Разное / фин_мат / Задачи и тесты по финансовой математике_Капитоненко В.В_2007 -256с

45(1 + (150 - 7) • 0,1/365) = 10(1 + 100 • 0,1/365) + 20(1 + 70 х х 0,1/365) + 15.

Откуда Г» 97 дней.

Можно доказать, что при замене платежей их суммой дата заме­ няющего платежа не зависит от процентной ставки и равна арифме­ тической взвешенной исходных дат. Используя этот факт, получим тот же ответ:

Г = —-50 + —-80+ —-150«97дн. 45 45 45

5. а) А » 275,5; S = А(\ + 0,07)3 = 337,499 - рекомендуется решить задачу двумя способами: по формулам (2.6) и прямым счетом; б) Ау = = А (1 + 0 1 / 2 = 275,5 • 1,071/2 = 284,979; Sx/ = S(l + j ) l / 2 = 337,499 х

х1,07^2= 349,112.

6.А = 2112,8 тыс. руб.; 5 = 3367,49 тыс. руб.

7.Заданную годовую ставку можно рассматривать как эффектив­

ную ставку для непрерывного начисления с силой роста 5 : еъ= 1,08. Тогда наращенная сумма

8. а) С поправкой на инфляцию дискретный поток состоит из трех платежей: Ry= 105; /?2 = 110,25; Л3 = 115,7625; его современная стоимость Л = 288,9222 тыс. руб.; б) для того чтобы учесть инфляцию, применим схему непрерывного прироста платежей с таким темпом 5, что еъ = 1,05. Для дисконтирования воспользуемся ставкой непре­ рывного процента у по заданной номинальной ставке: еу = 1,07. Тог­ да современная стоимость с учетом инфляции составит:

10.а) 34,34; б) 86,8.

11.а) 2300 долл.; б) 980 долл.

12.Текущая стоимость А должна привести к моменту последней выплаты к нулевому балансу полной суммы счета, определяемой в соответствии с коммерческим правилом:

А(1 + 3 -0,2) = 200(1 + 2 • 0,2) - 500(1 + 0,2) + 600 и А = 175.

Вразвернутой форме этому решению отвечает табл. 2.2.

Таблица 2.2

Откуда А = — = 175. 1,6

13.S = 340; А = 184,52; Совпадают: для сравниваемых моделей обеспечение (финансирование) потока CF означает попросту обес­ печение суммы каждого платежа, иначе говоря, текущая стоимость потока равна сумме текущих стоимостей отдельных платежей.

14.а) Решению соответствует табл. 2.3

Excel для вычисления внутренней ставки доходности. Для этого сле­ дует перейти к дискретной ренте с периодом, равным промежутку т

= (1 — 1,08"*). Откуда х * 6,69 года; б) нет; в) нет; г) эту недоимку можно погасить разовой выплатой с учетом требования финансовой эквивалентности. Чтобы ее найти, следует расчетное число лет ок­ руглить до меньшего значения. Тогда современная величина соответ­ ствующего потока будет меньше заданной: 7,3396 < 7,9854, и недо­ плата составит 0,6458.

24.7С= 60 • сс(11; 8%) • у(9; 8%) « 60 • 7,139 • 0,5 = 214,17 долл.

25.а) 15,72 года; б) для скорректированного срока 7* = 15 после­ довательность платежей не полностью обеспечивает погашение дол­ га. Разность в 287751 руб. должна быть выплачена кредитору в нача­ ле или должен быть несколько увеличен размер годового платежа. Находим R = 10/ а(15, 6%) = 1,0296286 млн руб.

Аналитические задачи 1. аМ, = Л(1 + /Г; б) А = Ах(1 + /); в) А = * ( 1 + 0(1 -(1+/Г1 )

тика совпадает с суммой бесконечно убывающей геометрической профессии со знаменателем

+1 • 0,08) - 1000 = 0; Ах = 3393,94; б)А2= 1000-сс(4,8) = 3312,13.

