Полупроводниковая электроника / Киреев.Физика полупроводников.1975
.pdfИсходя из его размерности, назовем его тензором эффективной iaccbi. Его компоненты mi} не равны обратным величинам компо-
нентов тензора |
обратной эффективной |
массы, |
т. е. |
|
||||
|
|
|
dPidPj |
|
|
|
(12·21> |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Они должны находиться из условия |
|
|
|
|||||
|
m * m * - i __m * - i m * |
= I, |
w |
(12.22) |
||||
где I есть единичный тензор. Рассмотрим частный случай, когда |
||||||||
тензор т * " 1 имеет диагональный |
вид |
|
|
|
|
|||
|
|
{ т м } и |
= |
т ? 6 Ф |
|
(12.23) |
||
Обозначим |
компоненты |
тензора |
т * |
в |
виде miJ% Так |
как |
||
|
'/у = |
δί7 = { |
1 при |
/ = /, |
(12.24) |
|||
|
|
|
О при I Φ /, |
|
то на основании правил умножения матриц из (12.22) запишем, учитывая (12.24):
|
|
|
2 |
ти {m*-i}/y = 2 |
ттТЬи = титт1 = Ьи. |
|
(12.25) |
|||||||||||
|
|
|
I |
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мы видим, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
т и |
= ^ |
Ьц = mjbij, |
|
|
|
|
(12.26) |
|||||
т. |
е. |
если |
т * - 1 |
является^ёиаёональным |
|
тензором, |
то |
тензор |
т |
|||||||||
также |
является диагональным, |
причем |
по |
диагонали |
его |
стоят |
эле- |
|||||||||||
менты, |
обратные |
элементам |
тензора , обратной |
эффективной |
массы. |
|||||||||||||
Запишем это подробно. Если обозначим |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
mji = д2Е |
(dPf) = |
mjlt |
|
|
|
|
(12.27) |
|||||
то тензоры |
т * |
и ш* - 1 |
будут иметь вид |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
— |
О О |
|
|
(тх |
0 |
0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
т**1 |
= |
0 |
— |
0 |
|
т* = ( |
0 |
т2 |
0 |
|
|
(12.28) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
т2 |
|
|
|
0 |
0 |
т3/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
о — з |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
т3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В дальнейшем величины т,· будем называть компонентами эффек- |
|||||||||||||||||
тивной |
массы, |
а |
деление |
на |
гп* |
будем |
понимать |
как |
умножение |
|||||||||
на |
т * - 1 (и |
наоборот). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Изоэнергетическая |
поверхность |
описывается |
уравнением |
|
|
||||||||||||
|
|
|
- |
Ρ |
, ( р х - р охУ* . |
(Ру-Роу)* |
, |
|
1Р.-Р0.Г |
|
|
|
|
|||||
|
|
E<JP)=E{ |
|
2m, |
+ |
|
2ma |
|
|
2rrio |
= const. |
(12.29) |
61
Если ввести полуоси эллипсоида а, Ь, с и записать уравнение эллипсоида в канонической форме
|
|
|
(fir-Яе,)» |
|
, (Ру-РоуУ* |
, |
Рм-РомУ* |
|
. |
|
|
/100Л |
||||
|
|
|
|
* |
|
+ |
Ρ |
+ |
|
* |
|
= |
^ |
|
|
( 1 2 · 3 0 ) |
то легко видеть, что длина полуосей |
пропорциональна |
корню |
квад- |
|||||||||||||
ратному |
из соответствующих |
величин |
тс. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
а2 = 2 (Е- |
Е0) т±\ |
Ь2 = 2(Е -Е0) |
ш2; с2 = 2 (Е- |
Е0) щ. |
(12.31) |
|||||||||||
Рассмотрим |
случай, |
когда |
все три элемента |
эффективной |
массы |
|||||||||||
равны: m1 = m2 = m3 = mii\ |
|
|
массы |
вырождается |
в |
скаляр |
||||||||||
В этом |
случае |
тензор |
эффективной |
|||||||||||||
(тензор |
нулевого |
ранга), |
и изоэнергетические |
поверхности |
представ- |
|||||||||||
ляют собой |
сферы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
* £ |
= |
+ |
|
|
= const. |
|
|
|
|
|
(12.32) |
|
Если |
равны |
какие-либо |
два |
элемента |
тензора, |
например |
тг = |
|||||||||
= т2 Φ m3t |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е |
= Е ° |
+ |
|
|
2тг |
|
|
+ |
2т3 |
|
= C0Ilst |
|
