MI_T2TerekhovSV

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

III. Аналитическая геометрия на плоскости

Вариант 16

1. Даны вершины некоторого треугольника A(3; 2) , B(−1; −1) и C(−1; 3). Требуется найти:

а) уравнение и длину высоты, проведенной из вершины C ; б) уравнение медианы, проведенной из вершины B ;

в) координаты точки пересечения высот треугольника; г) координаты точки пересечения медиан;

д) уравнение прямой, проходящей через вершину A параллельно стороне BC ;

е) уравнение прямой, проходящей через вершину B под углом π / 4 к стороне BC ;

ж) координаты т. P , симметричной к т. C относительно прямой линии AB .

2. Найти уравнение окружности, центр которой совпадает с точкой M (1; −1) , прямая линия l : x +6y −3 = 0 является касательной к окружности.

3. Cоставить уравнение окружности, касающейся двух параллельных прямых l1 : x + 6 y + 2 = 0 и l2 : 6 y + x = 0 , причем одной из них в точке

A( 6; −1) .

4. Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в фокусах эллипса l2 : 8x2 + y2 =16, а третья – в центре окружности

l 1 : x2 + 6x + y2 −8y = 0 .

5.Cоставить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса x2 + 2 y 2 = 4 .

6.Cоставить уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ox слева от начала координат, а параметр p равен расстоянию от фо-

куса гиперболы 6x2 −3y2 =18 до её асимптоты.

7. Cоставить уравнение параболы, фокус которой совпадает с одним из фокусов эллипса 8x2 +4y2 =16. Написать уравнение директрисы.

70

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

III. Аналитическая геометрия на плоскости

Вариант 17

1. Даны вершины некоторого треугольника A(1; 1) , B (− 2; 3 ) и C (0; 2 ). Требуется найти:

а) уравнение и длину высоты, проведенной из вершины C ; б) уравнение медианы, проведенной из вершины B ;

в) координаты точки пересечения высот треугольника; г) координаты точки пересечения медиан;

д) уравнение прямой, проходящей через вершину A параллельно стороне BC ;

е) уравнение прямой, проходящей через вершину B под углом π / 4 к стороне BC ;

ж) координаты т. P , симметричной к т. C относительно прямой линии AB .

2. Найти уравнение окружности, центр которой совпадает с точкой M ( − 2; 3 ) , прямая линия l : 6x − y + 2 = 0 является касательной к окружности.

3. Cоставить уравнение окружности, касающейся двух параллель-

ных прямых l1 : x − y −3 = 0 и l2 : x − y −5 = 0 , причем одной из них в точ-

ке A( 4; 1) .

4. Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в фокусах эллипса l2 :4x2 +8y2 =64, а третья – в центре окружности

l1 : x2 − 2x + y2 + 6y = 0 .

5.Cоставить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса 8x2 + 3y2 = 24 .

6.Cоставить уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ox слева от начала координат, а параметр p равен расстоянию от фо-

куса гиперболы 6x2 − 4y2 =12 до её асимптоты.

7. Cоставить уравнение параболы, фокус которой совпадает с одним из фокусов эллипса 4x2 + 2y2 = 8. Написать уравнение директрисы.

71

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

III. Аналитическая геометрия на плоскости

Вариант 18

1. Даны вершины некоторого треугольника A(3; −3), B(−2;1) и C (2; 0 ). Требуется найти:

а) уравнение и длину высоты, проведенной из вершины C ; б) уравнение медианы, проведенной из вершины B ;

в) координаты точки пересечения высот треугольника; г) координаты точки пересечения медиан;

д) уравнение прямой, проходящей через вершину A параллельно стороне BC ;

е) уравнение прямой, проходящей через вершину B под углом π / 4 к стороне BC ;

ж) координаты т. P , симметричной к т. C относительно прямой линии AB .

2. Найти уравнение окружности, центр которой совпадает с точкой M ( 3; − 3 ) , прямая линия l : x −2y + 4 = 0 является касательной к окружности.

