Разное / Буренин РПФИ

где: θi—удельный вес i-го актива; PI — стоимость i-го актива; РР — стоимость портфеля.

Сумма всех удельных весов, входящих в портфель активов, всегда равна единице.

Пример.

Портфель состоит из двух активов А и В. Е(RА) = 15%, Е(rB) = 10%. Стоимость актива А — 300 тыс. руб., актива В — 700 тыс. руб. Необходимо определить ожидаемую доходность портфеля.

Стоимость портфеля равна:

Е(rp ) =15% •0,3 +10% •0,7 =11,5%

Инвестор воспользуется формулой (149) для определения ожидаемой доходности портфеля на основе ожидаемой доходности активов. Чтобы решить данную задачу, он должен вначале вычислить ожидаемую доходность каждого актива в отдельности. Для этого можно использовать следующий прием. Допустим, в условиях неопределенности менеджер полагает, что рискованный актив, например, акция, может принести ему различные результаты, о которых в момент формирования портфеля можно судить только с некоторой долей вероятности, как представлено в табл. 6.

Таблица 6. Доходность акции с учетом вероятности

Всумме все возможные варианты событий должны составлять 100% вероятности, как и показано в табл. 6. Ожидаемая доходность актива определяется как среднеарифметическая взвешенная, где весами выступают вероятности каждого исхода события.

Внашем случае ожидаемая доходность равна:

10% •0,3 +13% •0,3 +18% •0,2 +24% •0,2 =15%

241

(В формуле ожидаемой доходности значения вероятности берут в десятичных величинах, и соответственно вероятность всех возможных вариантов событий равна единице. )

Запишем формулу определения ожидаемой доходности актива в общем виде:

i=1

где: Е(r) — ожидаемая доходность актива;

E(ri ) — ожидаемая доходность актива в i-м случае; πi — вероятность получения доходности в i-м случае.

13. 2. ОЖИДАЕМЫЙ РИСК АКТИВА

Приобретая какой-либо актив, инвестор ориентируется не только на значение его ожидаемой доходности, но и на уровень его риска. Ожидаемая доходность выступает как некоторая величина, которую надеется получить инвестор, например 15%. Возможность получения данного результата подтверждается предыдущей динамикой доходности актива. Однако 15% — это только средняя величина. На практике доходность, которую получит инвестор, может оказаться как равной, так и отличной от 15%. Таким образом, риск инвестора состоит в том, что он может получить результат, отличный от ожидаемой доходности. Строго говоря, риск вкладчика заключается в том, что он получит худший, чем ожидаемый результат, т. е. его доходность составит менее 15%. Если фактическая доходность окажется больше 15%, то это плюс для инвестора. На практике в качестве меры риска используют показатели дисперсии и стандартного отклонения. Они показывают, в какой степени и с какой вероятностью фактическая доходность актива может отличаться от величины его ожидаемой доходности, то есть средней доходности. Данные параметры учитывают отклонения как в сторону увеличения, так и уменьшения доходности по сравнению с ожидаемым значением. Как мы отметили выше, фактический риск состоит в том, что фактическая доходность окажется ниже ожидаемой, однако отмеченные параметры используются в качестве меры риска, в первую очередь, в силу простоты их определения. Дисперсия определяется по формуле

242

∑n (ri − r)2

где: σ2 — дисперсия доходности актива; n — число периодов наблюдения;

r— средняя доходность актива; она определяется как средняя арифметическая доходностей актива за периоды наблюдения, а именно:

где: ri — доходность актива в i-м периоде.

Стандартное отклонение определяется как квадратный корень из дисперсии

где: σ— стандартное отклонение доходности актива.

Пример определения риска актива.

Допустим, что доходность актива в каждом году за пятилетний период составила следующие значения: 1-й год — 20%. 2-й год —

25%, 3-й год — 18%, 4-й год — 21 %, 5-й год — 19%.

1-й шаг. Определяем среднюю доходность актива за пятилетний период.

