Полупроводниковая электроника / Киреев.Физика полупроводников.1975

n =

2\f(E,

T)dE

\

(28.48)

(Я)

( S £ )

Сравнивая (28.48)

с (28.12), имеем

для плотности

состояний

]

та"·

(2 8 ·4 9 )

(sE)

1

1

Для .сферических

изоэнергетических

поверхностей

получаем из

(28.49)

-

Для

квадратичного

закона дисперсия

(28.50) приводит к

(28.23)

и всем

последующим

соотношениям.

Однако для неквадратичного

закона дисперсии соотношение (28.49)

является более

подходящим.

Найдем на его основе выражение для плотности состояний с

исполь-

сти; то (26.37)

примет вид

после

вычитания

Eg:

£ ( к ) = — f

+ Г Щ - + У

—

+

(28.51)

Поскольку

Р ~ 6 ·

Ю-8 эВ -см,

при

малых

к

можно

отбросить

второй член и

записать

Г

Ей

Ί2

=

2PW

+

Е*

,

(28.52)

[£(K) +

- f J

—

или

=

+

(28.53)

Из (28.51)

в общем случае

для

| VK£| найдем

I VK£ I = Щ- =

+ А 9 ( 4 Р 2 / 3 ) к

_ ,

(28.54)

dK

т

] / 1

PW+EgV*

или в пренебрежении

членом %2к!т:

<

<

| VK£· | =

^

2 '

. -

{ 2 Ь - Ь Ь )

1 V k £ |1

(2Р2(2P^/3+fii/4)'/К2/

Подставив (28.55)

в (28.50),

получим

З

к у

- |р2 К 2 + А . ·

N ( E ) =

'

«

(28.56)

Е1/2{Е

+Е)1Р

N (£") = •

2Ра

\з/2

(28.57)

4л2

Введем эффективную массу на дне зоны проводимости

mj* соот-

ношением

4Р2

(28.58)

ЭТО позволяет записать (28.57) по

аналогии

с ранее

использо-

ванными

выражениями:

£ 1 / 2

( 1 + я 7 )

О+г^)·

(28·59)

/

1 /2т°* \з/2

/

ЕЛ 1/2

. £ \

При

Eg = 0

выражение

для Ν ( £ )

проще

получить

из

(28.57):

£2

(28.60)

" ^ 4πΡ2 ^3/2

*

При

Р ~ 6 -

10"8 эВ-см

имеем

Ν (Е)

[см*3] ~

5,4-1020

[£(эВ)]2.

ми—Дирака очень быстро умень-

шается с ростом энергии, поэтому

вклад в

концентрацию

электро-

нов

от

верхних

энергетических

состояний

будет крайне мал, и ис-

пользование (28.35) для

Ν (Е) при

всех значениях не приводит к за-

метной ошибке в п. В качестве

F

Ε

иллюстрации этого на рис. 48 при-

Рис. 48.

График произведения

Ν (Е)

веден

график

произведения

функ*

и /(£, Т) для металлов

и вырожден-

ций

f0(E,

Τ)

и

Ν (Ε)

в

виде

ных полупроводников

(28.35) для металла (Ес =

О ; F > ϋ ) ·

Итак, подставляя в (28.13) вь1*

ражение (28.35) для

Ν (Е)

и функцию

Ферми —Дирака для

равн0'

весных

состоянии

/0(£, Т)=

E__F1

(29.1)

е kT

+ 1

оо

П = 2

/о (Ε, Τ) Ν (Ε) dE = 2

V

e

'. (29.2)

J

Яс

+ 1

J

. kT

, ι

переменным. Для

этого

положим

Е

kTC

ά χ = ~ΊΤι

^ kT°

" <29·3)

в таком случае

2 [ - l l · - ) =N<>

(29.5)

Величина Nc носит название

эффективного числа состояний в зоне

проводимостиу α Φι/2 (ξ) называется

"

интегралом

Ферми

порядка

1/2.

