Полупроводниковая электроника / Киреев.Физика полупроводников.1975

* - * 7 Ί η { £ ( ΐ + } / " 1 + £ £ ) } . ·

'

(33.28)

Учитывая, что ^ = 4с

- ν 0

при Г - > 0

,

получим:

для больших s при· 4rA/s2D

- <1

F = kT In f · 2 = kT In { f c

^ .

^

= £ д + kT

In

;

(33.29)

для малых s при ArA

1

F =

^ (33.30)

F

=

0 3 . 3 1 5

для больших I s I при

<<1

~

kT In

= Еш + kT In

, (33.32)

что находится

в полном

соответствии

с

(33.29)

для

s > 0 ;

для малых

| s |

при 4rA/s2 D ^>1

F = kT 1 η { ί ^ ] / " § }

=άΤ

In V~AD =

(33.33)

в цолном соответствии с (33.30).

-

Если рассматривать ход уровня Ферми как функцию 5 при

неизменной

температуре, то

выражения-(33.28) и (33.31)

полностью

описывают

его.

"

.

~ .

Для концентрации электронов и дырок из (33.29) и (33.32)

следует:

'

n =

(33.34)

• p - ' ^ S

T

,

.

(33.35)

Тангенс

угла наклона

графика

In л

/ш/с функции

обратной

темпе-

ратуры

определяется

величиной AEJk

и ΔEJk,

что в два раза

больше

Тангенса

угла

наклона

в случае,

когда

в полупроводнике

содержится

Примесь

только

одного вида.

ηρ = п}.

-

(33.1р)

2. Полупроводник, в котором

=

называется скомпенсиро-

3.

Если концентрации примеси несколько различны, то уровень

Ферми

совпадает

при Т = О с

уровнем той примеси, которая содер-

жится

в большом

количестве.

При повышении температуры проис-

полупроводник

ведет

себя как полупроводник с. одним типом при-

меси.

§ 34. ВЫРОЖДЕННЫЙ ПОЛУПРОВОДНИК

Мы

определила

в

§ 29 вырожденный

полупроводник,

в

котором

уровень

Ферми

лежит

внутри

зоны

энергии

на расстоянии

не

менее

5kT

от

ее границы. Концентрация

свободных

носителей

заряда

при

этом

не

зависит

от

температуры.

Покажем

теперь,

что

вырожде-

ние

наступает

в

результате

сильного

легирования

полупроводника.

Как

было показано выше,

с ростом температуры

уровень Ферми

Nc(Tm ах) = ^ г ·

(34.5)

Учитывая (29.22) для

получим следующее выражение для Tm2LX:

/

=

(34.6)

Выражение

(34.6) показывает, что температура

Гшах

возрастает

с ростом

концентрации

примеси

как

Найдем

ВеЛИЧИНу

г max·*

Fmах=

Ес+Ел

f

kTmax

•

]УД

Ес+Ел

,

3. ^

.

,

2

1

2

Ш

2Nc

(Гт а х )

~

2

Τ

Τ

т а х '

ИЛИ

.

,34.8,

В (34.8) и ниже k выражена

в

электронвольтах.

Концентрация

iVf,

npw

которой

F совпадает

с дном

зоны

проводимостиназыва-

ется

критической.

Она может

быть

найдена

из

условия

ИЛИ

(34.9)

(см-3) =

1022'5

( - ^ ) 3 / 2

[А£д

(эВ)]з/2.

(34.10)

Оценим

критическую

концентрацию

Щ

при

т% = т

и

Д£д =

= 0,03 эВ. Подставляя значения т% и Д£д в (34.10),

получим:

NдР=

= 1,6-1020 см-3. Если принять для

т%!т величину 0,3,

то Ν%ρ)

ста-

нет равной

2,5 · 1019 см^3.

Таким

образом,

критическая

концентрация

очень

чувствительна

к энергии

ионизации

примеси

и величине

эффективной

массы.

