Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Полупроводниковая электроника / Киреев.Физика полупроводников.1975

.pdf

Скачиваний:

1442

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

35.32 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 596 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Из (10.18) и (10.20) следует

Т ' ( п ) = Т(/п),

(10.21)

что справедливо для экспоненциальной функции. Запишем Т(п) в виде

Τ (η) = е1'ф(п\

(10.22)

Так как трансляция на вектор η есть совокупность независимых трансляций по трем осям, то для того, чтобы выполнялось условие (10.21) и (10.22), необходимо, чтобы φ(η) была линейной скалярной функцией:

φ (η) = (κη) = Κχη-ιβ! +

+ Ksn3a3·

(10.23)

Из условия нормировки, которая не зависит от выбора начала координат

1 = 5 ΐ ψ ( Γ + η)|·Λ = |е^») I2 JIψ(r) |2dx = |е**п>|2, (10.24)

следует, что φ (η) является вещественной функцией, т. е. вектор к должен быть вещественным. Так как размерность вектора к —обрат- ная длина, то он получил название волнового вектора. Ниже увидим, что это название оправдано не только его размерностью.

Итак,


		f	(η) φ (г) = φ (г +			η) = el'<Kn>i\|) (г) = Τ (η) ψ (г).				(10.24')
Но	собственные			функции		А	А		поэтому		для
						Τ (η)	и Η совпадают,
собственных			функций гамильтониана можно записать
				ψ (г +		п) = ег'<кп)г\|) (г).				(10.25)
Условие		(10.25)		называется		трансляционным		свойством		волновой
функции.		Можем сказать,			что собственные функции				оператора		Га-
мильтона		при движении			электрона		в периодическом		поле	удовлет-
воряют трансляционному условию (10.25).
Вектор		к	является характерным				для данной	волновой		функции,
поэтому	его		необходимо указывать				в виде индекса внизу:

Ψ ( Γ ) = Ψ Κ ( Г ) .

Но так как

Η Ψ Κ ( Γ ) = £ ψ Κ ( Γ ) ,

(10.26)

(10.27)

то можно утверждать, что энергия				Ε должна быть	функцией волно-
вого	вектора:	Ε = Е (к). Нахождение		этой зависимости представляет
собой	одну	из важнейших	задач	современной	физики твердого
тела.

Мы видим, что нахождение собственных функций оператора трансляции связано с решением уравнения Шредингера, поэтому их вид должен зависеть от функционального выражения потенциальной

энергии U (г). Однако общий характер волновой функции можно найти, не решая уравнение. Шредингера. Для этого необходимо

вспомнить,		что собственная				функция оператора V имеет вид
						я\|)(г) =	Ле'<кг>		(Ю.28)
и удовлетворяет			уравнению						k
					,	νψ(Γ) =	ίκψ(Γ).		(10.29);
Она	же является				собственной		функцией оператора V* и,		следов
вательно,		оператора		ev. Легко проверить непосредственной					подста-
новкой,	что функция				е1'(кг)	является		собственной функцией	опера-
тора трансляции:
		(ОО			ι		СО		i
		2	^	nwVmW<Kr> =			^	^f (η · ix)m ei(Kr> = е1'<кп>е1*<кг> =
		m=0		_	/		m=0
						= Τ (η) ei ( K r ) .			(10.30)

Однако эщ не единственно возможный вид собственной функции

оператора трансляции f (η). Если умножить е1"(кг> на произвольную'

периодическую

функцию ф(г + п) = ф(г),

то это произведение будет,

также

собственной

функцией

Т(п).

Выбор

функции

φ (г)

должен

определяться тем, что % должна являться также

решением и урав-1

нения

Шредингера.

Приходим к важному результату, что решение уравнения

Шредин-

гера

для

электрона

периодическом

поле

U (г +

n) = U (г)

должно!