3. Cоставить уравнение окружности, касающейся двух параллель-

ных прямых l1 : x − 2 y −1 = 0 и l2 : x − 2 y + 9 = 0 , причем одной из них в точке A(3; 1) .

4. Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в фокусах эллипса l2 :4x2 +6y2 =24, а третья – в центре окружности

l1 : x2 + 4x + y2 + 4y = 0 .

5.Cоставить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса 3x2 + 4y2 =12 .

6.Cоставить уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ox слева от начала координат, а параметр p равен расстоянию от фо-

куса гиперболы 6x2 −5y2 = 60 до её асимптоты.

7. Cоставить уравнение параболы, фокус которой совпадает с одним из фокусов эллипса x2 + 4y2 =16 . Написать уравнение директрисы.

72

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

III. Аналитическая геометрия на плоскости

Вариант 19

1. Даны вершины некоторого треугольника A(2; −1), B (3; 2 ) и C (−1; 0 ). Требуется найти:

а) уравнение и длину высоты, проведенной из вершины C ; б) уравнение медианы, проведенной из вершины B ;

в) координаты точки пересечения высот треугольника; г) координаты точки пересечения медиан;

д) уравнение прямой, проходящей через вершину A параллельно стороне BC ;

е) уравнение прямой, проходящей через вершину B под углом π / 4 к стороне BC ;

ж) координаты т. P , симметричной к т. C относительно прямой линии AB .

2. Найти уравнение окружности, центр которой совпадает с точкой M ( 3; 2 ) , прямая линия l : 2x −5y +1 = 0 является касательной к окружности.

3. Cоставить уравнение окружности, касающейся двух параллель-

ных прямых l1 : 2x −5y −1 = 0 и l2 : 2x −5y − 2 = 0 , причем одной из них в точке A(1; 0) .

4. Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в фокусах эллипса l2 : 9x2 +2y2 =18, а третья – в центре окружности

l1 : x2 +2x + y2 −2y = 0 .

5.Cоставить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса 2x2 +9y2 =18 .

6.Cоставить уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ox слева от начала координат, а параметр p равен расстоянию от фо-

куса гиперболы 3x2 −7 y2 = 21 до её асимптоты.

7. Cоставить уравнение параболы, фокус которой совпадает с одним из фокусов эллипса 9x2 +4y2 =36. Написать уравнение директрисы.

73

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

III. Аналитическая геометрия на плоскости

Вариант 20

1. Даны вершины некоторого треугольника A(−1; 4), B(0; −1) и C (2; 1 ). Требуется найти:

а) уравнение и длину высоты, проведенной из вершины C ; б) уравнение медианы, проведенной из вершины B ;

в) координаты точки пересечения высот треугольника; г) координаты точки пересечения медиан;

д) уравнение прямой, проходящей через вершину A параллельно стороне BC ;

е) уравнение прямой, проходящей через вершину B под углом π / 4 к стороне BC ;

ж) координаты т. P , симметричной к т. C относительно прямой линии AB .

2. Найти уравнение окружности, центр которой совпадает с точкой M ( −1; 4 ) , прямая линия l : 5x −2y +3 = 0 является касательной к окружности.

3. Cоставить уравнение окружности, касающейся двух параллель-

ных прямых l1 : 5x − 2 y + 2 = 0 и l2 : 5x − 2 y −3 = 0 , причем одной из них в точке A( 0; 1) .

4. Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в фокусах эллипса l2 :6x2 +5y2 =30, а третья – в центре окружности

l1 : x2 + 4x + y2 −6y = 0 .

5.Cоставить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса 5x2 + 6y2 =30 .

6.Cоставить уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ox слева от начала координат, а параметр p равен расстоянию от фо-

куса гиперболы 4x2 −5y2 = 20 до её асимптоты.

7. Cоставить уравнение параболы, фокус которой совпадает с одним из фокусов эллипса 8x2 +4y2 =32. Написать уравнение директрисы.