В соеди-

нениях

A l u B v

критическая

концентрация

может

иметь

значения

много меньше

1019

см-3. Действительно,

если

положить

m$/m =

Ю-3

и А£д = 0,0001

эВ,

то для

получим

значение

= 1012 см-3,

что наблюдается для антимонида индия.

Критическая концентрация

< к р )

позволяет оценить

концентрацию,

необходимую

для

начала

вырождения

полупроводника,

поскольку

при F = EC

полупроводник

перестает быть невырожденным, однако это еще

не есть "вырождение

в том

смысле,

что -концентрация

носителей

заряда

не

зависит

от температуры в каком-то

интервале. Для этого

необходима

боль-

шая концентрация

примеси.

В

принципе

можно

оценить положение

ния нейтральности, в

котором при Na = 0

можно отбросить ρ и ра;

получим η + ηΛ = Νд

при η = ρΛ = Ν%. Подставляя

выражения для

п и рд, запишем

=

.

(34.11)

2е k T

+ 1

Однако необходимо заметить, что соотношения

(34.12)

и (34.13)

имеют мало смысла, поскольку при столь больших

концентрациях,

которые необходимы для вырождения,

примесной уровень

превраща-

ется в зону, накладывающуюся на зону

проводимости.

При этом при-

зоны.

Благодаря

слиянию

зон вырождение

наблюдается

в

широком

' интервале

температур,

например, у некоторых интерметаллов от ком-

натных до температур жидкого водорода. Кроме

того, необходимо

отметить,

что в силу

образования

примесной

зоны

энергия

ионизации

примеси

с

ростом

ее

концентрации

уменьшается

и согласно

(34.10)

необходимая

для

вырождения

концентрация

в свою .очередь

уменьша-

ется.

носителей заряда:

F - Ес = (h2/2m*nd) (3/8π)2/3 /г2/3,

(34.14)

Ev -F=(hy2m*pd)(3/8n)W

pW.

(34.15)

донора, к его

экранированию. Экранировка

поля донора

приводит

к

уменьшению

энергии ионизации вплоть до нуля, поэтому говорить

о

размытии

уровней

примеси в этом случае

не имеет

смысла. Для

исследования

сильнолегированных

полупроводников

необходимо

использовать

такие, методы, как метод функции Грина.

Отметим в

заключение,

что в сильнолегированном

полупроводнике

плотность состояния

в зоне

сильно

искажается

примесью.

Это иска-

усение

сохраняется

и при

уменьшении

концентрации

примеси.

Оно

приводит

к тому,

что исчезает резкая

граница зоны

энергии,

про-

является

«хвост» у

плотности состояния, экспоненциально

затухаю·

ишй и

распространяющийся

вплоть

до

другой зоны.

Р е з ю м е

§ 3 4

т

т

Ес F Ε

Ε Εν

а)

б)

kTl = F-Ec;

kTl = EV — F.

'

(34.1 ρ)

г

Шг

2т*

где п== 0, 1, 2, ... — квантовое число, ω0 =

вВ

— циклотронная час-

поверхностях

в зоне

Бриллюэна,

поскольку

Ε не зависит

от кх и

ку. Однако необходимо

иметь

в

виду,

что

при

0 выражение

(35.1) должно

перейти

в

выражение

^

-

ПЧ1

ш*

%ч\

(35 2)

р

—

J

~

У_—ι

2т*

2т*

2т*

'

Другими

словами,

символически

Ш (к2 Л-к2\

•

'

Пт Нщ (η -f

1/2) =

(35.3)

\ X J

«К

; *

β~>ο

z m

В

случае,

когда

полупроводник

находится

в

магнитном

поле,

за динамические

величины,

определяющие

состояние /электрона,

~можно

взять κζ, /г,

ω0, sz.

.

Найдем

выражение для ПЛОТНОСТИ

состояний по энергии

NB (E).

В интервале энергии Ε,

E + dE

содержится

2dS

= 2NB(E)dE

(35.4)

равно

2Ng , где N — число

атомов

в кристалле, g — фактор вырож-

дения

зоны, 2 — множитель,

связанный со спиновым

вырождением:

•^шах

2 \

NB(E)dE

= 2Ng.