иметь

вид

ψκ (г) = е'(кг> φ (г) =

ei(Kr) φκ (г),

(10.31)

где

φκ (г +

п) = фк (г) является

периодической

функцией

периодич-

ностью

потенциального

поля

U (г); е1'(кг)

представляет

собой

плоскую

волну,

идущую

в направлении

вектора

к. Выражение

(10.31) для ψκ (г)

носит

название

волны

Блоха,

поскольку наглядно волновую функ-

цию Ψ Κ ( Γ )

МОЖНО представить в виде плоской волны ei(Kr)

с перемен-

ной амплитудой фк (г), модулированной в такт решетке кристалла. Мы

указали

качестве

индекса у φ (г),

поскольку при разных к

функции

φ (г) могут

быть различными.

Р е з ю м е § 10

1.Оператор трансляции ί (η) смещает пространство на вектор трансляции п, в силу чего функции координат точек пространства меняются при действии на них f (η) согласно (10.6) f (π) коммутирует с Η периодического поля.

2.Собственные значения оператора трансляции равны

Т(п) = е«кп>,

(10.1)

где к — произвольный вещественный вектор, называемыйч волновым.

3. Решение уравнения Шредингера для электрона в периодическом поле имеет вид волны, или функции, Блоха:

ψκ (г) = е1(кг) φκ (г),	(10.2)
при этом
φ κ ( Γ + η ) = φΚ (Γ).
4. Энергия электрона является функцией волнового	вектора:
£ = £ ( к).	(10.3)

§ 11. КВДЗИИМПУЛЬС

Многие рассматриваемые в физике величины обладают важней-


шим свойством — для		них существуют законы сохранения,						т. е. при
определенных	условиях эти величины сохраняются. Действительно,
импульс ρ = mv сохраняется			при движении		частицы в		пространстве
с постоянной	потенциальной		энергией.	Момент		импульса		М = [гр]
сохраняется в	поле с центральной симметрией U (r) = U (г). Энергия
изолированной	системы сохраняется,			если	функция		Гамильтона
Я(р, г) не зависит		явно от	времени.	Эти	же	величины		являются

интегралами движения в квантовой механике и записываются в форме

операторов:	не зависящая			явно	от	времени величина		L	сохраняется,
если соответствующий			ей оператор L				коммутирует	с	оператором
Гамильтона,	так	как					,
		§	=	[H,Ll	= t 4 . [ L f t - H L ] .				(11.1)
Физической основой законов сохранения							являются определенные свой-
ства симметрии		пространства			и	времени.

Действительно, закон сохранения импульса отражает однородность пространства; изотропность пространства приводит к закону сохранения момента количества движения; однородность времени приводит к закону сохранения энергии; неразличимость левого и правого винтов •приводит к закону сохранения четности. Другими словами, наличие некоторой симметрии пространства и времени приводит к сохранению определенной физической величины. Если некоторое воздействие нарушает симметрию, то соответствующая данной симметрии величина начинает изменяться под влиянием этого же воздействия. Три из указанных выше закона легко получить, используя канонические


уравнения		Гамильтона.
Рассматривая			движение электрона				в периодическом потенциаль-
ном поле решетки кристалла,					можем	высказать следующее утверж-
дение:	трансляционной			симметрии		потенциального			поля	решетки
должна соответствовать некоторая физическая величина,										сохраняю-
щаяся	при	движении		частицы в этом			поле.	Назовем	эту	величину
квазиимпульсом.			Простейшим		основанием для			названия		«квазиим-

пульс» служит его размерность. Так как трансляционная симметрия отражает неизменность свойств пространства при его смещении на любое целое число периодов идентичности решетки, то квазиимпульс должен иметь ту же размерность, что и импульс, отражающий однородность, неизменность свойств пространства при произвольном смещении. В дальнейшем будет показано, что свойства квазиимпульса во м'ногом подобны свойствам импульса. Квазиимпульсу Ρ должен соответствовать оператор Р, коммутирующий с гамильтонианом решетки:

Р Н - Н Р = 0.