2.а) полная сумма счета в конце десятого года составит для пер­

вого варианта величину Sx = 14139,82 и величину S2 = 14147,08 для второго. Вариант 2 предпочтительнее; б) при снижении нормы про­ цента по второму варианту вложений наращенная в течение 10 лет

сумма уменьшится до величины S2 = 13816,44. Теперь предпочти­ тельнее вариант 1.

3.Сделка стоящая, если ставка не превышает 7%.

4.Предпочтительнее окажется: а) второй вариант завещания; б) первый вариант.

5. 5 = 100-5(24; 5) «4450 руб.

6.24 • у(10; 12)/0,12 = 64,394 тыс. руб.

7.Согласно предложению секретарши, ее зарплата в первом го­ ду - 6250 долл., во втором — 6750, затем — 7250 и т.д., а по варианту ее начальника — 6000, 7000, 8000. В году п превышение составит ве­ личину А п = 500л - 750. Применим формулу (2.5) для бессрочной

ренты с платежом равным А„. Для этого положим Rx = —250, а = 500, п = оо. Откуда А = (—250 + 500//). При i < 1 величина/! > О.Следовательно, для начальника вариант секретарши экономичнее и, приняв его, он поступил мудро. Эту задачу можно решить проще: заменим полугодовую ренту годовой с абсолютным приростом платежей, на-

чиная со следующего года, на величину А = 250(1 + i/2) + 250. Пос­ кольку / < 1, А < 625 < 1000, то получим тот же ответ.

8.1295,05 долл.

9.800 тыс. долл.

10.а) 5 лет; б) 59,22 долл.

11.Для пенсионера поток ежемесячных выплат по 150 долл. име­ ет современную величину 13608, а для фирмы — 11390. Отсюда по­ нятно, что предлагаемый Ивановым вариант выгоден для фирмы и невыгоден для него.

12.Вложения в образование эффективны, если выгоды, по мень­ шей мере, равны затратам: а) 20400 руб.; б) 40571 руб.

Тесты

1. (3), (4). 2.(4). 3. (2). 4. (4). 5. (4). 6. (4). 7. (2). 8. (4). 9. (2). 10. (3),

(4). 11. (1). 12. (1), (4). 13. (1), (4). 14. (3), (4). 15. (3). 16. (3).

Раздел 3 КРЕДИТ

Настоящий раздел содержит только детерминированные пос­ тановки; иначе говоря, возможные для участников кредитных от­ ношений риски и методы их ограничения не рассматриваются. Основное внимание уделяется базовым понятиям и типовым кредитным расчетам, основанным на тех же правилах, что приме­ нялись при решении задач анализа потоков платежей.

3 . 1 . Основные понятия и формулы

Первичные характеристики. Величина займа (основной долг) — D; срок погашения — п\ кредитная ставка (простая, сложная, учетная) — /.

Условия выдачи и погашения кредитов, займов, ссуд весьма разнообразны. При этом в качестве ограничения, определяюще­ го поток погашающих платежей, выступает требование его фи­ нансовой эквивалентности величине долга D.

Разовое погашение кредита в конце срока. Ссуда D выдана на п лет под годовую ставку сложного процента /. Размер погашающе­ го платежа:

Этот платеж состоит из двух частей — возврата основного дол­ га D и выплаты процентов:

I=D(\ +i)n-D: Y=D + I.

Погашение кредита потоком платежей. Пусть Yt — величина по­ гашающего платежа в конце года /, / = 1 , 2 , п . Срочные уплаты {Yt} должны удовлетворять следующему условию финансовой эк­ вивалентности:

Выплаты Yt охватывают средства Z>„ предназначенные для амортизации основного долга, и проценты It, выплачиваемые на остаток долга на начало года /:

/ , = / ( / > - ( 3 . 3 )

При таком назначении текущих процентных выплат кредит будет погашен в течение предусмотренного срока п при условии, что сумма всех промежуточных возвратов долга Dt равняется ве­ личине займа D:

(3.4)

Рассмотрим поток произведенных в счет погашения долга срочных уплат Yb Y2, Yk. Эти платежи покрывают «набежав­ шие» за к лет проценты и погашение части долга. Наращенная на конец £-го года величина выданной ссуды D( 1 + i)k содержит долг D и начисленные за тот же срок проценты. Эти же проценты при­ сутствуют в выплатах Yb Y2,Yk и, значит, финансово-эквивалент­ ная им на момент к величина содержится в наращенной сумме:

^ = 1Г,(1+0*-'.

