Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Полупроводниковая электроника / Киреев.Физика полупроводников.1975

.pdf

Скачиваний:

1443

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

35.32 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 5911 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Считая обменную энергию изотропной: Α (ρ) = А(\ ρ |) = А и пренебрегая обменом электронами с более удаленными атомами, получим

£(υ = Εа + С + 2A (cos кха + cos куа + cos κζα) = Ε (к). (18.32)

Энергия зависит квазинепрерывно от волнового вектора к и

меняется	в интервале	от Ет[п до		ЕтйХ:
		Етщ = Еа	+	С-6\А\9		(18.33)
		Етах = Еа +		С+6\А\.		(18.33)
		Етах = Еа +		С+6\А\.
Таким	образом, в	результате		взаимодействия	атомов	уровень
энергии изолированного		атома	Еа	опускается на	величину С	и рас-


Рис.	23. Образование				Рис.	24.	Образование зон
зон энергии из энер-					энергии при сближении
гетических		уровней					атомов
при сближении атомов
щепляется в	полосу,		или зону,	шириной		\2\A\ {для		простой куби-
ческой решетки).		Энергетические		полосы		разделены		запрещенными
интервалами	энергии—		запрещенными		зонами.		Ширина энергетической
зоны зависит от величины обменной энергии							А. Но обменная энер-
гия зависит	от	области перекрытия			волновых функций— чем силь-

нее перекрываются волновые функции атомов, тем больше обменная

энергия. Отсюда следует,	что уровни	энергии внутренних электрон-
ных оболочек расщепляются	меньше,	чем наружных, поскольку элек-

троны внутренних оболочек локализованы в меньших по размеру областях пространства. На рис. 23 представлена схема образования

зон из	атомных		уровней.		с ростом энергии			ширина	зон	энергии
Из	рис.	23	видно,	что
Увеличивается,			а ширина		запрещенных	зон	уменьшается.			Уровень
Щскается		и расщепляется			тем сильнееу	чем		выше он	находится.
На	рис.	24	показана	схема образования			зон	энергии	из	некото-

рых энергетических уровней при сближении атомов, т. е. при изменении периода решетки. Через а0 обозначен период решетки реального кристалла.

101

Для тетрагональной или ромбической кристаллических систем расстояния между атомами в различных направлениях разные, по, этому и обменный интеграл может зависеть от направления. Обозна* чив координаты соседних атомов ρ в виде

( а ъ	0,	0);	(—аъ	0,
Р = (0,	а*	0);	(0,	- й ъ	(18.34)
(0,	0,	а3);	(0,	0,

и соответствующие этим

направлениям

обменные энергии

через Аь

Л2, А3> можем записать

Ε (к) = Εа

+ С + 2Ах

cos кхах

+ 2Л2 cos куа2 + 2А3

cos κζα3.

(18.35)

Найдем

экстремальные

точки,

полагая

dE (ικ)/άκ =

Легко

видеть,

что экстремумы энергии

находятся в точках % = 0

и Koi

±n/ah

т. е. в центре и вершинах зоны Бриллюэна.

Разлагая

Ε (к) в ряд

Тейлора

относительно точек Kq, получим

в общем виде

Ε (К) =

^extr + у

(К -

ко)2 + · ·

(18.36)

или

1=1

(18.37)

f = l

Е Ы

= Е0 +

С - 2 1 А ;

+ Ц ^ ( К 1 ± ? : ) 2

(18.38)

Для

эффективной массы ш*

имеем выражение

ш*- 1

2Л2а|

(18.39)

; \ 0

2A3aj

ti* /

где минус

соответствует

точке

к0 = 0,

плюс —точкам

(±η/αν

± я/я2;

± п/а3) = я (Ьъ й2, Ь3).

Знак эффективной массы определяется знаком обменной энергии.

При Αι^> 0

в центре зоны Бриллюэна

находится

максимум энер-

гии, минимум энергии находится в вершинах зоны Бриллюэна. Прй

Л/ <С] 0	максимум энергии будет		находиться в	вершинах,	а мини-
мум—в	центре зоны	Бриллюэна.
Энергия является		действительно	квадратичной	функцией	(к — Ко)

и периодична с периодом 2π&, что непосредственно видно из аналитической зависимости Е{к).