(12'33> |
иизоэнергетические поверхности представляют собой эллипсоиды
вращения |
вокруг оси |
Pz. |
Если тх<С.т3у |
то .эллипсоид |
вращения |
|||||||
будет вытянут вдоль оси вращения, причем он вытянут тем больше, |
||||||||||||
чем |
больше |
отношение эффективных масс т3/тг. |
Если m1>m3f |
то |
||||||||
эллипсоид |
сжат вдоль оси вращения. |
|
|
|
|
|||||||
|
В |
общем |
случае различных эффективных масс mt эллипсоид |
|||||||||
имеет |
три |
различных |
полуоси. При этом |
необходимо помнить, |
что |
|||||||
чем |
сильнее |
различаются |
величины эффективных |
масс тъ т 2 , |
|
|||||||
тем |
сильнее |
«вытянут» |
эллипсоид. |
£ ( к) — Е0 необходимо |
|
|
||||||
С |
ростом |
разности |
энергии |
учитывать |
||||||||
последующие |
члены ряда Тейлора; эллипсоиды энергии будут дефор- |
|||||||||||
мироваться, превращаясь |
в более сложные поверхности энергии. |
|||||||||||
|
|
|
|
§ 13. СВЯЗЬ СКОРОСТИ С КВАЗИИМПУЛЬСОМ |
|
|
||||||
Оператор |
скорости |
ν |
определяется с |
помощью квантовых |
ско- j |
|||||||
бок |
Пуассона |
|
|
|
|
|
|
|
| |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
\ = |
dr/dt |
= [Η, |
r] = ^ ( r H - H r ) , |
· |
(13.1) ι |
где г —оператор координаты и Н —оператор Гамильтона. Для вычисления коммутатора г и Η удобно перейти к Е- или к-представле^- нию, когда все операторы задаются в виде определенных действий над переменной к, от которой могут зависеть функции. Оператор
62
Гамильтона в к- или Ε-представлении |
есть |
оператор |
умножения, |
или просто энергия Ε (к): |
|
|
|
Н(к) = £ ( к) . |
|
(13.2) |
|
Чтобы найти вид оператора г (к), |
учтем, |
что if>K(r) тесно связана |
с собственной функцией оператора г (к), которую обозначим через ψΓ (к):
Γ(κ)ψΓ(κ) = ήΜκ), |
(13.3) |
где г есть собственное значение оператора координаты, |
(к) его |
собственная функция, заданная в к-представлении. |
|
Как известно из квантовой механики, собственные функции двух |
операторов во взаимных представлениях связаны простым соотно-
шением: если собственная функция L в Λί-представлении есть |
(Μ) |
||||||
|
|
И М ) Ы М ) = /лЫМ), |
|
(13.4) |
|||
а собственная функция Μ в L-представлении есть ψ^ι (£) |
|
||||||
то |
|
M ( L ) ^ ( L ) = M ^ ( L ) , |
|
(13.5) |
|||
|
|
Ы М ) = г№(1). |
|
(13.6) |
|||
|
|
|
|
||||
На |
основании |
этого можно |
записать |
собственную |
функцию |
опе- |
|
ратора |
г (к) в к-представлении |
в виде: |
|
|
|
||
|
|
ψΓ (к) = φ* (г) =ег^г)ц* ( г ) , |
|
(13.7) |
|||
после чего легко |
найти |
вид оператора г (к) на основании уравнения |
|||||
на собственные функции |
и собственные значения: |
|
|
||||
или |
|
|
^ φ ρ τ ^ ) = = Γ ψ Γ ( κ ) , |
|
(13.8) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г>)г|>*(г) = п|>*(г). |
|
(13.9) |
||
Смысл этого |
соотношения |
состоит |
в том, что нужно подобрать |
||||
такую форму оператора |
г (к), |
чтобы после его воздействия на функ- |
|||||
цию г|?к(г) получить ту же функцию, |
умноженную |
на г. При |
этом |
необходимо действовать |
на ψκ (г) |
только по переменной к. |
|
||
Рассмотрим действие оператора d/(dk) = VK |
на функцию ψκ (г): |
||||
(г) = VK [е-^кг>фк (г)] = |
- /п|>* (г) + |
e-'<Kr>VK(p* (г) |
= |
||
= |
- |
/πψ* (г) + |
(г) [VK 1η φ* (г)], |
(13.10) |
|
или |
|
|
|
|
|
Γψ* (г) = |
[iVK - (iVK 1η φ5)] ψ* (г) = |
Г (к) ψκ (г), |
(13.11) |
||
т. е. оператор |
|
ΓΑ(κ) = /νκ-ί(νκ1ηφ*) |
|
(13.12) |
|
|
|
|
представляется в виде суммы операторов дифференцирования по волновому вектору (или квазиимпульсу) и умножения на некоторую
63
функцию от к (и г). Вместо члена — i (VK 1η cpt) можно ввести неко- торый оператор Ω, разложив функции νκφ* по функциям φκ.
