Разное / Буренин РПФИ

Пример.

N = 1000 руб., Р = 850 руб, n = 2 года, т = 2. Определить доходность облигации.

Она равна:

5. 2. 1. 3. Определение доходности ГКО

Доходность ГКО определяется из формулы (74), а именно:

где: N— номинал ГКО; Р—цена ГКО;

t — число дней с момента покупки облигации до дня погашения.

5. 1. 2. 4. Определение доходности ОФЗ-ПК и ОГСЗ

По ОФЗ-ПК и ОГСЗ выплачиваются плавающие купоны. Поэтому доходность до погашения данных облигаций можно определить только ориентировочно на основе оценки будущей конъюнктуры рынка.

В то же время ЦБ РФ дал следующую формулу для расчета доходности данных облигаций.

где: N— номинал облигации; С— купон за текущий период; Р— чистая цена облигации;

А— накопленный с начала купонного периода доход по купону; t — количество дней до окончания текущего купонного периода.

Величина текущего купонного платежа С рассчитывается по формуле:

где: R — годовой купон;

Т— количество дней в текущем купонном периоде.

111

Величина А определяется по формуле:

Пример.

N = 1 млн. руб, Т =92 дня, r = 20 дней, R = 350000 руб., Р= 1010

тыс. руб. Определить доходность облигации.

C = 350000 36592 = 88219,18 руб.

5. 1. 2. 5. Доходность за период

До настоящего момента мы рассматривали главным образом доходность, которую инвестор может получить, если продержит облигацию до погашения. На практике вкладчика интересует также вопрос о доходности, которую он себе обеспечил, если продал облигацию раньше срока погашения. Другими словами, необходимо уметь рассчитать доходность за период. Доходность за период определяется как отношение дохода, полученного по облигации за этот период, к уплаченной за нее цене.

Пример.

Вкладчик купил ГКО за 950 тыс. руб. и продал через 20 дней за 975 тыс. руб. В данном случае доходность за период составила:

975тыс. − 950тыс. = 0,0263 или 2,63% 950тыс.

Доходность в 2, 63% инвестор получил за 20 дней. Обычно величину доходности пересчитывают в расчете на год, чтобы ее можно было сравнить с другими инвестициями. Как известно из главы 3, возможно пересчитать данную доходность в расчете на год на основе простого или сложного процента. В случае простого процента она составила:

112

2,63% 36520 = 48,00%

В случае сложного процента она равна:

(1+ 0,0263)365 / 20 −1= 0,6060 или 60,60%

Пример.

Инвестор купил облигацию по цене 1005 тыс. руб. и продал ее через два года за 998 тыс. руб. За двухлетний период он получил купонные платежи в сумме 300 тыс. руб. Доходность за период составила:

(998тыс. −1005тыс.)+ 300тыс. = 0,2915 или 29,15% 1005тыс.

Данная доходность получена в расчете на двухлетний период. В расчете на год она равна:

21+ 0,2915 −1= 0,1364 или 13,64%

5.1. 3. Реализованный процент

Решение о покупке той или иной купонной облигации в ряде случаев целесообразно принимать не на основе значения доходности до погашения, а на основе реализованного процента. Реализованный процент рассчитывается с учетом всех поступлений, которые инвестор сможет получить за время владения облигацией.

5. 1. 3. 1. Определение доходов, которые инвестор получит по

облигации

Общая сумма средств, которые вкладчик получит по облигации, складывается из трех элементов:

•суммы погашения при выкупе облигации или суммы от ее про-

дажи;

•купонных процентов;

•процентов от реинвестирования купонов.

Если вкладчик держит облигацию до погашения, то первый элемент доходов известен из условий выпуска облигационного займа. Второй элемент — купон — также известен. Третий элемент можно определить только в совокупности со вторым по формуле будущей стоимости аннуитета, а именно:

C p = Cr [(1+ r)n −1]

113

где: Ср — сумма купонных платежей и процентов от реинвестирования купонов;

С — купон облигации; п— число периодов, за которые выплачиваются купоны;

r — процент, под который вкладчик планирует реинвестировать купонные платежи.

Пример.