·

>

В новых обозначениях

Т ^

®·

η имеет вид

(29

7

концентрацияП = = Ф

электронов2

Концентрация

электронов

является

функцией

температуры

и уровня Ферми

п = п(Т, F).

Интеграл

Ферми Φι/2 (ξ)

в общем

виде в элементарных функциях

не выражается,

но для

целого ряда

важных в практическом отношении случаев существуют приближен-

ные аналитические

выражения,

которые получим дальше.

Перейдем к нахождению выражения для концентрации свободных

Дырок в валентной зоне. Плотность состояний у потолка

валентной

зоны определяется соотношением (28.39).

Функция распределения

Дырок по состояниям имеет вид

f0p

(Ε,

Τ) = 1 -

/о (Ε,

Τ) -

p J B

,

(29.8)

dp = 2N (E)f0p(E, Τ).

(29.9)

Концентрация

дырок

в валентной

зоне равна

Е ь

f0p(E,

Τ) Ν (Ε)

dE.

р = 2

J

(29.10)

Нижний

предел,

равный

Ev mIn,

заменили на —оо, учитывая

резкую зависимость /0 от энергии. Подставляя выражение

(29.8)

для }0р

и (28.39)

для

Ν (Ε),

получим

Р —2 ^ 2

ρ

— Ε

·

(29.11)

-со

4

е kT

+1

В выражениях (29.9— 11) и дальнейших отсчет энергии для дырок

совпадает с направлением отсчета энергии для электронов.

Введем

обозначения:

Еу-Е _ Л, ил —

, Т ,

Ev-F

= η>

(29.12)

kT

M"v"~

kT

kT

используя

их, перепишем

(29.11)

/ 2m* /г7Л 3/2

χι/2

dx

2Νν

ρ = 4π

—

V'*

С

(29.13)

χ

где

2 nm* d kT \з/2

Ν.

=

2(·

(29.14)

·

Λ2

-

есть эффективное

число

состояний

в валентной зоне, а

~

x4*dx

(29.15)

Φ 1/2 <Ч>-$

е^-Ч+1

есть интеграл Ферми, совпадающий по форме с Φι/2 (ξ).

Согласно

(29.7) и

(29.13)

концентрации

электронов η и дырок ρ

зависят

от

температуры

Τ

и уровня

Ферми

F.

Для интеграла Ферми Ф1/2 существуют различные приближенные

выражения, справедливые в той или иной области изменения

аргу-

мента,

а именно:

при

— ο ο < ξ < -

1,

Φι/2&) =

^

•

o

^ W

π ρ Η - 1 < ξ < 5 ,

(29·'6>

2

ξ3/2

при

5 < ξ <

оо.

у

Первое

приближение,

справедливое

при

ξ<—1,

соответствует

ста-

тистике Больцмана.

Условием

применимости

классической

стати-

стики

является

неравенство

ξ <

—1 или F^Ec<.—19

откуда

F <

—

m. е. полупроводник

является

невырожденным

(подчи-

няется классической статистике), если уровень

Ферми лежит

ниже

зоны

проводимости

не

менее

чем

на

kT.

Если

уровень

Ферми

лежит

выше Ес

более

чем

на

5kT,

то

полупроводник

полностью вырожден-

ный.

Если Ес

— kT<F<Ec

+ 5kT,

то

свойства

полупроводника

всего с концентрацией· примеси.

Покажем, что приближенные выражения для Ф1/2 (ξ), записанные

выше, действительно имеют место.

Из выражения для Ф1/2® непосредственно видно, что при

ξ < — 1

экспонента при любых лг>0 будет больше единицы;

Но

e«-6 + i

(при ξ < - 1 ; * > 0 ) .

·

(29.17)

В таком

случае

оо

оо

' Φι/2 (Ό ^

=

\xl/2e~*dx.