При U(г) = const второй член обращается в нуль, и г(к) имеет обычный вид оператора координаты в р-представлении, поскольку в этом случае квазиимпульс тождествен импульсу. Теперь можно записать выражение для оператор а. скорости в к-представлении:
|
|
|
|
|
ν (к) = |
1 |
{гА (к) Ε |
(к) - |
Ε (к) ? (к)} = |
1 |
|
, |
|
|
(13.13) |
||||||
который |
имеет |
вид |
оператора |
|
умножения |
на |
производную |
|
энергии |
||||||||||||
по |
|
квазиимпульсу: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
ν |
( |
κ ) 4 |
^ |
= § |
= ν(Ρ) = |
ν. |
|
|
|
|
(13.14) |
|||
|
Это соотношение подобно выражению для групповой скорости |
||||||||||||||||||||
волнового |
пакета |
|
|
vrp = |
dE/dp. |
|
|
|
|
|
|
(13.15) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Средняя скорость электрона в состоянии с энергией Ε (к) (с вол- |
||||||||||||||||||||
новой |
функцией г|)к (г), |
но не ψ£(Γ)) имеет |
вполне определенное зна- |
||||||||||||||||||
чение, |
зависящее |
от |
этого состояния |
|
|
|
/ч |
|
|
1 dE |
dE |
||||||||||
и равное (v) = v = . y j - |
= ^р |
||||||||||||||||||||
(опустим знак < )). (13.16) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Таким |
образом, |
усредненная |
|
по состоянию |
с |
определенной |
|
энер- |
||||||||||||
гией |
(точнее: и по бесконечно |
малому |
интервалу |
энергий) |
скорость |
||||||||||||||||
электрона |
определяется |
в виде |
производной |
энергии |
по |
квазиимпульсу. |
|||||||||||||||
В |
точках |
экстремума |
средняя |
в |
квантовомеханическом |
смысле ско- |
|||||||||||||||
рость |
равна |
нулю. (В дальнейшем слова |
«средняя в |
квантовомеха- |
|||||||||||||||||
ническом |
смысле» |
будем опускать.) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Если |
рассматривать состояния в малой окрестности |
экстремаль- |
||||||||||||||||||
ных |
точек, |
где энергия имеет |
квадратичную зависимость |
от |
квази- |
||||||||||||||||
импульса: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
(13.17) |
|
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ι |
|
|
- |
J |
. |
|
|
|
|
|
<ΐ3·'β> |
|
или |
в |
векторной форме |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v = = i ^ ( p - p » ) ' |
|
|
|
|
|
|
<1 3 ·, 9 ) |
|||||
т. |
е. |
|
в общем |
случае |
скорость |
равна |
скалярному |
произведению |
квл" |
||||||||||||
зиимпульса |
на |
тензор |
обратной |
эффективной |
массы. |
|
Если |
тензор |
|||||||||||||
ш*"1 |
имеет диагональный вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{т*->Ь7 = тГб,7, |
|
|
|
|
|
|
(13.20) |
64
то выражение |
(13.18) упрощается: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Vi |
|
mi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(13.21) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Скорость |
есть |
градиент энергии |
в |
пространстве квазиимпульса, |
|||||||||||||||||
поэтому |
она |
направлена |
по |
нормали |
к |
изоэнергетическим |
поверх- |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
• " |
|
|
|
. F' |
|
|
|
У |
|
|
|
т**0 |
h |
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
0 ЛР\ |
|
|
|
|
0 i £ > V |
|
|
|
|
С о2 |
ν · |
|||||||||
|
|
|
|
) |
Рт |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ή |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. |
9. Направления . радиуса-вектор а |
и |
нормали |
к |
поверхности |
энергии: |
|||||||||||||||
а — сферические |
поверхности энергии; |