Инвестор приобретает облигацию по номиналу, номинал равен 100 тыс. руб., купон — 15%, выплачивается один раз в год. До погашения остается 6 лет. Инвестор полагает, что за этот период он сможет реинвестировать купоны под 12% годовых. Определить общую сумму средств, которые вкладчик получит по данной бумаге, если продержит ее до момента погашения.

Через шесть лет инвестору выплатят номинал облигации. Сумма купонных платежей и процентов от их реинвестирования составит:

105000,12 [(1,12)6 −1]= 121727,84 руб.

Таким образом, общая сумма средств, которые получит инвестор за шесть лет, равна 221727, 84 руб.

Теперь несколько изменим условия задачи. Предположим, что вкладчик рассчитывает реинвестировать купоны в течение ближайших двух лет под 14%, а оставшихся четырех лет — под 12%. В этом случае сумма купонов и процентов от их реинвестирования за первые два года составит:

105000,14 [(0,14)2 −1]= 32100 руб.

За оставшиеся четыре года полученная сумма, поскольку она инвестирована под 14%, возрастет до:

32100(1,14)4 = 54215,62

Сумма купонных платежей и процентов от их реинвестирования под 12% в течение четырех последних лет составит:

105000,12 [(1,12)4 −1]= 71689,92 руб.

Общая сумма, которую инвестор получит по такой облигации, равна:

1000000 + 54215,62 + 71689,92 = 225905,54

114

Если вкладчик планирует в будущем продать облигацию, то ему необходимо оценить ее стоимость к этому моменту времени и прибавить к сумме купонов и процентов от их реинвестирования.

5. 1. 3. 2. Определение реализованного процента

Реализованный процент — это процент, позволяющий приравнять сумму всех будущих поступлений, которые инвестор планирует получить по облигации, к ее сегодняшней цене. Он определяется по формуле:

где: В— все будущие поступления; S — цена покупки облигации.

Для последнего примера реализованный процент равен:

Реализованный процент позволяет принимать решения, исходя из ожиданий развития конъюнктуры рынка.

5. 1. 4. Определение цены и доходности облигации с учетом налоговых и комиссионных платежей

До настоящего момента мы определяли значения цены и доходности облигаций, не учитывая тот факт, что по ним могут взиматься налоги и выплачиваться комиссионные вознаграждения брокерским компаниям.

Данные поправки легко сделать, скорректировав соответствующим образом формулы определения цены и доходности, рассмотренные выше. Корректировка формул заключается в том, что получаемую прибыль уменьшают на величину взимаемых налогов и на размер уплаченных комиссионных. В качестве затрат учитывается не только цена, по которой покупается бумага, но и комиссионные брокерской фирмы. Приведем пример такой корректировки для ГКО. Так формулы (74) и (79) соответственно примут вид:

r(t / 365)((1+k )+(1−Tax −k ))

115

где: Tax — ставка налога на ГКО (ставка налога подставляется в формулу в десятичном значении, например, налог 15% следует учесть в формуле как 0, 15);

k — комиссионные платежи как процент от суммы сделки (учитывается в формуле в десятичных значениях).

5. 1. 5. Дюрация

Риск изменения цены облигации, в первую очередь, связан с риском изменения процентных ставок. Поэтому необходимо определить показатель, который являлся бы мерой такого риска. Чтобы определить приблизительное изменение облигации при небольшом изменении доходности до погашения, возьмем первую производную по r для формулы определения цены облигации:

где: Р — цена облигации,

dP — изменение цены облигации,

dr — изменение доходности до погашения, r — доходность до погашения,

С — купон облигации, N — номинал облигации,

п — число лет до погашения облигации.

Сумма в квадратных скобках в правой части уравнения (87) представляет собой средневзвешенное время до погашения купонов и номинала облигации, где весами выступают приведенные стоимости платежей.

116

Например, если облигация погашается через три года, то выражение в квадратных скобках уравнения (87) примет вид:

где: 1, 2 и 3 — годы, когда выплачивается купоны и номинал по обли-

С помощью уравнения (87) можно приблизительно определить изменение цены облигации при малом изменении доходности до погашения.

Разделим обе части уравнения (87) на Р

Уравнение (88) говорит о приблизительном процентном изменении цены облигации.

