Разное / Буренин РПФИ
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
1000000 e0,2 5 |
= 2718281,83 руб. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Формулу (9) можно получить следующим образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
nr |
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
nr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
mn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
nr |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
P |
= P |
1 |
+ |
|
|
|
= P |
1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
= |
P 1+ |
|
|
|
|
|
= P |
|
1 |
+ |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m r |
|
|
|
|
|
a |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
При непрерывном начислении процентов m → ∞ и, следовательно, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
a → ∞ . В этом случае: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim 1 |
+ |
|
|
= e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
m → ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a n r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
nr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P 1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
= Pe |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.1. 3. Эквивалентный и эффективный проценты
Впрактике финансового рынка процент, начисляемый по активу, задают как простой процент в расчете на год. Однако если в рамках года по активу предусмотрено начисление сложного процента, то общий результат, который получит инвестор, будет выше декларируемого. Чтобы его определить необходимо рассчитать эффективный или реальный процент.
Эффективный (реальный) процент — это процент, который получается по итогам года при начислении сложного процента в рамках года.
Эффективный процент можно определить из следующего соотношения:
|
|
r m |
|
|
1+ rэф = 1 |
+ |
|
|
(10) |
|
||||
|
|
m |
|
|
где: rэф — эффективный процент,
41
r — простой процент в расчете на год, который задан по условиям финансового инструмента.
Тогда: |
|
|
|
|
|
|
|
r m |
|
||
rэф = 1 |
+ |
|
|
−1 |
11 |
|
|||||
|
|
m |
|
|
|
Пример.
По банковскому счету установлены 20. 4% годовых, но процент
начисляется ежемесячно. |
|
Определить |
эффективный процент. |
|||
Он равен: |
|
|
12 |
|
||
|
|
0,204 |
|
|||
rэф = 1 |
+ |
|
|
−1= 0,2242 |
или 22,42% |
|
12 |
||||||
|
|
|
|
|
||
Если известен эффективный процент, то по формуле (12), которая вытекает из формулы (11), можно определить эквивалентный ему простой процент в расчете на год:
r = (m 1+ rэф −1)• m |
(12) |
Пример.
rэф = 30%, т = 4 раза в год. Определить эквивалентный простой процент.
Он равен:
r= (4 1+ 0,3 −1)• 4 = 0,2712 или 27,12 %
3.1. 4. Эквивалентность непрерывно начисляемого процента
ипроцента, начисляемого т раз в год
Вфинансовых расчетах может возникнуть необходимость найти эквивалентность между непрерывно начисляемым процентом и процентом, начисляемым т раз в год. Например, в формулах определения курсовой стоимости опциона используется непрерывно начисляемый процент. В то же время на финансовом рынке инвесторы оперируют главным образом ставками, предполагающими начисление процента раз в год, полгода, квартал и месяц.
42
Эквивалентность между двумя видами процентов можно найти, приравняв суммы, получаемые с учетом непрерывно начисляемого процента и начисления процента т раз в год, а именно:
r n |
|
|
|
|
|
r mn |
|
||||
Pe n |
= P 1+ |
|
|
|
|
|
(13) |
||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
m |
|
|||||
(где: rп — непрерывно начисляемый процент) |
|
||||||||||
или |
|
|
|
|
m |
|
|||||
r |
|
r |
|
||||||||
e n |
= 1+ |
|
|
|
|
(14) |
|||||
m |
|||||||||||
Отсюда |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
r |
|
|
|
|
|
r m |
|
||||
ln e n |
=ln 1+ |
|
|
|
|
|
(15) |
||||
|
|
|
|
||||||||
или |
|
|
|
|
|
m |
|
||||
|
|
|
|
r |
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||
rn = mln 1 |
+ |
|
|
|
|
|
(16) |
||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
m |
|
|||||||
Пример.
r = 10% годовых, начисляется четыре раза в год. Определить эквивалентный непрерывно начисляемый процент.