(11.2)

Таким образом, мы можем утверждать, что при движении электрона в поле решетки собственные функции операторов Η и Ρ должны совпадать, а между их собственными значениями должна быть некоторая функциональная связь:

£ = £ ( Р).	(11.3)
Другими словами, энергия электрона должна	быть функцией ква-
зиимпульса.

Совершенно очевидно, что из условия коммутации Ρ и Η следует, что оператор квазиимпульса не может иметь вид — iHV, т. е, вид обычного оператора импульса, поскольку определенней таким образом оператор квазиимпульса не коммутирует с гамильтонианом, что и приводит к несохранению обычного импульса при движении частицы в поле решетки:


	§ = 4 ( p H - H p )				= - ( V t / ) =		F,.		(11.4)
В то же время		очевидно,		что между ρ		и Ρ должна			быть опре-
деленная связь. Действительно, пусть Vi/->0,							т. е. потенциальная
энергия	поля решетки		стремится		к константе.		В	этом	предельном
случае	квазиимпульс		и импульс		должны	быть		тождественными.
Но это	означает,	во-первых,		что	оператор	квазиимпульса должен

содержать в себе величину, зависящую от вида потенциального поля

U\г),	которая стремится	к	нулю при	Vi/ —>-0. Это позволяет	напи-
сать	для Р:
	P	=	— i h V +	i h y ( г),	(11.5)

где γ ( г ) - * 0 при Vi/->0. Наличие γ (г) должно обеспечить коммутацию Ρ и Н.

Будем искать вид оператора Ρ из уравнения на собственные функции и собственные значения, учитывая, что ψκ является собственной функцией оператора квазиимпульса:

Ρψκ(Γ) = ΡψΚ (Γ).

( U . 6 )

	Чтобы	найти	отсюда	вид		А	необходимо представить
	Чтобы	найти	отсюда	вид	оператора Р,		необходимо представить
ψκ	в виде	волны	Блоха,	Ρ в	виде — ihV + ihy. Для нахождения γ
мы получим уравнение
	Ρψκ (г) = — Шкг\|?к (г) +				е1'(КГ> (—ttVq>K(г)) +			/Λγψ« (г)	=
		= /ΖΚΨΚ (Г) + ih		[ Γ -	V 1Η Φ Κ	( Γ ) ] Ψ Κ	(Г) =	Ρ ψ κ ( Г ) .	( 1 1 . 7 )
Из	(11.7)	можно	записать
					Р = Йк				(11.8)
				Υ =	(νΐπφκ	(г)).			(И.9)

Мы видим, что γ есть оператор умножения, он зависит от вида потенциального поля U (г) посредством зависимости через периодическую функцию φκ (г). При стремлении VU(г) к нулю срк (г) будет

. стремиться к постоянной и γ будет стремиться к нулю, что обеспечивает тождество квазиимпульса с обычным импульсом ρ в этом

предельном случае.
Таким образом, оператор квазиимпульса имеет	вид
Ρ (г) = — ih V + ih (V In φκ (г)).	(11.10)

Пусть теперь на периодическое поле U (г) наложено некоторое дополнительное поле V (г), не обладающее той же периодичностью. В этом случае

H = f + u + V = H 0 + V.

. (11.11)

Так как Ρ коммутирует с Н0 — гамильтонианом поля решетки, а (V In срк) коммутирует с V, поскольку они оба являются операторами умножения, то производная по времени от квазиимпульса будет равна внешней силе Fa :

- ( V V ) .

(11.12)

Действительно,

Р] = [VP] =

{(— /Й V) V — V (— ih V)} = — (VV) =

Fa.

(11.13)

Таким

образом,

квазиимпульс

меняется

под

действием

непериоди-

ческой части

потенциального

поля — [VI/ (г)].

Это

означает, что

при

любых

нарушениях

идеальности

поля

решетки

происходит

изменение

квазиимпульса

и,

следовательно,

на

любых

нарушениях

идеальной

структуры

решетки

должно

происходить

рассеяние

электронных

волн.