называют дюрацией (duration — протяженностью) Макоули. Обозначим ее через D. Дюрация представляет собой эластичность цены облигации по процентной ставке и поэтому служит мерой риска изменения

цены облигации при изменении процентной ставки.

Наглядно можно показать следующим образом. Продифференцируем уравнение (63) по (1 + r).

Умножим обе части уравнения (89) на1+Pr

117

Левая часть уравнения (90) — это эластичность цены облигации относительно доходности до погашения (или более точно, относительно (1 + r)).

Как видно из уравнения (90), чем меньше величина дюрации, тем в меньшей степени цена облигации будет реагировать на изменение процентной ставки и наоборот. Перед дюрацией стоит знак минус. Это говорит о том, что доходность до погашения и цена облигации изменяются в противоположном направлении.

Пример 1.

Номинал облигации 1 млн. руб., купон 20% и выплачивается один раз в год, до погашения остается 3 года, доходность до погашения 20%. Цена облигации равна 1 млн. Определить дюрацию облигации.

Она равна:

Допустим, что доходность до погашения выросла на 1%, тогда цена облигации снизилась до

Найдем процентное изменение цены облигации в результате изменения доходности до погашения:

979260,66 −1000000 = −0,0207 или 2,07%

1000000

Как видно из примера, дюрация облигации равна 2, 53 года, и при небольшом изменении процентной ставки процентное изменение це-

118

ны облигации составило 2, 07%. Таким образом, дюрация облигации приблизительно говорит о том, на сколько процентов изменится цена облигации при изменении ее доходности на небольшой процент. Показатель дюрации можно использовать не только в отношении облигаций, но и других активов, которые предполагают известные суммы выплат. Дюрация облигации с нулевым купоном равна периоду времени, который остается до ее погашения.

Дюрация определяется в купонных периодах. Если купоны выплачиваются 1 раз в год, то величина дюрации равна количеству лет. Если купоны выплачиваются т раз в год, то дюрацию в годах можно определить по следующей формуле:

где: т - число периодов, за которые выплачиваются купоны в течение года.

Пример 2.

Дюрация облигации в купонных периодах равна 7, 4 года. Купоны выплачиваются два раза в год. Определить дюрацию в годах.

Она равна:

7,4 года :2=3,7 года Запишем формулу (88), обозначив дюрацию через D.

1

Величину1+ r D называют модификацированной дюрацией. Обо-

значим ее через Dm. Тогда формула (92) примет вид:

Модифицированная дюрация говорит о том, на сколько процентов изменится цена облигации при изменении доходности до погашения на небольшой процент. Эта зависимость станет более наглядной, если уравнение (93) представить следующим образом:

Продолжим пример I и рассчитаем модифицированную дюрацию для облигации, если дюрация Макоули, как мы определили, равна 2, 53 года.

Dm = 12,53+ 0,2 = 2,108 лет

Модифицированная дюрация измеряется в купонных периодах. Если купоны выплачиваются один раз в год, то значение модифицированной дюрации означает количество лет. Если купоны выплачиваются m раз в год, то модифицированную дюрацию в годах можно определить по следующей формуле:

где: m-число периодов, за которые выплачиваются купоны. Продолжая пример 1, определим, на какую величину в процентах

изменится цена облигации при повышении доходности до погашения на 1%. Она равна:

− 2,108• 0,01= −0,02108 или 2,108%

Как мы рассчитали выше, действительное падение составило 2, 07%. Преобразуем уравнение (93) следующим образом:

Выражение в правой части уравнения (96) называют дюрацией в денежном выражении. Если мы умножим обе части уравнения (96) на dr, то получим уравнение:

Уравнение (97) позволяет определить изменение цены облигации при изменении доходности до погашения на небольшую величину.

В предыдущем примере Dm = 2, 108 и Р = 1000000 руб. Тогда при росте доходности до погашения облигации на 0, 01% ее цена изменится согласно уравнению (95) на:

− 2,108×1000000 • 0,0001= 210,8 руб.

Действительное изменение цены в этом случае составляет 210, 62 руб. Таким образом при малых изменениях доходности до погашения формула (95) дает хорошее приближение величины изменения цены облигации.

120