Он равен:
|
|
0,1 |
|
|
|
|
rn = 4 •ln 1 |
+ |
|
|
= 0,09877 |
или 9,877% |
|
4 |
||||||
|
|
|
|
|
Из формулы (14) процент r можно получить следующим образом:
|
rn |
|
(17) |
r = m e m −1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример.
rn = 10%. Определить эквивалентный ему процент в расчете на год, если он начисляется четыре раза в год.
Он равен:
r= 4 e 0,1−1 = 0,101126 или 10,126%
4
43
3.1. 5. Комбинация простого и сложного процентов
Вряде случаев возникает ситуация, когда начисление процентов включает и сложный, и простой проценты. Например, средства вкладчика находятся на счете в банке 5 лет и 2 месяца. Проценты капитализируются (т. е. присоединяются к основной сумме счета, на которую начисляется процент) в конце каждого года. В течение года начисляется простой процент. Для такого случая сумму, которую получит инвестор, можно рассчитать по следующей формуле:
n |
|
t |
|
|
|
Pn+t = P(1+ r) 1 |
+ r |
|
|
(18) |
|
360 |
|||||
|
|
|
|
где: Pn+t — сумма, которую получит инвестор за п лет и t дней; P — первоначально инвестированная сумма;
t — число дней, за которые начисляется простой процент; r — процент, начисляемый в течение года.
Пример.
Вкладчик положил на счет в банк сумму 1000000 руб. Банк ежегодно начисляет 20% годовых с учетом их капитализации. В течение года начисляется простой процент. Определить, какую сумму получит вкладчик через 5 лет и шестьдесят дней.
Она составит:
5 |
|
|
60 |
|
|
|
1000000(1+ 0,2) |
1 |
+ 0,2 |
|
|
= 25,1264 руб. |
|
360 |
||||||
|
|
|
|
|
В зависимости от того, когда вкладчик размещает средства на счете, простой процент может начисляться также в начале периода инвестирования средств или и в начале и в конце. Суммы, которые получит вкладчик, можно рассчитать соответственно с помощью формул (19) и (30) (капитализация процентов осуществляется ежегодно):
|
|
|
|
|
t |
|
|
n |
|
|
|
|
Pn+t |
= 1 |
+ r |
|
|
(1 |
+ r) |
|
|
||
|
360 |
|
|
||||||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
t1 |
|
|
|
n |
|
t2 |
|
||
|
|
|
|
|
|||||||
Pn+t1+t2 |
= 1+ r |
|
|
(1 |
+ r) 1 |
+ r |
|
|
|||
360 |
360 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
44 |
|
|
|
|
|
|
(19)
(20)
3.2. ДИСКОНТИРОВАННАЯ СТОИМОСТЬ
Вфинансовых расчетах возникает необходимость сравнивать между собой различные суммы денег в разные моменты времени. Например, какая величина больше: 100 тыс. руб. сегодня или 1 млн. руб. через пять лет. Дело в том, что сегодня инвестор может положить 100 тыс. руб. в банк и за пять лет они принесут ему некоторый процент. Если через пять лет 100 тыс. руб. на счете вкладчика превратятся в 1 млн. руб., то можно сказать, что 100 тысяч руб. сегодня и 1 млн. руб. через пять лет — это эквивалентные, т. е. равные во времени суммы. Если вкладчик получит больше 1 млн. руб., тогда 100 тыс. руб. сегодня «стоят» больше 1 млн. руб. через пять лет.
Чтобы сравнить суммы денег во времени, их необходимо привести
кединому временному знаменателю. В практике финансовых расчетов принято приводить суммы средств, которые получит инвестор, к сегодняшнему дню, т. е. начальной точке отсчета. Данную задачу решают (при начислении сложного процента) с помощью формулы (21). Она получается из формулы (7).