2-й шаг. Определяем отклонение величины доходности в каждом

периоде от ее среднего значения.

20%-20,6% = -0,6%

25%-20,6% = 4,4%

18%-20,6% = -2,6%

21%-20,6% = 0,4%

19%-20,6% = -1,6%

3-й шаг. Возводим в квадрат полученные отклонения и суммируем

их

0,36 +19,36 + 6,76 + 0,16 + 2,56 = 29,2

243

4-й шаг. Определяем дисперсию.

29,2 : 5 = 5,84

(Если имеется небольшое число наблюдений, как в нашем примере, то по правилам статистики в формуле определения дисперсии (152) в знаменателе вместо п - 1 берут просто значение п. )

5-й шаг. Определяем стандартное отклонение.

5,84 = 2,41%

Стандартное отклонение говорит о величине и вероятности отклонения доходности актива от ее средней величины за определенный период времени. В нашем примере мы получили отклонение доходности актива за год, равное 2, 41%.

Доходность актива в том или ином году — это случайная величина. Массовые случайные процессы подчиняются закону нормального распределения. Поэтому с вероятностью 68, 3% можно ожидать, что через год доходность актива будет лежать в пределах одного стандартного отклонения от средней доходности, т. е. в диапазоне 20, 6% ± 2, 41%; с вероятностью 95, 5% этот диапазон составит два стандартных отклонения, т. е. 20, 6% ± 2 х 2, 41%; и с вероятностью 99, 7% диапазон составит три стандартных отклонения, то есть 20, 6% ± 3 х 2, 41%.

Поскольку доходность актива — случайная величина, которая зависит от различных факторов, то остается 0, 3% вероятности, что она выйдет за рамки трех стандартных отклонений, т. е. может как упасть до нуля, так и вырасти до очень большой величины.

График нормального распределения представлен на рис. 34. Чем больше стандартное отклонение доходности актива, тем больше его

244

риск. Например, два актива имеют одинаковую ожидаемую доходность, которая равна 50%. Однако стандартное отклонение первого актива составляет 5%, а второго — 10%. Это говорит о том, что второй актив рискованнее первого, так как существует 68, 3% вероятности, что через год доходность первого актива может составить от 45% до 55%, а второго — от 40% до 60% и т. д.

13. 3. ОЖИДАЕМЫЙ РИСК ПОРТФЕЛЯ

Ожидаемый риск портфеля представляет собой сочетание стандартных отклонений (дисперсий) входящих в него активов. Однако в отличие от ожидаемой доходности портфеля его риск не является обязательно средневзвешенной величиной стандартных отклонений (дисперсий) доходностей активов. Дело в том, что различные активы могут по-разному реагировать на изменение конъюнктуры рынка. В результате стандартные отклонения (дисперсии) доходности различных активов в ряде случаев будут гасить друг друга, что приведет к снижению риска портфеля. Риск портфеля зависит от того, в каком направлении изменяются доходности входящих в него активов при изменении конъюнктуры рынка и в какой степени.

Для определения степени взаимосвязи и направления изменения доходностей двух активов используют такие показатели как ковариация и коэффициент корреляции.

Показатель ковариации определяется по формуле

где: COVAA, B — ковариация доходности активов А и В;

r A — средняя доходность актива А за n периодов;

r B — средняя доходность актива В за n периодов; rA — доходность актива А в i-м периоде;

rB — доходность актива В в i-м периоде;

п — число периодов, за которые регистрировалась доходность ак-

тивов А и В.

Положительное значение ковариации говорит о том, что доходности активов изменяются в одном направлении, отрицательное — в обратном. Нулевое значение ковариации означает, что взаимосвязь между доходностями активов отсутствует.

245

В табл. 7 приведены данные о доходности бумаг А и В за четыре года. Определим ковариацию доходности данных бумаг.