102

Компоненты тензора эффективной массы в максимуме и минимуме отличаются только знаком, по модулю они равны. Другими словами, форма изоэнергетических поверхностей в окрестности максимума и минимума для одной и той же зоны одинакова. Компоненты тензора эффективной массы обратно пропорциональны обменной энергии:

		Щ = ±	^ т ;	(18.40)
Так как обменная энергия определяет ширину зоны энергии, то
можно	сказать, что	эффективная	масса обратно	пропорциональна
ширине	энергетической	зоны. Это	означает, что	чем выше располо-

жена

зона

энергии,

тем

меньше

ней

эффек-

тивная масса

носителей

заряда.

Изоэнергетические поверхности в окрестно-

сти экстремумов

являются

эллипсоидами,

на-

пример, при

Л * < 0 ' ( к 0 =

Й2 / к2

к2

к2 ^

(18.41)

Максимумов

для

этого

случая будет восемь

в соответствии с числом

вершин

куба. Но

так

JC_ к

как

каждая

изоэнергетическая

поверхность,

' а

построенная

вокруг

вершины

куба,

принадле-

Рис.

25.

Связь. между

жит первой зоне

Бриллюэна

на

1/8, то на

пер-

энергией

и - волновым

вую

зону

приходится

только

один

полный

вектором при А > 0 и

эллипсоид энергии. Этот факт очень важен при

Л < 0

подсчете плотности

состояний

зоне энергии.

Для простой кубической решетки обменная энергия изотропна:

Л(р) = Л(\|р\|), поэтому эффективная масса является	скаляром
т* = ± НУ(2а2 А).	(18.42)

Изоэнергетические поверхности в окрестности экстремума являются сферами. На рис. 25 представлена графическая . зависимость £ (к). Поверхности энергии имеют вид, который изображен на рис. 17.

Рассмотрим вопрос о ширине запрещенной зоны. Определим ширину запрещенной зоны Af'o между п-й и (п+ 1)-й энергетическими зонами как минимальное по энергии расстояние между ними:

		A£'0 = £,(M-\|-i)min — Ε птах-							(18.43)
Подставляя	выражение		(18.37) и (18.38)			для	экстремумов		энер-
г и и в двух зонах, получим
Ea{n+l) +		С(Л+1) — 2	2 1	*/(«+1)	Ean	+	Cn +	2^\Ain\
		1=1						ί = 1
: [Eatnw	-	En] -h [ < V i -		Ся] - 2 2	(I Л/(л+1) I +1			Ain I).	(18.44)

103

Этот результат очень нагляден. Будем для простоты считать, Чт

C n +i^C n . В таком	случае ширина запрещенной зоны меньше рас°
стояния между уровнями Еа{п+1)		— Еап на сумму полуширин соседу
энергетических зон.	Так как	с ростом энергии расстояния «межд^

уровнями уменьшаются, а ширина зон энергии увеличивается,

ширина	запрещенных зон с ростом энергии уменьшается. Этот резудь>
тат является		основой для объяснения	зависимости ширины запре*
щенной	зоны	от порядкового номера	элементов одной и той ^

группы. Например, ширина запрещенной зоны, отделяющей валент,


ную зону		от ближайшей		свободной	зоны для алмаза, кремния, гер*
мания и (серого)			олова,	должна уменьшаться в том же порядке
что	соответствует		экспериментальным данным.
	Важное	значение для		объяснения многих явлений имеет знак
Αι	двух соседних		зон. Если Ацп+1)		и Ain имеют одинаковый знак,

то максимум и минимум энергии для этих зон находятся в различ-

ных точках зоны

Бриллюэна

(центре

и вершинах

зоны). Если же

1) и Ain

имеют разные

знаки, то

минимум

и максимум нахо-

дятся соответственно в одних и тех

же

точках

зоны

Бриллюэна

(см. рис.

25).

Каждой

энергетической

зоне соответствует

своя

зона

Бриллюэна, которые считаем как бы наложенными

одна

на

Другую.