P = |
Pn |
21 |
(1+ r)n |
Формула (21) называется формулой дисконтированной или приведенной стоимости. Pп — это будущая стоимость, P — дисконтированная или приведенная стоимость (в литературе в качестве синонимов используют также термины сегодняшняя, настоящая, текущая
стоимость). (1+1r)n это коэффициент дисконтирования.
Пример.
Инвестор желал бы через пять лет получить на своем счете 5 млн. руб. Банк начисляет 20% годовых. Определить, на какую сумму необходимо вкладчику сегодня открыть счет.
Она равна:
5000000 = (1+ 0.2)5 2009387,86 руб.
При начислении сложного процента т раз в год формула (21) принимает вид:
45
P = |
Pn |
(22) |
(1+ r m)m•n |
а для непрерывно начисляемого процента:
P = |
Pn |
(23) |
|
enr |
|||
|
|
На основе формул (1), (2) и (3) получаем соответственно формулы дисконтированной стоимости для простого процента:
P = |
|
|
Pn |
|
|
(24) |
|
1 |
+ nr |
|
|||||
P = |
|
Pt |
|
|
(25) |
||
|
+ r |
|
t |
|
|||
1 |
|
|
|
||||
360 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
P = |
|
Pt |
|
(26) |
|||
|
+ r |
|
t |
||||
1 |
|
|
|
||||
365 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
3.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРИОДА НАЧИСЛЕНИЯ ПРОЦЕНТА
На практике возникают вопросы определения периода времени, которое потребуется для увеличения суммы Р до значения Рn при начислении процента r.
Для простого процента из формулы (1) получим:
|
P |
|
|
n = |
n |
−1 / r |
|
P |
|||
|
|
Пример 1.
Сколько времени потребуется для того, чтобы сумма в 100000 руб. увеличилась до 200000 руб. при начислении 20% годовых.
Период времени равен:
200000 |
|
|
|
||
n = |
|
−1 / 0,2 |
= 5 |
лет |
|
100000 |
|||||
|
|
|
|
||
|
|
46 |
|
|
|
Пример 2.
Сколько времени потребуется для того, чтобы сумма 100000 руб. увеличилась до 205000 руб. при начислении 20% годовых.
Период времени равен:
n= 205000 −1 / 0,2 = 5,25 года
100000
Допустим, что год равен 365 дням, тогда 0, 25 года эквивалентно t = 0, 25 • 365 = 91 дню. Таким образом, инвестор получит 205000 руб. через 5 лет и 92 дня.
Из формул (2) и (3) период t будет равен соответственно:
t = (Pt / P −1)• 360r
и
t = (Pt / P −1)• 365r
На основе формулы (7) период времени инвестирования равен:
n = ln((Pn / P))
ln 1+ r
(28)
(29)
(30)
3. 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ БУДУЩЕЙ СТОИМОСТИ ПОТОКА ПЛАТЕЖЕЙ
Допустим, что инвестор в конце каждого года в течение определенного периода времени получает платежи, которые не являются одинаковыми. Если он будут инвестировать сумму каждого платежа на время до окончания данного периода, то по его завершении он получит некоторую сумму денег, которую называют будущей стоимостью потока платежей.
Будущую стоимость потока платежей можно определить по формуле:
F = ∑n Ct (1+ r)n−t (31) t=1
где: F — будущая стоимость потока платежей; Сt — сумма платежа в году t;
47
r — процент, под который инвестируется сумма Сt;
п— количество лет, в течение которых производятся выплаты;
n
∑ — знак суммы;
t =1
Как видно из формулы (31), начисление процентов на первый платеж осуществляется в течение (n-1) года, так как сама выплата происходит только в конце первого года.
Пример.
Инвестиционный горизонт вкладчика равен 4 годам. Он получил в конце первого года 1 млн. руб., второго — 2 млн. руб., третьего — 2, 5 млн. руб., четвертого — 2, 7 млн. руб. и инвестировал сумму каждого платежа под 15% годовых до окончания данного четырехлетнего периода. Определить будущую стоимость потока платежей.