Таблица 7. Доходность бумаг А и В (в десятичных значениях)

1 шаг. Определяем средние значения доходностей бумаг за указанный период.

r A = 0,1+0,16 +0,14 +0,17 = 0,1425 4

r В = 0,12 +0,18 +0,14 +0,15 = 0,1475 4

2 шаг. Определяем отклонения доходности бумаг от их средних значений.

3 шаг. Определяем произведения отклонений доходности бумаг для каждого периода и суммируем полученные значения.

4 шаг. Определяем значение ковариации, разделив полученную сумму на число временных периодов. (Так как в нашем примере небольшое количество наблюдений, то в знаменателе вместо п — 1 берем значение п).

246

CovA, B = 0,0018248 = 0,0004562 4

Другим показателем степени взаимосвязи изменения доходностей двух активов служит коэффициент корреляции. Он рассчитывается по формуле

где: Соrr А, В — коэффициент корреляции доходности активов А и В; Сov A, B — ковариация доходности активов А и В;

σA — стандартное отклонение доходности актива А;

σB — стандартное отклонение доходности актива В.

Коэффициент корреляции изменяется в пределах от -1 до +1. Положительное значение коэффициента говорит о том, что доходности активов изменяются в одном направлении при изменении конъюнктуры, отрицательное — в противоположном. При нулевом значении коэффициента корреляция между доходностями активов отсутствует.

13. 4. РИСК ПОРТФЕЛЯ, СОСТОЯЩЕГО ИЗ ДВУХ АКТИВОВ

Риск портфеля, состоящего из двух активов, рассчитывается по формуле

где: σр2 — риск(дисперсия) портфеля; θA — уд. вес актива А в портфеле; θB — уд. вес актива В в портфеле;

СovA, B — ковариация доходности активов А и В.

Пример.

Определить риск портфеля, состоящего из бумаг А и В, если θA = 0, 3; θB = 0, 7; σA2 = 0, 0007188; σB2 = 0, 0004688; COVA, B = 0, 0004562.

Риск портфеля равен:

σР2 = 0,3•0,0007188+0,7•0,0004688+2•0,3•0,7•0,0004562 = 0,000468 σP = 0,021633 или 2,163%

247

Таким образом, если доходности активов имеют корреляцию +1, то риск портфеля — это средневзвешенный риск входящих в него активов. Объединение таких активов в один портфель не позволяет воспользоваться возможностями диверсификации для снижения риска, поскольку при изменении конъюнктуры их доходности будут изменяться в прямой зависимости в одном и том же направлении, как показано на рис. 36. В этом случае диверсификация не приводит к сокращению риска, а только усредняет его. Изменяя удельный вес активов А и В в портфеле, инвестор может сформировать любой портфель, который бы располагался на прямой АВ (см. рис. 37).

13. 4. 2. Риск портфеля, состоящего из двух активов с корреляцией доходности -1

При корреляции -1 переменные находятся в обратной функциональной зависимости. Графически она представляет собой нисходящую прямую линию, как показано на рис. 38. Для такого случая формула (158) превращается в формулу квадрата разности:

249

Объединение в портфель активов с корреляцией -1 позволяет уменьшить его риск по сравнению с риском каждого отдельного актива, поскольку, как показано на рис. 39, при изменении конъюнктуры разнонаправленные движения доходности активов А и В будут гасить друг друга. При этом ожидаемая доходность портфеля останется неизменной и будет зависеть от ожидаемой доходности каждого актива и его удельного веса в портфеле. Сочетая в портфеле активы А и В в различных пропорциях, инвестор имеет возможность, с точки зрения риска и доходности, сформировать любой портфель, который будет лежать на прямых АС и СВ, как показано на рис. 40. В точке С портфель инвестора не будет иметь риска. Чтобы сформировать такой портфель, необходимо найти соответствующие удельные веса активов А и В. Для этого приравняем уравнение (162) к нулю и определим θA и θв.

σ P = θ Aσ A +θ Bσ B = 0

Поскольку

θ A = 1−θB

то

(1−θB )σ A −θBσ B = 0

Отсюда