(29 . 18)

о

о

Последний интеграл в (29.18) есть гамма-функция

Эйлера Г (3/2)

(он может быть сведен

также

к интегралу

Пуассона):

СО

Г (3/2)= J xi/*e-*dx =

(29.19)

и

о

-

(29.20)

t

в полном соответствии с (29.16).

Запишем выражение

для

концентрации

электронов в

невырожденном

пЩпроводнике:

2N

„

t

,т

- EcZF

=

/2nm*kT\V2

e

-

* =

Φι/2(ξ)~·Ν,et = Nce

^

f - j

^ ;

F<Ec-kT.

(29.21)

I 2nm*kT \з/2

=4

'82-1015bf)

/ mS

\3/

'5-1019

//и5\з/2 /

гз/2 =2

и) у

£

£—F

(29.22)

η = 4 , 8 2 · 1 0

/mS\3/2

(29.23)

1 5 Μ - ) ТУ2е

*г .

. Φι/2©

= 4ΐ3/2

= 4(-^^)3/2

(F>Fc + 5kT).

(29.24)

Концентрация

электронов

при

этом

будет' равна

2N

8л

/ 2т*

\з/2

" = 7 5 ф | / !

®

= Τ

\ΊΠ

<f-E·^·

<29·25>

Действительно,

оо

оо

оо

$ φ(β)/ο(£,

T)dE = x(E)f0(E,

Τ) I

-

=

=

—Χ(0)/ο(0, T) + %(F)^%(F)-%(0),

(29.26)

• где

X(E) = l<p(E)dE,

a f0(0,T)^\.

(29.27)

<p(E) = (E-Ee)W

и

χ (£) =

|

(£-£«)»/*,

поэтому

1/2

Κπ (*Г)3/2 J

Бс

е

+1

2 N c

Л ( Р - Е

VV2

(29.28)

Κπ (kTf/2

3

с)

·

^

Из выражения (29.28) действительно видно, что

Φι/2 (I) =

4 ( и ^ ) 3 / 2

= 4 ξ3/2.

(29.29)

Условие

независимости

η от температуры равносильно

условию,

ч т 0 """"

(E — F)·

Но

для

этого

необходимо,

чтобы

f0(Et Τ)

менялась в

области E ^ F

как можно быстрее, при этом

чем

уже.

область (E — F) изменения

f0(E,

Τ), тем ближе ее производная

к δ-

функции, δ-образный

характер —f0 (Ε,

Τ) лучше проявляется

при

низких температурах.

В переходной области от невырожденного к полностью вырож-

денному случаю концентрация

электронов η будет

зависеть от тем-

пературы:

n = Nc

(29.30)

0,25+ е

kT

V π „

^

^

ι

I2~eT1

при — ο ο < η < — 1,

Φι/2 (η) = {

ΠρΗ

- 1 < η < 5 ,

(29.31)

— η3/2

ПрИ 5 < η < ο ο .

В

невырожденном

полупроводнике

концентрация

дырок

опреде-

ляется статистикой

Больцмана,

условием

применимости

которой

является

неравенство

η —

< —1

или

F>Ev

+ kT,

'

(29.32)

w. е. в невырожденном

полупроводнике

уровень

Ферми

должен

лежать

выше потолка

валентной

зоны

по

крайней

мере

на

величину

kT.

Для полностью

вырожденного

полупроводника

η =

Е \ / > 5

или

F<Ev-5kT,

(29.33)

т- е.

уровень

Ферми

в

полностью

вырожденном

полупроводнике

дол-

жен

находиться

в

валентной

зоне , ниже

ее

потолка

на величину не

менее

5kT.

Если учесть замечания об изменении направления

отсчета

энер-

гии для

дырок

на

противоположное,

то

все

результаты для

дырок

F

Е"

.

Nv==2^

' 2nm*dkT \з/2

p = Nve

^

.