Такими

нарушениями периодичности

U (г) являются тепловые

колебания

и дефекты решетки. Рассеяние

на них является

физической

причиной

конечного

сопротивления

электрическому

току.

Если

на

идеальный кристалл наложить внешнее силовое поле V(r), то квазиимпульс меняется только под действием внешней силы Fa , в то время как импульс меняется в результате действия внешних Fa и внутренних F, = —Vi/(r) сил:

dp/dt = Ft + Fa.

(11.14)

Энергия электрона должна зависеть от волнового вектора к или квазиимпулься Ρ = Нк. Конкретный вид функциональной зависимости Ε (к) или Ε (Ρ) может быть найден только при решении уравнения Шредингера

			Αψκ (г) = £ (к) if>K(r).					(11.15)
Найдем уравнение, которому должна удовлетворять функция φκ.
Для	этого учтем, что
			νψκ (г) =	ίκφ, (г) + е' <кг> [VcpK (г)];				(11.16)
	Δψκ (г) = ίκ [/κψκ (г) +			е* <кг> (νΦκ (г))] + foe' <кг> [νφκ (г)]			+
				+ е'<->[Асрк(г)].				(11.17)
Следовательно,			подставляя (11.17)		в уравнение	(11.15)	и	сокра-
щая	на е1'<кг\ получим уравнение для				срк(г):
	- ^ [ - κ ^ Γ ) + 2 ί > · ν φ κ ( Γ ) ) + φ κ ( ι · ) ] +
или			+ [/(Γ)φκ = £ ( κ ) φ κ ( Γ ) ,					(11 . 18)
или
-	-gj. Δφκ	(г) +	-	(KV) + и	(г)] <рк (г) = Ε	(к) φ κ (г).		(11.19)
Уравнение		(11.19) показывает, что			фк(г) зависит от значения к,

поэтому мы и указываем к в виде индекса внизу. Так как энергия — вещественная функция, т. е.

£ * ( к ) = £ ( к ) ,

(11.20)

то уравнение Шредингера для комплексно-сопряженной волновой

функции Ψ Κ ( Γ ) МОЖНО записать				в	виде
			Η*ψκ (г) =		Ε (к) ψκ (г).		(11.21)
Учитывая,		что
			= _	* -		+ ί/(Γ)	(11.22)
и			φ:(Γ) = Θ-'<«·>φί(Γ),				(11.23)
			φ:(Γ) = Θ-'<«·>φί(Γ),				(11.23)
получим	для	(г)
- 2L	Δφκ (г) +		+ ^ (KV) +			U (г)] ф* (г) = Ε (к) ф* (г).	(11.24)

Запишем

теперь

уравнение (11.19) для функции с вектором

(—к):

φ _ κ (Г) +

[ - Ц - +

- f - ( K V ) +

U(г)]

ф _ к

(г) = £ ( -

к) φ _ κ (г).

(11.25)

Если

фк(г) = ф-к (г),

то

уравнения

(11.24)

(11.25)

для

них

совпадают,

что означает

выполнение условия

£ ( к) = £ ( - к ) ,

(11.26)

т. е. энергия

является четной

функцией

волнового

вектора.

В окрест-

ности точки

к = 0 энергия

зависит по крайдей

мере от к2..

Если

рассматривать

пространство кХУ

ку, к2,

то

уравнение

Ε (к) = const

(11.27)

определяет

некоторую

поверхность — поверхность

постоянной

энер-

гии, или

изоэнергетическую

поверхность.

Форма

изоэнергетических

поверхностей

определяет

многие свойства

полупроводников.

Р е з ю м е

§ 11

- 1. Трансляционной симметрии поля решетки должна соответствовать сохраняющаяся физическая величина, называемая квазиимпульсом.