(35.5)

•^min

Из (35.1)

найдем связь

между

άκζ и

dE:

(35.7)

ά κ · = τ

{

Е П

щ { п +

1/2)]~1/2

d E '

(35.8)

Согласно

(35.6)

можно

записать

"

= ^

= i

{W

-

+

1 / 2

^

(35.9)

<* W

Чтобы

записать

теперь

выражение

для

плотности

состояний

по энергии, необходимо учесть следующее

соображение. При фикси-

рованном

интервале

энергии

Е,

E + dE

Е

существует несколько различных интерва-

лов άκζ, что очевидно из выражения (35.8)

ν

-

и рис. 57.

\\

V

Действительно, энергии Ε соответствует

ν парабол, величину ν можно

найти

из

соотношений

< v + l .

(35.10)

О

KzKz+dKz κζ

ЙСОП

Рис. 57. Связь между интер-

. Величина η может меняться

от нуля

валом энергии

dE и интер-

валом значений άκζ .

до ν, следовательно,

интервалу

энергии

Ε, Ε + dE соответствуют ν интервалов

άκζ,

поэтому для

нахожде-

ния dSKz

необходимо

просуммировать состояния

ν интервалов άκζ:

^

А Ы

^

У

2

^ [ Е - П щ { п + \ 1 2 ) ] - - А й Е .

(35.11)

I

п = о

J

Г

•

n=Q

n=0

Так

как

η

фиксировано,

то

при

+1/2)

плотность

ΝΒ^Ε) мала и ведет себя как

{/YE.

Поскольку величина Ν{β (Е) должна

быть вещественной, Νβ] (Е)

определено только для энергии E>fm0

(п+

1/2), при Ε ->• Ηω0 (п -f 1/2)

N{b (Е)-*оо.

На

рис. 58 сплошной и пунктирной линиями представ-

лена

графическая

зависимость

одной

из

величин

ΝΒ*(Ε),

соответствующая

п =

0.

Полная

плотность 'Ν^ (Ε)

предста-

вляет собой сумму ν одинаковых гипер-

бол, смещенных по оси энергии на

целое

число

Ηω0.

В

точках

Ε =

=

Нщ (п + 1/2)

плотность

состояний

1

ΝΒ (Ε)

обращается

в

бесконечность,

что

имеет

вполне

наглядный

смысл.

О five 3fia)c 5ft0)с

Ifuoc

Ε-Εη

При

образовании дискретных

уровней

из

непрерывного

спектра

плотность

Ζ

Ζ

Ζ

Ζ

состояний

должна иметь δ-образный

Рис

58.

Плотность

состояний

характер

с

конечным

числом

состоя-

в магнитном поле

ний. Но

особенность вида (35.13) для

Е0}

любого конечного

интервала

энергии

{Йео0(/г+ 1/2),

действительно содержит конечное число состояний:

βο

_

Eq

§

N{B {Ε) dE =

g(B)

/2m*

1/2

ξ

[E-Ha0(n+l/2)-V2dE=

Πωο(η-\-1/2)

4π

\

№

ΐΐω0 (η +1/2)

g(B)

)1/2[Ε0-Ηω0(η+

1/2)]!/*.

(35.14)

2π

Таким образом, в любом

конечном

интервале энергии

\Нщ(п +

+1/2);

Йсо0 (η +

1/2) +

£}

содержится,

конечное

число

состояний

2л

(35.15)

Бесконечно большая плотность состояний соответствует значению

κζ = 0;

без магнитного поля в точке

κζ

= 0 и кх = ку

= 0 ,Ν (Е) = 0.

(Будем считать для определенности, что

в точке к = 0 лежит экстре-

мум

энергии.)

