зуют базисный актив.

Эти инструменты относятся к срочным контрактам. В общем случае под срочным контрактом понимается договор на поставку с оговоренной датой определенного актива, в качестве которого могут выступать различные материальные ценности, товары, ва­ люта, ценные бумаги. Финансовые производные ценные бумаги имеют дело с финансовыми активами — облигациями, акциями, валютой.

Фьючерс. Идея контракта на будущее (фьючерса) состоит в ре­ ализации следующей типовой схемы: продавец контракта берет на себя обязательство продать, а покупатель - купить актив в оп­ ределенный срок в будущем по цене, фиксируемой в момент сделки.

Валютный фьючерс — фьючерсный контракт на валюту с ука­ занием объема поставки, месяца и цены исполнения в соответ­ ствии с правилами стандартизации, принятыми биржевой тор­ говлей.

Опцион. Эта ценная бумага отличается от фьючерса тем, что один из контрагентов, в соответствии с правилами опциона, име-

ет оплаченное им другому контрагенту право отказаться от вы­ полнения сделки: продажи или покупки актива. Таким образом, опцион обозначает срочную сделку, по которой одна из сторон приобретает право купить или продать по фиксированной цене предмет контракта, а другая сторона обязуется за денежную пре­ мию обеспечить при необходимости реализацию этого права.

Опционы обычно делятся на два класса — европейского и американского типов и бывают двух видов: колл-опционы (право купить) и пут-опционы (право продать).

Американские опционы могут исполняться в любой момент времени до даты истечения срока их действия, а европейские — только на дату окончания контракта.

Доходность ценных бумаг и операций с ними

Для инвестора доходность вложений в ценную бумагу опреде­ ляется величиной дохода, полученного на единицу вложенных средств.

Внутренняя доходность ценной бумаги. При достаточно дли­ тельном сроке (п) владения ценной бумагой наиболее адекват­ ным измерителем ее доходности является показатель внутренней нормы прибыли (IRR) потока платежей, состоящего из затрат (/) на приобретение ценной бумаги и полученных за время владения ею доходов: {Е0 / = 1 , 2 , п ) . Как и для инвестиционных проек­ тов, этот показатель эффективности определяется следующим уравнением:

Вместе с тем в практических расчетах, а тем более для корот­ ких диапазонов дальновидности инвестора используют показате­ ли, основанные на прямом (без дисконтирования) сопоставле­ нии возможной прибыли и затрат.

Доходность облигации. Доходность, как правило, сводится к годовому исчислению и показывает эффективность вложений инвестора (отношение прибыли к затратам).

Текущая доходность. При определении текущей доходности предполагается, что прибыль инвестора формирует только теку­ щий доход, т.е. тот, который начисляется по отдельным порциям

за квартал, полугодие, год. Поэтому в качестве текущего дохода чаще всего рассматривают доход, выплачиваемый по купонам. Допускается также рассмотрение в качестве текущего дохода выплаты в виде дисконта, если бескупонное долговое обязатель­ ство эмитировано на срок менее года.

Текущая доходность за год =

Доход (процентные выплаты за год) •100%; Рыночная цена (цена приобретения)

Конечная (полная) доходность. В случае, когда в расчет прини­ мается полный доход за весь срок владения, полученный как в виде дивидендов, так и за счет разницы между покупной ценой и ценой продажи, говорят о конечной (полной) доходности.

Если срок владения облигацией заканчивается ее погаше­ нием, то в качестве составляющей полного дохода в формуле (5.3) место прибыли от перепродажи займет разница между номина­ лом и покупной ценой (дисконт), и в этом случае

Доходность акции. Показатели доходности по акциям устрое­ ны по тем же правилам, что и одноименные характеристики (5.2), (5.3) для облигаций.

Текущая доходность. При определении текущей доходности предполагается, что прибыль инвестора формирует только теку­ щий доход в виде дивиденда.

Текущая доходность = акции

Рыночная цена (цена приобретения)

Конечная (полная) доходность. В случае с акциями инвестор в отличие от держателя облигации может получить дополнитель­ ный доход, только продав акцию на вторичном рынке. Вариант погашения здесь отсутствует, и поэтому вместо двух записей (5.3), (5.4) придем к следующей формуле:

Конечная доходность _ акции(годовая)

Дивиденды за весь срок + Прибыль от перепрода жи

х100%.