2. Оператор квазиимпульса коммутирует с гамильтонианом поля решетки; его собственные функции есть функции Блоха Ψκ(Γ), собственные значения Ρ связаны с волновым вектором к:

		Р = йк,	(11 Лр)
а сам оператор Ρ имеет		вид
	P =	_ i f t V + /ft[Vln(pK(r)].	(11.2р)
3. Энергия является функцией квазиимпульса и волнового вектора
а уравнение	· .	Е = Е (Р); Е = Е (к),	(И.Зр)
а уравнение	· .
	Ε (Ρ) = const или Е(к) = const		(И.4р)

определяет в пространстве Ρ или к поверхность, называемую изоэнергетической.

4. Если на кристалл наложить поле V(r), не обладающее периодичностью решетки, то квазиимпульс меняется в соответствии с уравнением

dP/dt = — Vl/(r) = F„,	(11.5р)
в то время как импульс ρ меняется в результате действия	внешних
с и л Fa и сил поля решетки Ff = — V[/(r):
dp/d/ = Fa + F,..	(11.6р)


	§ 12. ЭФФЕКТИВНАЯ МАССА ЭЛЕКТРОНА
Пусть точка к0		(или		Р0) является точкой экстремума
				Е(к0)=Е0		= Еехи.					(12.1)
Помимо точки		к0	должны быть и другие экстремальные								точки,
например	симметричная			ей точка — к0. Поскольку четность							энергии
должна проявляться			не только		относительно			к,	но и его проекций:
	Ε (кХУ		fCy, кζ) = Ε		(	кх, куу	κζ)	=	...9		(12.2)
то можно	утверждать, что число					экстремальных			точек	должно опре-
деляться	элементами		симметрии			поля решетки,			т. е.	потенциальной
энергии.	К этому	можно		прийти,		примеряя	преобразование				симмет-

рии к гамильтониану. В кубической решетке, имеющей 24 элемента симметрии, экстремальных эквивалентных точек может быть в общем случае 24.

Разложим Ε (к) в ряд Тейлора относительно одной из экстре-

мальных точек к0:

(12.3)

Ко

Дифференцирование

по

векторному

аргументу — d/άκ — означает

совокупность

трех

величин,

получающихся

при дифференцировании

соответственно по кх, ку, кгу

поэтому записанная кратко в

произве-

дении производная

представляет

собой

сложное

выражение,

называе-

мое (ковариантным)

тензором

1-ранга.

При I = 0 получаем скаляр,

при / =

1 имеем тензор первого ранга,

представляющий собой

вектор;

при / = 2,

и т. д. имеем тензор

2-го, 3-го и т. д. ранга. Выпишем

только два

первых члена

— 1=1;

1 = 2:

дЕ

л .

дЕ \ .

(12.4)

άκ

\ дкхГ'

дку>

дк2)>

d*E

/ d

дЕ

άκ*

\ άκ

дкх

άκ

дку 1' άκ

дкг )-

д*Е .

д*Е

д*Ε

дк%>

дкудкх '

дкг

дкх

д*Е

(12.5)

дкхдку

дк1;

дкг

дку

д*Е

дкх дкг

дкидк9 >

дк\

У *

т. е. ά2Ε/(άκ)2

представляет

собой величину

из девяти частных про-

изводных энергии по волновому вектору второго порядка. Величины d*El\dKidKj) называют компонентами, или элементами, тензора. Величи-

на смешанной производной не зависит от порядка	дифференцирования
д2E/{dKi dKj) = d2E/(dKj дк{);	(12.6)

такой

тензор

называют

с и м м е т р и ч н ы м ,

члены

вида

д2Е1{дк1)

называют

д и а г о н а л ь н ы м и .

Производная

/-порядка

образует

тензор

/-ранга с числом элементов 3*.

Рассмотрим

малую

окрестность

точки

к0.

этом случае можно

ограничиться первыми членами ряда. Так как разложение в ряд

Тейлора

производилось

относительно

экстремальной

точки,

то

иК

[Ко= 0

(условие

экстремума),

поэтому

ряд

начинается

квадра-

тичных

членов:

дfr2Е

ZidKi - щ

Код (Kj -

Koj) + . . . .