(29>34)

и полностью вырожденный

полупроводник

8π / 2т*j

\з/2

Ρ = Ύ \ 4 γ )

(29.35)

п = п(г, 0 =

J Аг> к. О.Лж,

(29.1р)

( М

р = р(г,

$ Ыг > к> ОЛк·

(29.2р)

(νκ)

2. Функция

распределения

Ферми —Дирака для

электронов

и дырок зависит

от энергии и температуры, поэтому для вычисле-

рирования

по объему зоны

Бриллюэна к

интегрированию

по энер-

гии в пределах зоны энергии. Для этого

вводится понятие

плотно-

сти состояний N (£), представляющее собой число состояний

в еди-

ничном интервале энергии на единичный объем кристалла.

Ν (Е)

определяется

условием

dS = N (Ε) dE = άτκ/8π3.

(29.3ρ)

Функция

Ν (Ε) определяется формой

изоэнергетических

поверх-

ностей.

3.

При

квадратичной

зависимости

энергии от квазиимпульса

для Ν (Е)

у минимума энергии Ес

имеем

N(E)

= 2[-Wij

(Ε — Εс) '/2

(29.4ρ)

и у максимума энергии

Εν

имеем

Ν(Ε)

= 2 ( - у *

)

(Ev

- Еуп.

(29.5р)

4.

Эффективная масса для

плотности состояний т% связана с тен-

зором эффективной массы т *

и числом

Μ эквивалентных экстрему-

мов энергии:

ml = (УИ^ШаШз)1/3.

(29.6р)

Если

экстремум энергии лежит

в центре зоны

Бриллюэна, так что

I f U l ,

·"

поверхности

энергии

сферические, то

т2 = т * . .

5. Концентрации электронов и дырок определяются

соответственно

следующими соотношениями:

" =

(29.7р)

2N

( 2 9 ·8 ρ )

ρ = ρ ΐ Φ ι / 2 ( η ) '

где через

Nc и Nv

обозначено

эффективное число

состояний для

зоны проводимости и валентной

зоны:

/ 2nmbkT\

/ mi

\з/2-

/т*\з/2 / г \з/2

(29.9р)

-

Nv = 2ly

p — j

=4,82·

1015 ( - ^ J

Τ3/2 —

проводнике определяются выражениями:

n = Nce

W ,

(29.11р)

£

р = Л^е

(29.12р)

Произведение

концентраций электронов

и дырок в невырожден-

ном полупроводнике от положения

уровня

Ферми не зависит:

АЕ0

пр =

NcNve

kT .

(29.1 Зр)

Полупроводник

называется

невырожденным, если уровень Ферми

Ес

не менее чем на

5kT,

то концентрация электронов

не зависит

0 т

температуры

8π

/2т*\з/2

"

= "3 [-WJ СF-EcF*2 .

(29.14р)

8л /2т* Л 3/2( E V - F ) W ,

(29.15р)

а концентрация электронов определяется выражением

(29. lip).

8. Для вырожденных полупроводников независимо от закона дис-

персии

'·•

$

( 2 9 Л 6 Р)

(VK)

где VF~объем зоны Бриллюэна, ограниченный поверхностью Ферми.

Для сферических

поверхностей энергии

=

n = ^ - 2 K h

(29.17р)

а радиус сферы Ферми

Кр=(3п2п)1/3.

(29.18р)

9. Для закона дисперсии Кейна при малых к из (28.53) и (29.18р)

следует:

η = i ( i ) 3 / 2

FW (Εε

+ F)W

(29.19p)

и

8π /2m®* \ з/2

/

^ \з/2

(29·2°Ρ)

« = з ( т )

^ ( n - ^ J ·

называется

уравнением

электронейтральности,

имеющее

простой

и наглядный

физический

смысл. Прежде всего,

предположим, что

в полупроводнике .имеются донорная и акцепторная примеси

с кон-

центрациями

;УД и Na. В

результате термической ионизации в полу-