Косинусоидальная зависимость энергии Ε от к для простой куби-

ческой

решетки

получена

результате

учета

обменной

энергии

Л (1,0,0)

только

для

ближайших атомов. Если

учесть

более уда-

ленные

атомы,

то

выражение для Ε (к)

усложняется, однако основ-

ные качественные

выводы

при этом сохраняются. Учтем обменную

энергию

Л(1,

1, 0)

атомами,

имеющими

координаты

а(

1, 1, 0);

(1, 0, 1)

и т. д.

Выражение

для

энергии будет при

этом

иметь вид

Ε (к) = Εа

+ С + 2А (1, 0, 0) (cos кха +

cos куа +

cos κζα)

+ 2 А

(1 >

\, 0) [cos (кх -\r ку) а c o s (кх — Ку) а +

cos (кх + κζ) а

+ cos (кх

— κζ) а + cos (ку + кг) а +

cos (ку

— κζ) а].

(18.45)

Если | А (110) |

| А (100)

то характер изоэнергетических поверх

ностей

изменится

незначительно. Если

же

| А (100) | ^

| А (110) |,

изменения как в положении экстремумов, так и форме изоэнергетических поверхностей будут существенными.

Рассмотрим зависимость энергии от квазиимпульса для объемноцентрированной решетки, учитывая взаимодействие только ближайших соседних атомов. Если длину ребра куба обозначить через а начало координат совместить с атомом, находящимся в центре

куба, то координаты		атомов,		лежащих		в	вершинах куба, равны
	(	1,	1,	• 1);	( - 1 ,		-	1	,	-	1 )
а	( -	1,	1,	1);	(	1,	-	ι	,		- 1 )	(18.46)
Р = 2"'	(	1,	- 1 ,	1);					ι.	-	О	(18.46)
Р = 2"'	(	1,	- 1 ,	1);					ι.	-	О
	. (	1,	1, - 1 ) ;		( - 1 , - ι .						1)

104

Подставляя (18.46)	в (18.30), получим
β (к) = Е0+ С + 2A [cos (кх + ку +		кж)±+	cos (— кх + ку +		кг)
-}- cos (кх	Ку-\- к2) -Ц- +cos{Kx		+ Ky — Kz)-^j =
™	Л	км	киа	κζα	(18.47)
= Еа	+ С + 8А cos-J- cos -γ			cos-γ.

Как видно из выражения (18.47) для Е(к), экстремальные значения энергии определяются условием, что косинусы равны 1 по модулю, и

		Ет'т =Еа -\-С — 8 \| А I,
		£тах = £ * + С + 8\|Л\|,		1	' ;
что дает "для ширины		зоны энергии	величину 16\|Л\|.
Если построить	в	пространстве	к куб с ребром Απ/а, то	в	нем
будет находиться	27	экстремальных точек — в~ центре куба		одна,

в центре граней шесть, в вершинах куба восемь и в середине ребер двенадцать. Однако выделенный объем превосходит объем первой зоны Бриллюэна, представляющий собой додекаэдр.

Найдем зависимость энергии от волно'вого вектора для гранецентрированной решетки. Совмещая начало координат с атомом, находящимся в вершине куба с ребром а, запишем координаты 12 ближайших соседних атомов:

	(		ι,			1,	0) (		1,	О,		1)	(0,			1,		1)
η а	( - 1 ,					1,0)		(	1 , 0 , - 1 )				(0, - 1 ,					1)	(18.49)
η а	(			1 , - 1 , 0 )				( - 1 , 0 ,				1)	(0,			1 , - 1 )			(18.49)
	(			1 , - 1 , 0 )				( - 1 , 0 ,				1)	(0,			1 , - 1 )
	( - 1 ,				- 1 , 0)			( - 1 , о,			- 1 )		(0,		-	1 ,	-	1 )
Считая, как и прежде, обменную энергию изотропной, можем
записать:
Ε (к) = Εа					+	С +	2A [cos. (кх +				ку)^-		+	cos (кх -			ку) у +
+ COS (кх +		К,) γ			+	cos (кх		-	Кг) γ +		COS (ку +			Кг)		+	cos (ку - Kz) y j =
с-	,	о	,	,. л Г			αΚχ		акУ	,·	ак*		cos	ακζ	,		акУ		ак*Л
— Εа	+ С + 4A					cos	-γ	cos -γ		- f cos		-γ	cos	-γ	+	cos		—γ	cos —γ I.
																			(18.50)
Предположим					для		определенности,					что А >				0.	В	таком случае
в Центре зоны				Бриллюэна					находится			максимум энергии							величиной
								J-max. —											(18.51)