Доходность операций с ценными бумагами. Возможна ситуа­ ция, когда инвестор продает ценную бумагу, не успев получить по ней доход: купонный — для облигации, или дивиденд в сделках с акциями. В этом случае говорят о «доходности операции с цен­ ной бумагой»:

В формуле (5.7) за период начисления принят промежуток времени между датами покупки и продажи (срок владения). От­ сюда, опираясь на правило простых процентов, получим годовую доходность:

жений в эти бумаги зависит от изменения цены базисного акти­ ва, впрочем, как и доход от биржевых операций с ними, который в явном виде определяется спекулятивной разностью цен.

Согласно правилам биржевой торговли валютными фью­ черсами для открытия одной позиции (приобретения одного фьючерсного контракта) участник должен внести порядка 10% от объема заключенного контракта по текущему курсу. Пусть для определенности эта сумма равна Р руб., а т — количество календарных дней, в течение которых изменялась котировоч­ ная цена по данному контракту. В этих обозначениях доход­ ность вложения по ставке простого процента можно рассчитать по формуле

В качестве еще одного примера рассмотрим доходность вло­ жения в опцион «колл». Этот опцион дает право приобрести че­ рез Глет пакет из N акций по цене Р0 долл. за каждую и ставке премиального вознаграждения в размере X долл. за акцию. Допус­ тим, что к назначенному сроку цена акции поднимется до вели­ чины Рт. Тогда прибыль инвестора за срок владения Т составит величину

Сопоставляя эту прибыль с затратами 3 = X • N, получим сле­ дующую формулу:

Курсовые стоимости ценных бумаг

Курс ценной бумаги — это та цена, по которой она продается и покупается на рынке ценных бумаг. Курсовые стоимости выяв-

ляются (формируются) на этом рынке в ходе взаимодействия спроса и предложения.

Участники сделок с ценными бумагами, соблюдающие золо­ тое правило: «покупайте дешево, продавайте дорого», принимают решения исходя из прогнозируемых ими значений рыночной це­ ны. Для определения того, во сколько оценит рынок ту или иную ценную бумагу, они анализируют значительное число влияющих факторов как фундаментального, так и текущего характера. В ме­ тодическом плане для решения этих вопросов широко применя­ ются статистический подход и различные финансово-математи­ ческие модели.

Основным методом в предлагаемом сборнике задач являются правила обработки потоков платежей. Приложение этих правил для оценки курсов первичных ценных бумаг исходит из рассмот­ рения только двух факторов: дохода по ценной бумаге и ставки сравнения /. При таком подходе за теоретически справедливую оценку курсовой стоимости принимают величину текущей стои­

Здесь ставка сравнения / определяется доходностью альтерна­ тивного вложения с теми же характеристиками надежности (рис­ ка), что и ценная бумага.

При полной определенности эта ставка может приравнивать­ ся банковскому проценту по депозитам. Тогда величина (5.12) по­ казывает, сколько надо положить денег на банковский счет, что­ бы получать те же доходы, что и по ценной бумаге.

При случайных доходах расчеты проводят на основе средних значений, а ставки дисконтирования получают из безрискового процента / добавлением к нему премии за риск. Размер требуемой премии определяется с помощью показателя «бета вклада» на ос­ новании результатов теории равновесия на конкурентном фи­ нансовом рынке (Capital Asset Pricing Model — Модель ценообра­ зования капитальных активов). Для задач данной главы упомяну­ тые результаты применяться не будут, и потому более подробные сведения о них здесь не приводятся.

