Полупроводниковая электроника / Киреев.Физика полупроводников.1975

мер,

считать

за начало отсчета

энергию

нормального

состояния,

т. е.

=

то

=

ri2

=

(27.6)

Энергия Еэп свободной пары электрон—дырка может быть записана

в аналогичном (27.5) виде

/7Э _ _ __L.

т* е*

F? _ тпре

(ζ>77

Чтобы указать положение уровней экситона относительно начала

отсчета энергии для кристалла

в целом, необходимо учесть, что при

η = оо и ρ = оо Elo = EO-\-Ect

а не нулю,

поэтому

=

+

(27.8)

Е\

Ev = 0; Ес = АЕ0, то Еэп = АЕ—Основное

состояние

находится

в запрещенной зоне и имеет величину энергии E^ = AEQ — Е\, кото-

рую можно оценить следующим

образом:

£ ь э В = т„е*

=

13,5 / т*

λ

(27.9)

Если т * = т£ = т , то т%р =

,

и видим,

что уровни

экситона

а 1 ' л = - щ ; е = 0 > 5 2 8 Ш е ·

( 2 7 Л 0 )

Чем меньше эффективная масса носителей заряда

и больше

диэлек-

трическая проницаемость,

тем больше

радиус экситона и

меньше

энергия ионизации, поэтому

в веществах

с большим

ε

и малыми т*,

тР наблюдать экситоны трудно. Экситоны большого

радиуса

назы-

вают экситонами Мотта.

6 Киреев

161

движение экситона в целом, т. е. движение его центра

инерции

Это движение характеризуется кинетической энергией

ft21 кэ I2

(27.11)

2 (т* + /и·)·

с индуцированным

зарядом, что приводит к возникновению допол-

нительной потенциальной энергии

в виде потенциальной ямы, кото-

рая локализует электрон. При движении электрона

область

поляри-

зации перемещается вместе с ним. Система, состоящая

из элект-

рона и поляризованной им области,

носит

название

полярона.

Р е з ю м е

§ 26—27

1. Расчет зонной

структуры конкретных полупроводников пред-

ставляет собой сложную задачу.

Найти

зависимость Ε (к) удается

для германия

и кремния. На их основе ведется

расчет зонной струк-

туры соединений Α Ι Π Β ν

и Α π Β ν ι .

Основные

сведения

о

зонной

структуре получают из анализа экспериментальных данных.

2. Экстремумы

энергии

электронов

и дырок для германия и

кремния

находятся

в различных

точках

зоны Бриллюэна.

В

соеди-

нениях

Α Ι Π Β ν

они могут

быть

как

в

различных точках,

так и

Проводимость

вещества

определяется

концентрацией и подвиж-

ностью носителей заряда, поэтому, чтобы

понять

влияние внешних

условий

на

проводимость,

нужно выяснить зависимость концентра-

ции и подвижности от внешних условий,

и в первую очередь от

температуры.

Нас

будут

интересовать

свободные

носители заряда,

т. е. электроны в зоне проводимости и

дырки

в

валентной

зоне.

Чтобы подсчитать их число, необходимо

знать

число состояний и

вероятность нахождения носителей заряда в этих состояниях.

Пусть

вероятность

нахождения

электронов в единичном объеме

фазового

пространства,

построенного вокруг точки этого простран-

ства с координатой г,

к

в

момент

времени

равна / (г, к, t);

г и к

riPm-Pmri

=

ihdlm;

(/,

т = х, у, ζ).

(28.1)

В элементе

объема

dT

фазового

пространства

имеется

dT/h3

фазовых ячеек,

в которых

содержится

2dT/h3

состояний (множитель 2

означает,

что

в каждой

ячейке

может

быть

2 электрона

с противо-

положно направленными спинами). Число электронов

dn,

находящихся

в объеме

dT,

равно

произведению

числа

состояний

на

вероятность

нахождения

электронов

в этих

состояниях:

dn = dn(г,

к,

t)=f(r,

к,

t)2§.

(28.2)

Если выразить dT через объем обычного пространства dxr

и про-

странства

квазиимпульсов dxp = ft3dxK,

то

dT =

dxr

dx ρ =

dx

dy dz άκχ

dKydK2h3.

(28.3)

Интегрируя

по

объему кристалла

V и первой

зоны

Б р и л л ю э н а

VK, получим полное число электронов N, находящихся в н е к о т о р о й

энергетической

зоне

кристалла:

.