105

Минимум энергии не может быть равен Еа + С — \2А> поскольку для этого попарные произведения косинусов должны быть равны — ι

что невозможно.	Записав условия	экстремума	для (18.51), найдем
	Е т т = Еа +	С - 4 А ,	(18.52)
т. е. ширина зоны энергии равна		161 А \|, а не	241 А \|.
В заключение	этого параграфа	остановимся. на одном моменте

связанном с вырождением атомных уровлей. s-уровень энергии атома является простым, все остальные уровни энергии вырожденные

фактор	вырождения	(без учета спина) равен	при этом g* =	(2/	1)]
где I — орбитальное квантовое число, поэтому			р-уровии имеют трех!
кратное	вырождение,	d-уровни — пятикратное	вырождение	и	т. д.

Благодаря взаимодействию орбитального и спинового магнитных

моментов электрона		уровни энергии	имеют так	называемую тонкую
структуру.
Но если уровни энергии атома вырождены, то волновая функция
электрона в кристалле должна строиться · с				учетом вырождения
атомных состояний:
		Г ()=Σί ( Κ η ) < ΜΡαα ( Г - П),		(18.53)
		η, α
где са	— неизвестный	коэффициент,	а принимает g различных		зна-
чений.	Подставляя	(18.53) в (18.19), можно вычислить энергию Е.
Отличие последнего		случая от рассмотренного ранее состоит в			том,

что теперь интегралы, вычисленные с помощью различных атомных волновых функций, будут различными. В результате этого вырож-

дение	может быть частично или полностью			снято, и для р-зоны
можно	полунить три различные	ветви	энергии	Ε {к).
	Р е з ю м е §		18
1. В теории квазисвязанного электрона в качестве нулевого при-
ближения для гамйльтониана		поля решетки принимается гамильто-

ниан электрона в изолированном атоме. Оператор возмущения представляет собой энергию взаимодействия атомов друг с другом и энергию электрона в поле всех остальных ядер. Волновая функция электрона в кристалле представляет собой линейную комбинацию атомных волновых функций, удовлетворяющую трансляционному условию.


2. «Возмущение»,			т. е. взаимодействие электрона данного атома
со всеми ядрами	и электронными оболочками,			приводит к тому, что
уровни энергии	Еа	электрона в атоме существенно видоизменяются:
они опускаются	вниз		и расщепляются в полосу, или зону энергии.
3. Уровень Еа		опускается тем сильнее, чем выше он расположен
в изолированном		атоме, поскольку с ростом		энергии Е а размерь*
электронного облака			увеличиваются.

106

4. Если атомы кристалла сближать неограниченно, то начиная с некоторых расстояний между электронными оболочками атомов

возникнут	силы	отталкивания, потенциальная энергия W (г) станет
положительной,		быстро возрастающей величиной, что приведет
к подъему	уровня энергии £ а ( С > 0 ) .

5. Ширина зоны энергии пропорциональна обменному интегралу, который возрастает с ростом Еа , поэтому чем выше расположена зона энергии, тем она шире (см. рис. 23).

6. Ширина запрещенной зоны тем меньше, чем выше расположены зоны энергии. Уменьшение ширины запрещенных зон с ростом энергии обусловлено уменьшением расстояний между соответствующими уровнями энергии и возрастанием ширины зоны энергии. При больших значениях энергии зоны энергии могут накладываться, перекрываться (см. рис. 23).

7. Эффективная масса электрона обратно пропорциональна обменному интегралу и тем самым ширине зоны энергии. Поскольку при прочих равных условиях увеличение ширины зоны энергии приводит к уменьшению ширины запрещенной зоны, можно ожидать, что в веществах с меньшей шириной запрещенной зоны эффективная масса электрона должна быть меньше.