74

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

III. Аналитическая геометрия на плоскости

Вариант 21

1. Даны вершины некоторого треугольника A(−2; −3) , B(3; 0) и C (1; 2 ). Требуется найти:

а) уравнение и длину высоты, проведенной из вершины C ; б) уравнение медианы, проведенной из вершины B ;

в) координаты точки пересечения высот треугольника; г) координаты точки пересечения медиан;

д) уравнение прямой, проходящей через вершину A параллельно стороне BC ;

е) уравнение прямой, проходящей через вершину B под углом π / 4 к стороне BC ;

ж) координаты т. P , симметричной к т. C относительно прямой линии AB .

2. Найти уравнение окружности, центр которой совпадает с точкой M ( − 2; −3) , прямая линия l : 2x + 4y −1 = 0 является касательной к окружности.

3. Cоставить уравнение окружности, касающейся двух параллель-

ных прямых l1 : 2x − 4 y + 7 = 0 и l2 : x − 2 y + 4 = 0 , причем одной из них в точке A( 2; 3) .

4. Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в фокусах эллипса l2 :6x2 +7y2 =42, а третья – в центре окружности

l1 : x2 +10x + y2 −8y = 0.

5.Cоставить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса 6x2 + 3y2 =36 .

6.Cоставить уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ox слева от начала координат, а параметр p равен расстоянию от фо-

куса гиперболы 9x2 − 6 y 2 = 54 до её асимптоты.

7. Cоставить уравнение параболы, фокус которой совпадает с одним из фокусов эллипса 4x2 +5y2 =40. Написать уравнение директрисы.

75

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

III. Аналитическая геометрия на плоскости

Вариант 22

1. Даны вершины некоторого треугольника A(1; −1), B(−2; 3) и C (0; 4 ). Требуется найти:

а) уравнение и длину высоты, проведенной из вершины C ; б) уравнение медианы, проведенной из вершины B ;

в) координаты точки пересечения высот треугольника; г) координаты точки пересечения медиан;

д) уравнение прямой, проходящей через вершину A параллельно стороне BC ;

е) уравнение прямой, проходящей через вершину B под углом π / 4 к стороне BC ;

ж) координаты т. P , симметричной к т. C относительно прямой линии AB .

2. Найти уравнение окружности, центр которой совпадает с точкой M ( − 2; 3 ) , прямая линия l : x + 4y −1 = 0 является касательной к окружности.

3. Cоставить уравнение окружности, касающейся двух параллель-

ных прямых l1 : x − 4 y +1 = 0 и l2 : x − 4 y + 2 = 0 , причем одной из них в точке A( 2; 1) .

4. Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в фокусах эллипса l2 :5x2 +6y2 =30, а третья – в центре окружности

l1 : x2 −8x + y2 + 2y = 0 .

5.Cоставить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса 4x2 +8y2 =32 .

6.Cоставить уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ox слева от начала координат, а параметр p равен расстоянию от фо-

куса гиперболы 8x2 − 4y2 =16 до её асимптоты.

7. Cоставить уравнение параболы, фокус которой совпадает с одним из фокусов эллипса 4x2 +7y2 =28. Написать уравнение директрисы.

76

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

III. Аналитическая геометрия на плоскости

Вариант 23

1. Даны вершины некоторого треугольника A(2; −3) , B(1; 4) и C (−1; 2 ). Требуется найти:

а) уравнение и длину высоты, проведенной из вершины C ; б) уравнение медианы, проведенной из вершины B ;

в) координаты точки пересечения высот треугольника; г) координаты точки пересечения медиан;

д) уравнение прямой, проходящей через вершину A параллельно стороне BC ;

е) уравнение прямой, проходящей через вершину B под углом π / 4 к стороне BC ;

ж) координаты т. P , симметричной к т. C относительно прямой линии AB .

2. Найти уравнение окружности, центр которой совпадает с точкой M ( 3; 1) , прямая линия l : 2x + 4y −5 = 0 является касательной к окружности.

