Разное / Буренин РПФИ

3.5. 2. Приведенная стоимость аннуитета

3.5. 2. 1. Приведенная стоимость аннуитета при начислении процента один раз в год

Приведенная стоимость аннуитета представляет собой будущую стоимость аннуитета, дисконтированную к моменту времени его уч-

где Р— приведенная стоимость аннуитета.

Пример.

С= 1000000 руб., r = 15%, п = 5 лет. Определить приведенную стоимость аннуитета.

Она равна:

Чтобы лучше понять экономический смысл такой величины как приведенная стоимость аннуитета, можно представить следующую ситуацию. Проиллюстрируем ее на приведенном выше примере. Допустим, некоторое лицо должно выплачивать в течение последующих пяти лет в конце каждого года сумму в 1000000 руб. Данную задачу можно решить, разместив на счете в банке под 15% годовых сумму в 3352155, 1 руб. (т. е. приведенную стоимость аннуитета). Тогда в конце первого года на счете аккумулируется сумма в размере:

3352155,1•1,15 = 3854978,4 руб.

Из нее 1 млн. руб. используется в качестве первого платежа по аннуитету.

51

На второй год сумма на счете составит: 2854978,4•1,15 = 3283225,12 руб.

1 млн. руб. из нее пойдет на выплату аннуитета. На третий год на счете аккумулируется сумма:

2283225,12•1,15 = 2625708,89 руб.

1 млн. руб. из нее пойдет на выплату аннуитета. На четвертый год сумма на счете составит:

1625708,89•1,15 = 1869565,22 руб.

1 млн. руб. из нее уплачивается по аннуитету. В конце года сумма на счете вырастет до:

869565,22•1,15 = 1000000 руб.

Данный миллион рублей составит последний платеж по аннуите-

ту.

Таким Образом, пятилетнюю ренту можно заменить одной выплатой в размере 3352155, 1 в начале пятилетнего периода, поскольку эта величина при ставке процента 15% эквивалентна стоимости всех выплат по аннуитету.

Формулу приведенной стоимости аннуитета также можно использовать в случае, когда заемщик берет кредит на условиях его погашения в будущем равными платежами ежегодно. Для этого найдем из формулы (38) величину С:

где: Р— сумма кредита; r — процент по кредиту; С— платеж по кредиту;

п— число лет, на которые берется кредит.

Пример.

Заемщик берет кредит на пять лет в размере 1 млрд. руб. под 30% годовых с условием погашения его равными суммами в конце каждого года. Определить величину ежегодной выплаты по кредиту.

Она составит:

3. 5. 2. 2. Приведенная стоимость аннуитета при осуществлении выплат т раз в год.

Для рассматриваемого случая приведенную стоимость аннуитета

3. 5. 2. 3. Приведенная стоимость аннуитета при начислении процента т раз в год

Будущая стоимость такого аннуитета рассчитывается по формуле (37). Приведенная стоимость определяется дисконтированием правой

части формулы (37) на (1+ rm)mn . Тогда:

3. 5. 3. Вечная рента

Вечная рента предполагает, что платежи будут осуществляться всегда. Будущую стоимость такого аннуитета определить невозможно, так как она не являет конечной величиной. Однако можно рассчитать приведенную стоимость вечной ренты, воспользовавшись формулой (38). Поскольку для такого аннуитета п —» «>, то она принимает вид:

Примером вечного аннуитета может служить английская бессрочная государственная облигация, которая называется консоль. Она выпущена в 18 веке и по ней выплачивается доход каждые полгода.

53

3. 5. 4. Немедленный аннуитет

На рынке ценных бумаг главным образом используется понятие отложенного аннуитета. Поэтому приведем формулы будущей и приведенной стоимости немедленного аннуитета только для случая начисления сложного процента один раз в год.

Будущую стоимость аннуитета можно определить, умножив формулу (32) на (1 + r), так как на каждый платеж проценты будут начисляться на один год больше по сравнению с условием отложенного аннуитета.

где: Fn — будущая стоимость немедленного аннуитета;

п— количество лет, в течение которых выплачивается аннуитет. Приведенную стоимость немедленного аннуитета найдем дискон-

тированием правой части формулы (43) на (l + r)n. Тогда

где: Pп — приведена стоимость немедленного аннуитета. Приведенную стоимость немедленной вечной ренты можно полу-

чить, умножив формулу (42) на (1 + r). Тогда

3. 6. ДОХОДНОСТЬ

На финансовом рынке инвестора интересует результативность его операций.

Например, лицо А инвестировало 2 млн. руб. на три года и получило сумму в 6 млн. руб. Лицо В инвестировало 3 млн. руб. на пять лет, и его результат составил 10 млн. руб. Какой из вариантов инвестирования оказался более предпочтительным. Ответить на данный вопрос с помощью абсолютных величин довольно трудно, так как в примере отличаются как суммы, так и сроки инвестирования. Результативность инвестиций сравнивают с помощью такого показателя как доходность. Доходность — это относительный показатель, ко-

торый говорит о том, какой процент приносит рубль инвестированных средств за определенный период. Например, доходность инвестиций составляет 10%. Это означает, что инвестированный рубль приносит 10 коп. прибыли. Более высокий уровень доходности означает лучшие результаты для инвестора.