8. Воздействия, приводящие к изменению расстояния между атомами (нагрев, сжатие или растяжение), меняют область перекрытия волновых функций, что приводит к изменению обменного интеграла,

благодаря	чему меняется	ширина	зоны энергии, эффективная	масса
и ширина	запрещенных	зон. Это	в свою очередь приводит к	изме-

нению физических свойств полупроводников, зависящих от ширины запрещенной зоны или эффективной массы.

9. Зонная структура спектра энергии вытекает как из теории квазисвободного, так и из теории квазисвязанного электрона. При этом выводы первой теории применимы с большей точностью в области больших энергий, а выводы второй теории оправдываются при малых энергиях.

§ 19. МЕТОД ЭФФЕКТИВНОЙ МАССЫ. ВЛИЯНИЕ ВНЕШНИХ ПОЛЕЙ НА СПЕКТР ЭНЕРГИИ КРИСТАЛЛА

Перейдем к рассмотрению решений уравнения Шредингера для случая, когда на кристалл наложено внешнее поле V (г):

	Ηψ = [ -	£	+ и (г) + V (г)] ψ (г) =	(г).	(19.1)
Чтобы	решить это	уравнение, необходимо знать поле U (г), кото-
Рое нам	неизвестно.	Однако существует удобный		и достаточно точ-

ный метод решения уравнения (19.1), который получил название метода эффективной массы. Чтобы понять его, рассмотрим вновь Решение уравнения Шредингера для идеального кристалла. Как известно, волновая функция электрона в идеальном кристалле пред-

107

ставляет собой функцию Блоха г(Зк (г), а энергия электрона в окрест* ности экстремума к0 является квадратичной функцией квазиимпульса или волнового вектора:

Йо^к (Г) =	[ -	I ;	+	υ (г)] ψκ (г) = Ε (κ) ψκ (г);
E	W	^ f	^	+ ^ i K - K o ) 2 ,	(19.2)
			A
Рассмотрим гамильтониан			H0:

представляющий собой гамильтониан свободной частицы, масса которой совпадает с эффективной массой электрона. Решим уравнение Шредингера

ΗοΨΟ = £ΟΨΟ.

(19.4)

. Подставляя вместо Н0 его выражение, можем записать

+	=	(19.5)
i= 1
Непосредственной подстановкой
ψο = A e i { a X + ^ z )		(19.6)

в это уравнение можно убедиться, что ψ0 является решением уравнения (19.4) и (19.5), причем

Сравнивая (19.7) с (19.2), приходим к выводу, что уравнение (19.4) имеет тот же спектр энергии, что и уравнение (19.2), если выбрать α, β, γ в виде

а = кх — к0х; $ = Ку-гКоу; у = к2 — κοζ,

(19.8)

а начало отсчета энергии совместить с точкой экстремума, т. е. положить Ε (к0) = 0. В общем случае гамильтониан

Н0 = - ^ 1 д	+ £(ко)	(19.9)
имеет тот же спектр энергии, что	и гамильтониан поля	решетки
в окрестности экстремума, а его собственные волновые		функции
имеют вид
гро (г) = —1=ге'(к~"к°· г)#		(19.Ю)

Таким образом, движение частицы в кристалле подобно движению свободной частицы. Различие между действительно свободной части-

108

ней и частицей в кристалле заложено б различиях масс: вместо

массы	свободной		частицы		необходимо		использовать			эффективную
массу	ш*.					полей V (г)
При наложении				внешних				уравнение		Шредингера
(19.1)	может быть		записано		в	виде
			[ -		+	V (Γ)]ψ (г) = £ψ (г).					(19.11)
Решив это		уравнение,, найдем волновую						функцию ψ (г)			и значе-
ние энергии Ε электрона в кристалле, находящемся во											внешнем
поле.	Решение	задач		на основе уравнения			(19.11)		получило		название

метода эффективной массы. Его преимуществом по сравнению с общим

уравнением (19.1)		является		то, что вместо		неизвестного	поля
решетки U (г)	мы	можем	воспользоваться		экспериментально		опреде-
ленной эффективной		массой	т *	частицы.	Недостатком его является
приближенный	характер,		поскольку оно		имеет	смысл лишь для

состояний в окрестности экстремумов.