Оценка облигаций. Облигации имеют номинальную N и кур­ совую цену Р. Согласно положению о фондовых биржах, курс об­ лигации указывается в процентах к ее номинальной стоимости:

«Вечная облигация». Для такой облигации поток доходов обра­ зует бесконечную постоянную ренту с купонным платежом

Y= Купонная ставка • Номинал = г| • N,

и за оценку ее курсовой стоимости принимается современная ве­ личина этого потока

Бескупонная облигация с погашением по номиналу. Полагая в (5.12) Y} = Y2 = ... = Yn_x = 0, Yn = N, получим оценки курсовой стоимости и курса для я-периодной облигации с нулевым купо­ ном, выраженные через ее номинальную стоимость N:

Облигации с периодической выплатой купонных доходов, пога­ шаемые в конце срока. Пусть дата покупки совпадает с датой ку­ понного платежа или с датой выпуска. В этом случае придем к следующему потоку доходов:

Гх - Y2 = ... = Yn_x = x\N, Yn = r]N + N.

Подставляя эти значения в (5.12) и преобразовывая, получим следующую оценку:

Формула (5.17) связывает текущую цену Р с современной ве­ личиной финальной выплаты Nw четко выделяет роль купонно­ го процента ц. В частном случае купонной ставки, равной ставке сравнения (г) = / ) , курсовая стоимость (5.17) совпадает с номи­ нальной ценой (Р= N).

Если покупка производится в промежутке между купонными платежами, то при оценке курса следует учесть ту часть дохода, которая причитается продавцу за его долю купонного периода.

Привилегированная или обыкновенная акция с известным разме­ ром дивиденда. Акции эмитентом не погашаются. Поэтому в дан­ ном случае получим ту же оценку, что и для вечной облигации:

Данное соотношение отражает одну из фундаментальных за­ кономерностей фондового рынка: стоимость акций возрастает с ростом дивиденда и убывает пропорционально размеру банковс­ кой ставки.

Обыкновенные акции с переменным потоком дивидендов. Помимо рассмотренных, могут быть и иные варианты потока дивиденд­ ных выплат. Для регулярных потоков переменных платежей, нап­ ример, с постоянным абсолютным и с постоянным относитель­ ным приростом, оценки курсов сводятся к известным формулам современных величин. Некоторые из них будут даны в ответах к задачам по данной теме.

Обыкновенные акции со случайным потоком дивидендов. В этом случае задача о курсовой стоимости существенно усложняется из-за необходимости учета стохастического фактора. Для этого в принятой нами потоковой схеме переходят к детерминирован-

ным эквивалентам случайных выплат или случайной доходности: платеж, или ставку дисконтирования, корректируют с учетом риска. Правила подобной корректировки относятся к методам стохастической финансовой математики и для решения задач де­ терминированного анализа не требуются.

Наряду с курсовой стоимостью для игроков на рынке ценных бумаг значительный интерес имеет вопрос о приемлемой цене, например, покупки; для ее оценивания подходят те же формулы, что и для курса. При этом за ставку дисконтирования можно при­ нять любую устраивающую инвестора доходность, а в качестве будущих выплат — их субъективные и достаточно грубые прибли­ жения. Если расчетное значение этой цены окажется выше ры­ ночной, то покупка целесообразна, в противном случае, когда рынок оценивает дороже, покупать не следует.

Производные ценные бумаги (деривативы). Что касается произ­ водных финансовых инструментов, то для определения их курсов используются иные принципы. Так, для валютных фьючерсов назначение цены (фьючерсного курса) сводится к прогнозу буду­ щего движения котировок и является определяющим фактором при принятии решения об открытии или закрытии позиций. Оценка стоимости опциона, например, на акции основывается на принципе воспроизводимости случайных доходов по нему с помощью динамического портфеля из этих акций и безрисково­ го банковского счета (облигаций). Тогда за стоимость опциона (оценку премии за опцион) принимается начальная цена имити­ рующего этот опцион портфеля (формула Блэка-Шоулса).

Адекватность оценок, основанных на указанных выше прин­ ципах, подтверждается значениями котировок, устанавливаемых на рынке деривативов. Упоминание об этих «недетерминирован­ ных» постановках носит информационный характер и не дает ос­ нования для их включения в задачи предлагаемого сборника.

5.2.Типовые примеры

1.Полная доходность облигации.

Облигация номиналом 100000 руб. с купонной ставкой 8% и сроком на 5 лет продавалась с дисконтом 20%. Определить пол­ ную доходность этой облигации. Задачу решить двумя способами:

а) опираясь на понятие среднегодового дохода; б) используя аналогию с инвестиционным проектом.