В самом общем виде показатель доходности можно определить как отношение полученного результата к затратам, которые принесли данный результат. Доходность выражают в процентах. Когда мы рассматривали вопросы начисления процентов, то оперировали определенными процентными ставками. Данные процентные ставки есть не что иное как показатели доходности для операций инвесторов. В финансовой практике принято, что показатель доходности или процент на инвестиции обычно задают или определяют в расчета на год, если специально не сказано о другом временном периоде. Поэтому, если говорится, что некоторая ценная бумага приносит 20%, то это следует понимать, как 20% годовых. В то же время реально бумага может обращаться на рынке в течение времени больше или меньше года. Такая практика существует потому, что возникает необходимость сравнивать доходность инвестиций, отличающихся по срокам продолжительности. Рассмотрим некоторые разновидности показателя доходности.

3. 6. 1. Доходность за период

Доходность за период — это доходность, которую инвестор получит за определенный период времени. Она определяется по формуле:

где: r — доходность за период;

Р— первоначально инвестированные средства; рп — сумма, полученная через п лет.

Пример.

Вкладчик инвестировал 2000000 руб. и получил через 5 лет 5000000 руб. Определить доходность его операции.

Она равна:

r = 50000002000000 −1= 1,5 или 150%

Таким образом, капитал инвестора за пять лет вырос на 150%.

3. 6. 2. Доходность в расчете на год

На финансовом рынке возникает необходимость сравнивать доходности различных финансовых инструментов. Поэтому наиболее часто встречающийся показатель доходности — это доходность в расчета на год. Он определяется как средняя геометрическая, а именно:

где: r — доходность в расчете на год; п— число лет.

Пример.

Р = 2000000 руб., Pп = 5000000 руб., п = 5 лет. Определить доход-

ность в расчете на год. Она равна:

r = 5 50000002000000 −1= 0,2011 или 20,11%

Таким образом, средняя доходность инвестора в расчете на год составила 20, 11%.

Если сложный процент начисляется т раз в год, то доходность за год определяется на формуле:

Величина, которая получается в круглых скобках правой части уравнения (48), — это доходность за один период начисления сложного периода. Поэтому, чтобы получить доходность в расчете на год, умножают на количество периодов.

Пример.

Р = 2000000 руб., Рn = 5000000 руб., п = 5 лет, процент начисляется ежеквартально. Определить доходность в расчете на год. Она равна:

r = 4•5 50000002000000 −1= 0,1875 или 18,7%

Если процент начисляется непрерывно, то доходность в расчете на год можно определить по формуле:

где: rn — доходность, представленная как непрерывно начисляемый процент.

До настоящего момента мы определяли показатель доходности по операциям, которые занимали период времени больше года. Поэтому расчеты строились на формулах с использованием сложного процента. Когда финансовая операция занимает меньше года, как правило, в расчетах оперируют простым процентом. Если быть более точным, то более строгим критерием здесь выступает возможность на практике инвестировать средства с учетом сложного процента.

Например, если на рынке выпускаются ценные бумаги с погашением через полгода и год, то доходность по годичным ценным бумагам следует определять с учетом сложного процента. Такое правило возникает потому, что вкладчик может получить сложный процент в рамках года, инвестировав свои средства вначале в шестимесячную бумагу, и после ее погашения реинвестировать полученные средства в следующую шестимесячную бумагу.

Для краткосрочных операций доходность определяется на основе формул (50) и (51).

и

Пример.

Р= 2000000 руб., Pt = 2020000 руб., t = 90 дней, финансовый год равен 360 дням. Определить доходность операции инвестора.

Она равна:

Таким образом, в расчете на год доходность операции составила 4%. Для краткосрочных ценных бумаг также можно рассчитать эффективную доходность, т. е. эффективный процент. Для этого можно воспользоваться следующей формулой (для примера возьмем финансовый год равным 360 дням).

где: rэф — эффективная доходность в расчете на год;

t — период финансовой операции (время с момента покупки до продажи или погашения ценной бумаги);

r — простой процент в расчете на год; rt — доходность за период t.

Продолжая вышеприведенный пример, рассмотрим эффективную доходность операции. Она равна:

В нашем примере доходность за 90 дней составляет

20200002000000 −1= 0,01или 1%, а 90360 = 0,25 тогда эффективная доход-

ность за год равна:

rэф = 0,25 (1+ 0,01)−1= 0,0406 или 4,06%

3.6. 3. Процентные ставки и инфляция

Врыночной экономике существует инфляция. Поэтому для процентных ставок (и, соответственно, показателя доходности) необходимо различать номинальные и реальные величины, чтобы определить действительную эффективность финансовых операций. Если темп инфляции превышает ставку процента, которую получает вкладчик на инвестированные средства, то для него результат от финансовой операции окажется отрицательным. Несмотря на то, что по абсолютной величине (в денежных единицах, например, в рублях) его средства возрастут, их совокупная покупательная способность упадет. Таким образом, он сможет купить на новую сумму денег меньше товаров и услуг, чем на те средства, которыми располагал до начала операции.

Номинальная процентная ставка — это процентная ставка без учета инфляции. В качестве номинальных выступают процентные ставки банковских учреждений. Номинальная ставка говорит об абсолютном увеличении денежных средств инвестора.

Реальная процентная ставка — это ставка, скорректированная на процент инфляции. Реальная ставка говорит о приросте покупательной способности средств инвестора.

Взаимосвязь между номинальной и реальной процентными ставками можно представить следующим образом:

или

59