(12.7)

f. /

Мы

видим,

что изоэнергетическая

поверхность

вблизи

экстремума

изображается

достаточной

степенью

точности

поверхностью

вто-

рого

порядка.

Это

будет

тем

точнее,

чем

ближе

величина

энергии

к экстремальной

величине

Е0.

Условием

этого

является

малость

отброшенных членов по сравнению

с первым,

например,

(к -

Ко)3

- g - (к -

Ко)2.

(12.8)'

Тензор второго ранга подходящим выбором осей

координат

можно

привести

диагональному

виду,

т. е. недиагональные

эле-

менты тензора обращаются в этих

осях в

нули.

Предположим, что

мы нашли

такие

оси,

что

d2E/(dKidK^=0

(при

ι φ ] ) .

(12.9)

В этом случае уравнение изоэнергетической поверхности имеет вид

•

Я(к) =

£ ( к 0 ) +

~ * о 0 2

const =

(12.10)

или

= ι

·'

И г2

0 V -

= c o n s t '·

02.11)

Так как разложение проводится относительно экстремальной

точки, то

знак

всех

трех

производных

один

тот

же —плюс

в минимуме, и минус в максимуме, поэтому изоэнергетическая

поверх-

ность

представляет

собой

эллипсоид.

Рассмотрим

вид

изоэнергетических

поверхностей

в пространстве

Квазиимпульсов. Очевидно,

что

^ ( Р ) = Я ( Р 0 ) + ^ ( Р - Р о ) 2 +

(

) 3

. . . ,

(12.12)

так как Р0 = йк0 есть точка экстремума. Ограничиваясь достаточно малой окрестностью точки Р0, можем записать

£ ( P ) = £ 0 + i 4 j i ( p - p o ) 2

+ . . . .

(12.13)

Введем

новое обозначение для

d2E/(dP2);

положим

( P E l d F ^ m * - 1 .

(12.14)

Очевидно,

что составляющими тензора ш* - 1

являются

m*~l

— d2E/dPi dPj.

(12.15)

Так как размерность квазиимпульса совпадает с размерностью

импульса, то размерность компонентов тензора

т * - 1

есть

размер-

ность

обратной

массы;

другими

словами,

размерность

[mfj] =

= [d2E/(dPi

dPj)]'1

= [Μ] — есть размерность

массы.

Величина

m*-1

= d?E/dP2

называется

тензором

обратной

эффек-

тивной

массы.

Выражение

для

энергии

использованием

тензора

обратной эффективной

массы

может быть

записано

в виде

(12.16)

что

по

форме

подобно

выражению

для кинетической

энергии

свобод-

ной

частицы с

импульсом

р — р0.

эффективная

Обратим внимание на знак эффективной массы:

масса

положительна

минимуме

отрицательна

максимуме энер-

гии.

Выпишем

выражение для ш*- 1

в общем

виде:

•

д*Е

д*Ε

(тх1 тХу

mxk\

дР1

дРX дРу

ЭРх дРг

д*Е

Чух туу

(12.17)

дРу дРх

дР1

дРудРг

\mzx mzy Шгг/

д*Е

д*Ε

д*Е

_дРгдРх

ЬР\

Если

тензор приведен

к диагональному виду, то

/тй

/т?

Шуу

п?

(12.18)

т'Л)

mi1;

где

через mj1

обозначено

rritl =

d*EI(dP\)

mtt.

(12.19)

Введем

тензор,

обратный

к тензору обратной эффективной массы

{ т * 1 } 1

т * .

(12.20)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 596 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Полупроводниковая электроника

#
13.04.20157.15 Mб76Shalimova K. V. Physics Of Semiconductors.pdf
#
13.04.2015753.66 Кб58Задачи по полупроводниковой электронике 1.doc
#
13.04.201535.32 Mб1442Киреев.Физика полупроводников.1975.pdf
#
13.04.2015719.87 Кб34Теория для решения задач.doc