Она составит:
1000000(1+ 0,15)4−1 + 2000000(1+ 0,15)4−2 + 2500000(1+ 0,15)4−3 + 2700000(1+ 0,15)4−4 = 9740875
3. 5. АННУИТЕТ
Аннуитет — это поток одинаковых по сумме платежей, которые осуществляются с равной периодичностью. (В качестве синонима так-
же используется термин рента). Если платежи осуществляются в конце каждого периода, такой аннуитет называется отложенным. Если платежи осуществляются в начале каждого периода, то это немедлен-
ный аннуитет.
3.5. 1. Будущая стоимость аннуитета
3.5. 1. 1. Будущая стоимость аннуитета при начислении сложного процента один раз в год
Определить будущую стоимость аннуитета можно с помощью формулы (31). Однако ее можно привести к более удобному виду, так как величина каждого платежа является одинаковой. Умножим обе части уравнения (31) на (1 + r) и вычтем полученный результат из уравнения (31). Получим:
48
F − (1+ r)F = C ∑n |
(1+ r)n−t − ∑n (1+ r)n−t +1 |
= −C[(1+ r)n −1] |
|||
t=1 |
|
|
t=1 |
|
|
или |
Fr = C[(1+ r)n −1] |
|
|
||
или |
|
|
|||
|
C |
[(1+ r)n −1] |
|
|
|
|
F = |
|
(32) |
||
|
|
|
|||
|
|
r |
|
|
|
Инвестор в течение четырех лет в конце каждого года получает сумму 1000000 руб. и размещает каждый платеж под 15% до окончания четырехлетнего периода. Определить будущую стоимость аннуитета.
Она равна:
F = 10000000,15 [(1+ 0,15)4 −1]= 4993375 руб.
Преобразуем формулу (32), чтобы получить значение С:
С = |
Fr |
(33) |
(1+ r)n −1 |
Данную формулу можно использовать, чтобы определить размер ежегодных отчислений для формирования к определенному моменту времени фонда денежных средств требуемого размера, например, пенсионного фонда или фонда по выкупу предприятием своих облигаций.
Пример.
Предприятие должно погасить через пять лет облигации на сумму 10 млрд. руб. Определить размер ежегодных отчислений для формирования выкупного фонда, если данные средства до момента погашения облигаций инвестируются под 15% годовых.
Сумма ежегодных отчислений составит:
= 1000000000 • 0,15 =
C 1,155 −1 148,3 млрд. руб.
49
3. 5. 1. 2. Будущая стоимость аннуитета при осуществлении выплат т раз в год
Если условия аннуитета предусматривают осуществление платежей т раз в год, то формула (31) примет вид:
|
C mn |
mn−t |
|
|
F = |
|
∑(1+ r / m) |
(34) |
|
|
||||
|
m t=1 |
|
|
|
где: С — величина выплаты за год.
|
|
|
|
r |
|
Умножим обе части уравнения (34) на 1+ |
|
и вычтем результат |
|||
|
|||||
|
|
|
|
m |
|
из уравнения (34). После преобразования получим: |
|||||
F = |
C |
[(1 |
+ r / m)mn −1] |
(35) |
|
|
|||||
|
r |
|
|
|
|
3. 5. 1. 3. Будущая стоимость аннуитета при начислении процента т раз в год
Рассматриваемый случай отличается от предыдущего тем, что сложный процент начисляется в течение года т раз, а платежи по аннуитету осуществляются только в конце каждого года. Это означает, что проценты по первому платежу начисляются с начала второго года и осуществляется т раз в год; по второму платежу — с начала третьего года и также осуществляется т раз в год и т. д.
В этом случае будущая стоимость аннуитета равна:
n |
|
F = C∑(1+ r / m)m(n−t ) |
(36) |
t=1
Умножим обе части уравнения (35) на (1 + r/m)m и вычтем результат из уравнения (36). После преобразования получим:
(1+ r / m)mn −1 |
|
F = C (1+ r / m)m −1 |
(37) |
50 |
|