3. Cоставить уравнение окружности, касающейся двух параллель-

ных прямых l1 : x −3y + 2 = 0 и l2 : x + 3y − 7 = 0 , причем одной из них в точке A(1; 2) .

4. Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в фокусах эллипса l2 : 4x2 +2y2 =8, а третья – в центре окружности

l1 : x2 +8x + y2 −2y +1 =0.

5.Cоставить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса 3x2 + 4y2 =12 .

6.Cоставить уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ox слева от начала координат, а параметр p равен расстоянию от фо-

куса гиперболы 5x2 − 4 y 2 = 20 до её асимптоты.

7. Cоставить уравнение параболы, фокус которой совпадает с одним из фокусов эллипса 7x2 +2y2 =14. Написать уравнение директрисы.

77

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

III. Аналитическая геометрия на плоскости

Вариант 24

1. Даны вершины некоторого треугольника A( 4; 1) , B (2; 3 ) и C(−1; −3). Требуется найти:

а) уравнение и длину высоты, проведенной из вершины C ; б) уравнение медианы, проведенной из вершины B ;

в) координаты точки пересечения высот треугольника; г) координаты точки пересечения медиан;

д) уравнение прямой, проходящей через вершину A параллельно стороне BC ;

е) уравнение прямой, проходящей через вершину B под углом π / 4 к стороне BC ;

ж) координаты т. P , симметричной к т. C относительно прямой линии AB .

2. Найти уравнение окружности, центр которой совпадает с точкой M ( 2; 1) , прямая линия l : 2x +3y +1 = 0 является касательной к окружности.

3. Cоставить уравнение окружности, касающейся двух параллель-

ных прямых l1 : 2x + 3y +8 = 0 и l2 : 2x + 3y −8 = 0 , причем одной из них в точке A( −1; −2) .

4. Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в фокусах эллипса l2 :4x2 +3y2 =48, а третья – в центре окружности

l1 : x2 +10x + y2 −2y = 0.

5.Cоставить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса x2 + 6 y 2 = 24 .

6.Cоставить уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ox слева от начала координат, а параметр p равен расстоянию от фо-

куса гиперболы 3x2 −5y2 =15 до её асимптоты.

7. Cоставить уравнение параболы, фокус которой совпадает с одним из фокусов эллипса 4x2 +8y2 =16. Написать уравнение директрисы.

78

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

III. Аналитическая геометрия на плоскости

Вариант 25

1. Даны вершины некоторого треугольника A(1; 5) , B (−1; 1 ) и C(3; 4 ). Требуется найти:

а) уравнение и длину высоты, проведенной из вершины C ; б) уравнение медианы, проведенной из вершины B ;

в) координаты точки пересечения высот треугольника; г) координаты точки пересечения медиан;

д) уравнение прямой, проходящей через вершину A параллельно стороне BC ;

е) уравнение прямой, проходящей через вершину B под углом π / 4 к стороне BC ;

ж) координаты т. P , симметричной к т. C относительно прямой линии AB .

2. Найти уравнение окружности, центр которой совпадает с точкой M (3; 5) , прямая линия l : x − y −6 = 0 является касательной к окружности.

3. Cоставить уравнение окружности, касающейся двух параллельных прямых l1 : x + y + 2 = 0 и l2 : x + y −5 =0 , причем одной из них в точке

A( −1; −1) .

4. Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в фокусах эллипса l2 :16 x 2 + 9 y 2 = 144 , а третья – в центре окружности

l1 : x2 −2x + y2 −4y =0.

5.Cоставить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса 4x2 + 25y2 =100 .

6.Cоставить уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ox слева от начала координат, а параметр p равен расстоянию от фо-

куса гиперболы 9x2 − 4 y2 = 36 до её асимптоты.

7. Cоставить уравнение параболы, фокус которой совпадает с одним из фокусов эллипса x2 + 4y2 =16 . Написать уравнение директрисы.

79