Ц

( (

/ (

г

,

к,

0 d r .

(28.4)

С М

164

S S /(г ' к'

ί ) ά Γ = = τΑν S [f(r > к> Orftrdt,.

(28.5)

(V М

(V Vk)

Число электронов dnt

в элементе

объема

drt

равно

dnr

= η (г, t) dxr = ί!τΓ ~

С / (г,

к,

/) dxp.

(28.6)

«

( Μ

Другими словами, концентрация

электронов

=

5

t) drK.

(28.7)

( Μ

Через VK мы обозначили объем первой зоны Бриллюэна незави-

симо от того,

в каком

пространстве —к или

Р —она построена.^

сит, и

интегрирование

по άτΤ дает объем

кристалла, в результате

чего η

(28.5) равно истинной концентрации

η (28.7):

S S

= i

J

/("> О Л ^ я й .

(28.8)

(v VK) .

( M

функция от энергии и температуры,

для

стационарных состояний

она не зависит и от времени. Так

как

энергия есть собственное

функция распределения /о = /о (£> Т), где /0 (£,

Т) — функция Ферми —

Дирака (или Максвелла —Больцмана).

В интервале энергии dE может

быть различное число

состояний

dS

(без

учета

спина),

отнесенное

к

единичному объему

кристалла,

в зависимости от величины энергии. Пусть

между dS и ^

сущест-

вует

равенство

dS = dS(E)

=

N(E)dE.

(28.9)

Ν (Ε)

равно

числу состояний

в

единичном

интервале

энергии для

единичного объема

кристалла,

Ν (Е)

называют

плотностью

состояний:

Ν (Е) =

dS/dE.

(28.10)

Если

вероятность

заполнения

состояний

с энергией

Ε равна

/о(£, 71), то число электронов dn

в

этих состояниях равно

dn = dn (Εу Г) = 2/о(£, T)dS

= 2f0(E,

Τ) Ν (Ε) dE.

(28.11)

Концентрация

электронов

будет определяться величиной

П==П(Т)

= 2

(Ε)$ / 0 ( £ ,

T)N(E)dE.

(28.12)

Интегрирование

необходимо провести

от дна

зоны проводимости

Ес

до

ее потолка. Учитывая

резкую зависимость

f0(E>

Τ) от энер.

гни, верхний предел можно положить

равным

бесконечности, т а к

что

п = 2 5

Τ) Ν (Ε)

dE.

(28.13)

Величина

Ν (Ε)

тесным образом

связана

с формой

изоэнергети*

ческих

поверхностей.

Действительно,

построим

в

зоне

Бриллюэна

две

изоэнергетические поверхности

Ε

и

E + dE.

Они выделяют

некоторый

слой пространства

квазиимпульса (рис. 45). Пусть объем

этого сл.оя 4τρ ,

ему

соответствует

объем фазо-

вого пространства

ά Γ = ν ά τ ρ ;

(28.14)

Ε — Ρ 4-

—

(28.17)

— Пс~г

2т*'

Две

изоэнергетические

поверхности Ε и E + dE

выделяют сфе-

рический

слой

толщиной άκ

и объемом άτκ(Ε,

E + dE)

(см. рис. 45):

άτκ = 4ηκ2άκ.

(28.18)

Выразим к

через Ε

К* = Щ1{Е-ЕС)·,

К =

(28.19)

Дифференцируя по к первое выражение в

(28.19),

получим

2 κ ά κ = %

dE.

(28.20)

άτκ

(£,

Ε + dE) = 4я/с2 άκ = 2πκ2κ άκ =

- 2 я ( 2 Я 1

/

2 -

W Щ - d E - T n ( Щ У 2 (Ε -Ес ) ·/«rffi.

(28.21)

Для dS

из

(28.15)

и (28.21) получим

(28.22,

или

N(E) = 2 n ( ^ - J / 2 ( E - E c ) U 2 .

(28.23)

зоны Бриллюэна, а в некоторых

точ-

ках к0, и число их равно Μ.

По-

E+dE

E+dE

строив

изоэнергетические

поверхности

Я, £ +

получим

Μ сфер (рис.

46).

f

r \

Уравнение одной из

них

имеет вид

х&Х/

Выражая | к — к01 , и d | к — к01

через

энергию,

получим

Ν(Ε) = Μ< 2π ( ^ - ) 3 / 2

(Ε -

£с)1/2 .