б — эллипсоидальные |
поверхности |
энергии; |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
в — сферические поверхности энергии, |
т* |
< О |
|
|
|
|||||||||||
ностям, в то время как |
Р — Р0 |
есть радиус-вектор точек поверхности. |
|||||||||||||||||||
Для |
эллипсоидальных |
поверхностей |
энергии |
радиус-вектор |
и нор- |
||||||||||||||||
маль |
не |
коллинеарны, |
поэтому |
направления |
скорости и квазиим- |
||||||||||||||||
пульса |
не совпадают. |
Коллинеарность |
будет |
наблюдаться |
только |
||||||||||||||||
для направлений вдоль осей эллипсоидов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
(рис. |
9), |
при |
этом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ» |
|
|
|
||
|
|
Pi = Poi = Y2mi{E-E0), |
|
|
(13.22) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
поэтому |
|
|
|
|
|
|
ν |
Щ |
|
||||||||||||
|
|
|
V2 |
(Е-Ε |
о) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Vi |
|
(13.23) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
Vrrqr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
f |
|
f |
Ί |
|
|
|
||
Таким |
образом, |
при |
одной |
и |
той |
же |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
энергии |
|
скорость |
вдоль |
осей |
эллипсоида |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
обратно |
|
пропорциональна |
корню |
из |
соответ- |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ствующего |
компонента |
эффективной |
массы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Вводя |
в' рассмотрение оси |
эллипсоида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
Οι = у 2/72/ (Ε |
— |
Ε0), |
|
(13.24) |
Рис. |
10. Связь |
скорости с ве- |
|||||||||||
получим |
|
|
личиной |
эффективной |
массы |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
густотой |
поверхностей |
|||||||
|
|
|
|
αϊ |
\f2 |
(Е-Е0) |
|
(13.25) |
|
|
|
|
|
энергии |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Vtm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т. е., чем сильнее вытянут эллипсоид, тем меньше скорость движения в этом направлении. Это становится очевидным, если построить семейство изоэнергетических поверхностей (рис. 10). Чем меньше величина массы в данном направлении, тем гуще расположены изоэнергетические поверхности и, следовательно, тем больше скорость вдоль этой оси.
3 |
Киреев |
65 |
|
Необходимо |
остановиться на |
одном |
существенном |
моменте, |
свя- |
|||||||||||||||
занном |
со |
знаком эффективной |
массы. Предположим |
для |
простоты, |
||||||||||||||||
что |
эффективная |
масса —скалярная |
величина. |
В |
этом случае |
век- |
|||||||||||||||
торы |
ν |
и |
.(Р — Р0) |
коллинеарные, |
однако |
их |
направления |
зависят |
|||||||||||||
от вида экстремума. Для минимума |
ш * > 0 |
и скорость ν |
совпадает |
||||||||||||||||||
по |
направлению |
с (Р —Р0). Для |
максимума |
энергии |
т * < 0 |
и ско- |
|||||||||||||||
рость |
направлена |
против (Р —Р0) |
(см. рис. 9, |
в). |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 14. ОПЕРАТОР УСКОРЕНИЯ |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Оператор |
ускорения |
а |
определяется |
как |
производная |
от |
опера- |
||||||||||||||
тора |
скорости |
по |
времени: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
a=.dv/d/ = [H, |
v] = i ( v H - H v ) . |
|
|
|
(14.1) |
|||||||||
Легко |
видеть, |
что |
а = 0 |
при |
движении |
электрона |
в |
периодическом |
|||||||||||||