Поэтому остаток долга Lk на конец любого года к будет равен разности между наращенной на эту дату величиной долга и нара­ щенной на ту же дату суммой всех произведенных выплат:

Использование этих правил позволяет планировать погаше­ ние задолженности по составляющим / , , Dt суммарной выплаты Yt и следить за динамикой изменения долга (его остатка) или, ос­ новываясь на планируемых срочных уплатах {Yt} (3.2), разбить их на процентные {/,} и долговые {/),} выплаты.

Приведем распространенные кредитные схемы — частные случаи потоков срочных уплат (3.2) и условий (3.3), (3.4).

Погашение основного долга одним платежом в конце (равные процентные выплаты). D{ = D2 — ... = Dn_x = 0, Dn == D.

Тогда согласно (3.3) проценты 1Х = 12 = ... = 1п = //). Склады­ вая, получим следующую последовательность срочных уплат: У| = К2 = ... = Yn_x = //), К„ = //) + Z>. В этой схеме кредит обслужи­ вается равными процентными выплатами и разовым погашением основного долга одним платежом в конце срока. При погашении долгосрочного кредита данным способом величина задолжен­ ности для каждого промежуточного года не меняется и учитыва­ ется в годовой бухгалтерской отчетности в долгосрочных пасси­ вах в размере D.

Погашение основного долга равными ежегодными суммами.

Долг делится поровну между всеми ежегодными платежами, т. е. Z>i = />2 = ... = -0Л = D/n. Последовательность процентных плате­ жей (3.3), отвечающая этому правилу, образует убывающую ариф­ метическую профессию:

Погашения кредита равными годовыми выплатами. Yx = Y2 = ...

= Yn = Y. Эти выплаты образуют годовую ренту. Приравнивая ее современную величину сумме основного долга (3.2), получим уравнение:

Ya(n,i) = D.

Откуда

Y-DMnA-\-^r- <3-6>

Отсюда и по правилу (3.3) можно найти размеры процентных выплат и погашающих долг сумм:

В принципе в правилах кредитных расчетов ничего не изме­ нится, если срочные уплаты будут производиться несколько раз в год при условии, что за единичный период начисления процен­ тов принят промежуток между двумя уплатами (число р платежей в году равно числу т начислений процентов в течение года,

р = т).В этом случае в приведенных выше формулах вместо годо­ вой ставки подставляется ставка начисления i/m на единичном периоде, а вместо длительности п в годах — длительность в еди­ ничных периодах пт. Например, для схемы равных срочных уп­ лат (3.6), руководствуясь данным соответствием, найдем, что ве­ личина взноса

Погасительный фонд. В качестве поясняющего примера рас­ смотрим схему равных процентных выплат. Пусть бюджетные возможности заемщика ограничивают размеры его ежегодных погашений величиной я, которая превышает процентную вып­ лату, но это превышение не покрывает долга. В этой ситуации, чтобы возвратить разовым платежом в конце обусловленного срока сумму долга, заемщик может накопить необходимые сред­ ства, используя бюджетный остаток Д/ = тс - iD. Необходимый для этого фонд формируется из последовательных взносов (нап­ ример, на специальном счете в банке), на которые начисляются проценты.

Планирование погасительного фонда (равные взносы). В схеме равных процентов, для того чтобы накопить требуемую сумму D с помощью ежегодных взносов R за срок л, используется фонд со ставкой начисления сложного процента у. По условию наращен­ ная сумма составленной из этих взносов годовой ренты равна:

Одновременно происходит выплата кредитору процентов, на­ числяемых на долг по ставке /. В этом случае срочная уплата сос­ тавит величину Y— Di + R.

Допустим, что заемщик не может перечислять в погаситель­ ный фонд суммы, превосходящие величину Е. Полагая R = Е, можно рассчитать минимально допустимый для него срок пога-