(28.26)

+

+

(28.27,

а , = [ 2 О Т ' ( 1 " £ с ) Г ·

(28.29)

ческими поверхностями

dti" = ^

(8m1m2m3)1/2 (Ε -

£с)!/2

(28.31)

Подставляя

άτϊ*

в выражение для

dS

и учитывая,

что миниму.

мов энергии может

быть М,

получим

Mdx(1)

Μ · 2π

(E-Ecy/*dE,

(28.32)

dS = -

^

= -]jr-(8m1m2m3yv

или

ЛГ ( Ε ) =

( S M ^ M ^ 2

( Я - £ С ) 1 / 2 .

( 2 8 . 3 3 )

Напомним, что,

например, для германия М = 4, а для кремния

М = 6.

Таким образом, плотность

состояний пропорциональна

(Е — Ес)1/2

и (т^тз) 1 / 2 ,

где

mi,

т 2 ,

т3 — компоненты

тензора

эффективной

массы (в главных осях). При малых

Ν (Е)

будет малой величи-

ной. Очевидно,

Ν (Е)

должно

быть малой для

интерметаллов.

Если положить

Ai2(m1m2m3) = m f ,

(28.34)

где т% — носит

название

эффективной

массы для

плотности

состоя-

ния, то в общем случае

N (Е) = 2п(2тЖ)3/2

(Е -Есу/\

(28.35)

что совершенно

аналогично

(28.23) для

случая

изотропной

массы

вытекают. (28.23),

(28.26)

как

частные случаи.

Необходимо только

помнить,

что зависимость

Ν (Е)

от энергии вида

Ν (Ε) ~

(Е — ЕС)Х1

справедлива до тех пор, пока энергия

является квадратичной функ-

цией квазиимпульса.,

другими

словами,

выражение

(28.35)

справедливо

только для состояний вблизи минимума энергии,

т. е. у дна зоны-

Найдем выражение для плотности состояний у потолка зоны

энергии,

где энергия также является

квадратичной функцией энер-

эна, а их число равно М, то Ε (к) (для

каждого максимума) моЖН°

представить в общем

виде:

* » - £ <

+

+

( 2 8 . 3 0

168

ч

' Ε (к) =

£ ( к

0 ) - У Г ( " * - * ° * ) 2 ' +

+

J '

(28.37)

w

v

2 I mlp

щр ^ щр

v

>

ИЛИ

Ш Шх-«ох)*

{Ку-Чу)*

fe-^)2]

N(E) =

/2т*А \з/2

{Ev-EyP,

(28.39)

2n[-1f)

где через mPd обозначена

эффективная масса дырок для

плотности

состояний:

mpd = (М2тр1тргтргу/\

(28.40)

. ^шах

2

\

N(E)dE

= 2Ng.

(28.41)

^min

На

рис.

47

представлен

ход функции Ν (Е) в

общем

виде. Для

запрещенных

зон

N (Е) = 0,

если не считать

локализованных

состо-

яний электрона.

Плотность состояния

для локализованных состояний

находится

Из следующих

простых

соображений. У каждого

примесного

атома

может

быть

по

одному

электрону,

поэтому

полное число

состояний

будет

равно

NA

и

соответственно. Если

предположить,

что при-

с н а я

зона

не

возникает

и примесные уровни

остаются

дискрет-

Л^д(£) = Л/д б(£-Яд ), '

(28.42)

Na (E) = N £ ( E - E & ) ,

(28.43)

где через ΝΛ(Ε), Να(Ε) обозначена плотность состояний

на донор,

E/min ftmaxftmin'ftшах ftmin max ftz

Efmax £

поверхности,

затем по энергии. Удобство этого метода

проявляется

в том случае,

когда под интегралом

стоят

величины,

зависящие от

энергии, которые принимают постоянное

значение на

изоэнергети-

ческой поверхности. Элемент объема

dxK можно выразить через эле-

мент площади

dSs и нормальный компонент волнового вектора άκη'-

dxK = άΞβ

άκη.

(28.44)

Но άκη выражается через

dE = (^ άκ) =

\νκΕ\άκη

(28.45)

άκη--

dE

dSF

dE

(28.46)

I V ? ' а Т н

\ V„£ I •

после чего для η получим

dSBdE

(28.47)

П= АНФTW