поле |
|
решетки. |
Действительно, |
в |
к-представлении |
Н ( к ) н = £ ( к ) и |
|||||||||||||||
ν (к) = |
|
dE |
(к)/Н άκ, |
поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ν Η — Hv = 0. |
|
|
|
|
|
|
(14.2) |
||||
Но так как коммутатор двух операторов не зависит от вида |
|||||||||||||||||||||
представления, |
то |
а ^ О |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(а) = |
(а) = 0. |
|
|
|
|
|
|
(14.3) |
|||
Это |
значит, |
что |
электрон |
движется |
в |
периодическом |
поле |
без |
|||||||||||||
ускорения. |
Интуитивное |
представление |
о движении |
электрона |
как |
о периодически повторяющемся ускорении и замедлении лишено основания.. Причиной этого является наличие (наряду с корпускулярными) волновых свойств у электрона. Это приводит к тому, что
его |
средняя скорость является |
интегралом |
движения, подобно тому, |
|
как сохраняется скорость свободно движущейся частицы. |
|
|||
|
Напомним, что одновременно с этим сохраняются во времени энер- |
|||
гия |
и квазиимпульс. Импульс |
же частицы |
периодически |
меняется: |
|
dp/dt = — Vi/(r) = F/, |
(14.4) |
||
так как сила Ft·, действующая на электрон со стороны |
решетки, |
|||
имеет период решетки |
|
|
|
|
|
F; ( Г + 11)^(11) . |
|
(14.5) |
Пусть теперь на кристалл наложено некоторое «внешнее» поле
спотенциальной энергией 1/(г).
Вэтом случае, как мы знаем, квазиимпульс начинает изменяться
|
dP/dt = Fa = -VV(r), |
' |
(14.6) |
|
если V (г + |
п) ^ V (г), т. е. поле |
не является |
периодическим. Ква- |
|
зиимпульс |
меняется под действием |
внешней |
силы Fa , обусловленной |
66
любым нарушением периодического поля. Точка в к-(или Р)-прост- ранстве, изображающая состояние, начинает перемещаться в соответствии с уравнением
dP/dt = Fa. |
(14.7) |
Из (14.7) можем записать |
|
P(0 = P o + S Fa (ξ) d t |
(14.8) |
о |
|
Если внешняя сила не зависит от времени, то |
|
P(t) = P0 + FJ. |
(14.9) |
Траекторией частицы в Р-пространстве является прямая линия, задаваемая направлением внешней силы Fa. Но если частица начинает двигаться в пространстве квазиимпульса, то она переходит от одной
поверхности энергии к другой. |
Другими словами, внешняя |
сила Fa |
|
меняет не только квазиимпульс, |
но и |
энергию частицы. К |
вопросу |
об изменении энергии можно подойти, |
рассматривая уравнение Шре- |
||
дингера, что будет проведено ниже. |
|
|
Вернемся к оператору ускорения. Для этого вычислим скобку Пуассона, учитывая, что на кристалл наложено «внешнее» потенциальное поле V (г). Обозначим гамильтониан поля решетки Н0:
Н0 = — g - A + t/(r), |
(14.10) |
для полного гамильтониана имеем выражение
H = - ^ A + U(r) + V(r) = U0+V(r). |
(14.11) |
Так как оператор cKopocm-v коммутирует с Н0, то для оператора ускорения получим
а = dw/dt |
= (1ЦК) {ν (Н0 + V) - (Но + V) v} = |
(vV - |
Vv). |
||
|
|
|
|
|
(14.12) |
Удобно выразить |
а в к-представлении. Учитывая, |
что |
|
||
запишем |
|
ν (к) = |
άΕ/Ηάκ, |
|
(14.13) |
|
|
|
|
|
|
• |
a |
W ^ ^ ^ V |
M - V w f - } ; |
|
(14.14) |
Чтобы вычислить из (14.14) а (к), надо задать потенциальную энергию в к-представлении. Для этого в потенциальную энергию, заданную в виде функции от координаты — V (г), необходимо подставить г в к-представлении, т. е. вместо г надо подставить оператор
г (к) = / VK — / (VK In φκ). |
(14.15) |
3* |
67 |
Рассмотрим наиболее важный практически случай однородного силового поля
|
|
|
K(r) = |
- ( F a r ) . |
|