Используя функции Ванье, можно показать более строго, что уравнение (19.1) не приводит к существенному изменению спектра энергии в плавно меняющихся внешних полях, а волновая функция действительно имеет вид (19.10).

Чтобы найти изменения, возникающие в спектре энергии идеального кристалла под действием внешнего поля, воспользуемся не

обычной теорией	возмущений,		а квантовым	уравнением движения.
Рассмотрим гамильтониан кристалла во внешнем					поле (19.1). Кван-
товое уравнение	движения	для	произвольной,	не	зависящей явно от
времени физической величины с			оператором L,	имеет вид
	^ - [ f t ,	L] = 1 ( L H - H L ) .			(19.12)
Применим это уравнение для гамильтониана идеального кристалла

^ =	Н0] = [V, Н0] == [V,					t ] = 4 ( - £ ) { A V - V A } -
		=	ih		+ 2(W, V)}.			(19.13)
		=	*{{AV)		+ 2(W, V)}.			(19.13)
			2т
Остановимся	на	полях, слабо				меняющихся		в пространстве;	для
них величиной AV можно пренебречь							по сравнению со вторым ела*
гаемым. Учитывая,		что (VV) = — Fa ,					а
			т	=	i	=	dt 9	(19.14)
			т		т		dt 9	4	'

запишем

(19.15)

109

Усредним это выражение по исходным состояниям с волновой функцией ΨΚ(Γ), Предполагая, что Fa не зависит от координаты, можем вынести Fa из-под знака интеграла:

	/<Шо\		d £	* / ч л	.. / ν	, __	di	(к)
							di
	=	$ Ψί (r) (Fe v) ψ« (Γ) dx =				(Fe <ν».		(19.16)
Уравнение	(19.16)		является классическим,				и	оно показывает,
что «полная» энергия		Е0	(к) меняется		со временем		в результате работы
внешней силы	Fa . Его		можно получить из уравнения движения
			dP/dt	= Fa = — V V\				(19.17)

Умножим (19.17) на скорость v — dr/dt:

(ν S ) г	- i	^ p	-	( ,	™	- - Г ГО -· ·-" »f
или	£ 0 (Ρ) +	V (г) =	#0 (Ρ,	г) =	const. ,	(19.19)

Через Η0 (Ρ,	г) мы обозначили сохраняющуюся					во времени функ-

цию Гамильтона электрона в кристалле, на который наложено внешнее потенциальное поле V(r).. Уравнению (19.19) как раз и соответствует уравнение (19.11), благодаря чему метод эффективной массы получает строгое квантовомеханическое обоснование.

Обратим

внимание,

что при движении

частицы

кристалле под

действием

внешнего

поля

его

полная

энергия Н0

сохраняется,

в то время как Е0 (Р)

и V (г)

меняются,

причем

противополож-

ных

направлениях.

Но

если V (г) может

меняться

любых преде-

лах,

то

Е0

(Р)

может

меняться

только

пределах

зоны

энергии:

от fmin

до Ε max. Но

отсюда вытекает, что

изменение V (г)

ограни-

чено

тем

же

интервалом;

действительно,

возьмем

дифференциалы

от левой

и правой

частей уравнения (19.19), получим

dEQ +

dV = 0,

или

6E0

6V = 0.

(19.20),

Полагая

8E0 = Emax—Emin,

получим

= .— §Е о — Ε mm

Ε щах ·

(19.21)

Из

(19.21)

также

вытекает,

что

в однородном

электрическом

поле

электрон

должен

совершать колебательное периодическое дви-

жение

вдоль поля

на

участке длиной

bV = -

(6rFa) =

- (£тах -

£min),

(19.22)

откуда

fif—

( 1 9 2 3 )

max

min

max

^min

110

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 5911 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Полупроводниковая электроника

#
13.04.20157.15 Mб76Shalimova K. V. Physics Of Semiconductors.pdf
#
13.04.2015753.66 Кб58Задачи по полупроводниковой электронике 1.doc
#
13.04.201535.32 Mб1443Киреев.Физика полупроводников.1975.pdf
#
13.04.2015719.87 Кб34Теория для решения задач.doc