Если нарисовать графически ΝΒ(Ε\,

то ход ΝΒ (Ε) в окрестности

η-ых

особых

точек

определяется

только

членом

Ν ^ (£),

вдали

больше

Ε у тем больше ν и тем больше будет ΝΒ (Ε) для значений

Ε

.внутри

интервала между

особыми точками. Это наглядно

представ-

лено на рис. 58,

который показывает,

что с ростом Ε величина ΝΒ (Ε)

слеца от

каждой

особой

точки находится

тем

выше, чем

больше

v.

Если

0, то

число ν для любого

конечного

значения

стремится

к бесконечности.

Однако

стремление

ν к

бесконечности происходит

таким образом, что lim νΗω0

= lim νΛω0 = Ε

для произвольного зна-

1

V—ЮЭ

β-νΟ

цеНИя энергии. При

β - ^ 0

ΝΒ (Ε)

Ν0 (Ε) = 2π

)3/2 £ΐ/» = Λ/" (£).

(35.16)

В таком случае можем найти

предельное значение

Ν0 (Ε), заме-

нив сумму по η

интегралом:

ν

ν

. ,

η=0·

О

г?

Λω0

ν

При малом поле

У

[Ε — Ηω0 (η+

1 / 2 ) ] - п е р е х о д и т в

χ

х ( £ - ^ ) 1 / 2 · '

П р и " β - о -

ω„->0

и

однако

•J—-»-оо. Учтем

теперь функцию g(B).

Если положим

О

g(B) = Gha о,

(35.18)

то расходимость суммы (35.17) будет устранена. Найдем G:

Ν Β { Ε ) = ^

[ ψ Ι

η I [Ε-ηωο{η+

1 / 2 ) ] - · / * ч

.

•

.

-

п—0

ОЬщ / 2т* \1/2

2

( р .

ηω0

\ι/2

-

(2т*

\з/2

(35.19)

Сравнивая предельные выражения ΝΒ (Ε) и Ν (Ε), можем записать:

а

(2m*

\ 1/2

/2т*\з/2

, , „Л1

) = 2 я Ь г - )

·

( 3 5 · 2 0 )

Из (35.20) и

(35.18)

следует

0 - ^

· .

'

(35.21)

=

=

2т*

2еВ

(35.22)

Nв (Ε) = ψ

[2я (

)3/2] J

[ £ -

М> (я + 1/2)]-

(35.23)

Выражение

(35.23)

представляет

собой

плотность

состояний при

наложении на

кристалл

магнитного

поля.

Выводя

его, мы не учиты-

вали

собственный

магнитный момент электронов

=

благо-

даря

которому электрон обладает дополнительной

энергией

-

( μ * Β )

= -

( Β - S ) = -

(SG>0 ) =

±

=

±

^ ,

( 3 5 . 2 4 )

где

=

=

( 3 5 . 2 5 )

каждое энергетическое

состояние.

Обозначая энергию

Ферми

Τ7 (β),

запишем

функцию Ферми —

Дирака:

/=·

E-F(B)

·

( 3 5 . 2 6 )

\

со

nn =

2\NB{E)f{E,

Τ) dE=

-

.

•

•

о •

.

·

оо

ν

г

Ε —F

(В)

Ί— 1

= ^ Ω 0 [ 2 Π ( ^ ) 3 /

2 ] 5

2

[E-nco0(n+V2)]-V>x[e

*

+

l j

dE.

0 η —О

( 3 5 . 2 7 )

Вычислим

это выражение для двух предельных случаев — вырож*

денного

и невырожденного

полупроводника.

В случае

вырожденного

полупроводника

функцию

распределения

заменяем

прямоугольной

ступенькой,

и

выражение для

пп

примет

вид

3/2

F (В)

ν

п„ = Йω„[2π(^)

]

у

2

[Ε-ηω0(η

+

1/2)]-^άΕ

=

О η = О

= йа>0 [2я(^)3 / 2 ]

2

Υ

[£-ЙШ0(П+1/2)]->/2 d E

=

/1 = 0 Λω<> (η +1/2)

=

2Пщ

[ 2 Π Щ '

2

]

2

[F (В)

-

Пщ

(η +

1 / 2 ) Р .

( 3 5 . 2 8 )

п = 0