|
|
(14.16) |
||
В к-представлении оно будет иметь вид суммы |
оператора диффе- |
|||||||||
ренцирования по к и оператора умножения: |
|
|
|
|
||||||
|
V (к) = — I (Fa VK) + i (Fa |
VK In φ*). |
|
|
(14.17) |
|||||
Так |
как второй член |
в |
|
|
|
|
dE |
то |
|
|
(14.17) коммутирует с - ^ - , |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Пёк |
|
|
|
ft (К) • = - W { ж ( - |
v«) - |
W a VK) |
= (l/й2) (Fe VJE) = |
Fa/m*. |
||||||
Величина |
|
|
|
|
|
|
|
(14.18) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Λ |
= |
αΡ3 |
= |
|
|
' |
(14.19) |
||
|
|
ш* |
|
|
|
|
|
v |
7 |
|
может |
рассматриваться |
как |
обобщенный |
тензор |
обратной |
эффек- |
||||
тивной массы, который при квадратичной зависимости энергии |
от |
|||||||||
квазиимпульса совпадает с введенным ранее тензором |
т * - 1 . |
|
|
|||||||
Учитывая (14.19), запишем |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
а (к) = |
Fa/m* (к). |
|
|
(14.20). |
Так как Fa не зависит от к, то при не зависящей от к эффективной массе а будет иметь один и тот же вид в любом представлении:
или |
|
|
|
a = Fa/m*; |
a = |
Fa/m*, |
|
(14.21) |
|||
|
|
|
m*a = Fa; |
m*a = Fa . |
|
(14.22) |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
Уравнение |
(14.21) |
или |
(14.22) |
по |
форме |
совпадает |
с |
уравнением |
|||
движения |
Ньютона. |
Однако |
уравнение (14.21) или ,(14.22) |
имеет ряд |
|||||||
особенностей, на которые необходимо обратить внимание. |
|
||||||||||
Во-первых, |
т * |
является |
в общем случае тензором второго ранга, |
||||||||
поэтому |
вектор ускорения |
не |
совпадает |
по |
направлению |
с |
вектором |
||||
силы. Уравнение |
(14.21) имеет вид, например, для ах: |
|
|
Если m*"1 имеет диагональный вид, то
aj = Fj/mj. |
(14.24) |
Уравнение (14.24) показывает, что ускорение будет коллинеарно силе только в том случае, когда сила направлена по одной из осей эллипсоида энергии.
68
Во-вторых, ускорение |
сообщается |
электрону только |
внешней |
си- |
|||||||||||
лой Fa, внутренние |
силы |
F/ никакого ускорения |
электрону не сообщают. |
||||||||||||
В-третьих, динамической |
характеристикой |
электрона, |
определяю- |
||||||||||||
щей его реакцию |
на |
действие |
внешних |
сил, |
является |
эффективная |
|||||||||
масса т*, |
а |
не обычна.β |
масса. |
Это означает, |
что |
несмотря |
на |
то, |
|||||||
что поле |
решетки |
не |
ускоряет |
электрон, |
оно |
оказывает |
воздействие |
||||||||
на изменение |
его |
движения |
под |
действием |
внешних |
полей. |
Другими |
||||||||
словами, |
при |
действии |
внешних |
сил |
пом |
решетки |
проявляет |
себя |
|||||||
тем, что |
динамические |
свойства |
электрона |
определяются |
не |
обычной |
|||||||||
его массой, а |
массой |
эффективной. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Для скалярной эффективной массы а и Fa |
коллинеарны. Но отли- |
||||||||||||||
чие электрона в |
решетке от свободной |
частицы заключается не толь- |
ко в отличие величины |
эффективной массы от массы свободной час- |
||
тицы. В том случае, когда частица находится в окрестности |
макси- |
||
мума энергии, |
эффективная масса отрицательна, и ускорение |
а нап- |
|
равлено против |
внешней |
силы Fа: |
|
|
а = Fa/m* = — Fa/j m* |
(14.25) |
Рассмотрим силу, вызываемую однородным электрическим полем
F« = £,JE,
где еп — заряд электрона (еп<0). В этом случае
а = |
т* |
= |
—\т* | |
Е = ^ г Е . |
|
|
|m*|. |
(14.26)
v(14.27)7
Ускорение, которое испытывает электрон в электрическом |
поле, |
||||||||||||||||
направлено по полю, т. е. так, как |
если |
бы |
электрон |
имел |
положи- |
||||||||||||
тельный |
заряд и положительную |
эффективную |
массу. Такой |
аномально |
|||||||||||||
ускоряемый |
электрон |
будем |
называть |
квантовомеханической |
дыркой. |
||||||||||||
Если |
же |
электрон |
находится |
в окрестности минимума |
энергии, |
||||||||||||
то т * > |
0, |
и ускорение направлено |
по |
силе, |
|
т. е. |
против |
поля Е, |
|||||||||
как и для обычного электрона:— |
|
? |
|
|
. |
|
' |
|
|
|
|
||||||
Выражение (14.22) можно получить из (13.19). |
|
Действительно, |
|||||||||||||||
дифференцируя (13.19) |
по времени, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
4V |
dt |
m* |
= |
m* |
dt |
= |
m* |
a |
= |
|
|
x |
( 1 4 . 2 8 ) |
||
|
|
dt |
|
|
|
|
|
' |
|||||||||
Выражение (14.28) совпадает по форме с (14.21), однако оно бо- |
|||||||||||||||||
лее общее, чем (14.21), где ¥ а предполагается независящей |
от коор- |
||||||||||||||||
динат, в то время как в (14.28) Fa |
может быть функцией координат. |
||||||||||||||||
Но с другой стороны |
т * " 1 |
в |
(14.21) |
является |
обобщенным тензором |
||||||||||||
обратной |
эффективной массы, |
а в |
(14.28) т * - 1 |
не зависит от к. Дру- |
|||||||||||||
гими словами, уравнение (13.19) и, |
следовательно, |
(14.28) |
справед- |
||||||||||||||
ливо до тех |
пор, пока |
состояние |
Р —Р0 |
находится |
в |
области |
квад- |
ратичной зависимости энергии от квазиимпульса; если же состояние перемещается в область, где энергия является более сложной функцией квазиимпульса, то в (14.28) необходимо добавить производную от т * 1 по времени.
69
В заключение этого параграфа запишем выражение для среднего (в квантовомеханическом смысле) значения импульса в стационарном
состоянии, описываемого функцией |
Блоха |
ψκ (г): |
|
|||
|
(ρ) = $ Ψ ! ( Γ ) Ρ Ψ Ε ( Γ ) Λ = /Η $ ι Κ £ * Μ τ = /η<ν>. |
(14.29) |
||||
Но, согласно (13.16) и (13.19), |
|
|
|
|
||
поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
( ρ ) = ^ (Ρ - Ро); |
Ρ - Ρο = |
^ |
(ρ>, |
(14.31) |
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
P i - P v ^ W . |
|
|
(14.32) |
|
Таким образом, |
понимая под (ρ) «классический» импульс элек- |
|||||
трона в |
решетке, можно выразить квазиимпульс через «классический» |
|||||
импульс |
и эффективную массу.' |
|
|
|
|
|
Сравним величину кинетической энергии свободной частицы, |
||||||
имеющей импульс <р), с полной энергией электрона в |
решетке,, |
|||||
имеющего тот же средний импульс, |
что и у свободной частицы: |
|||||
|
Т - ^ - Т - Т ^ Г · |
|
. « « Ί |
|||
Для |
скалярной |
эффективной массы m/ = m* |
и |
|
||
|
' |
Т = ^ [ Я ( Р ) - £ ( Р 0 ) ] . |
|
(14.34) |
||
|
|
Р е з ю м е § |
12— 14 |
|
|
|
1. Важнейшим понятием, используемым для описания движения электрона в твердом теле, является понятие эффективной массы т * . Она определяется как тензор, обратный тензору обратной эффективной массы т * - 1 . Тензор обратной эффективной массы т * 1 есть величина, равная второй производной от энергий по квазиимпульсу:
т |
* ι |
= |
1 (РЕ |
' |
/чл |
ι \ |
|
|
|
(1 4 |
·!Ρ) |
||
поэтому |
m* = |
{cPE/dP2}'1. |
|
(14.2р) |
||
|
|
|||||
Если m*_ 1 имеет диагональный вид: {т*~1 }ц = тг 1 6 и , то т * |
также |
|||||
диагонален, причем |
|
|
|
|
|
|
|
т у |
= rriibij. |
|
(14.Зр) |
70