MI_T2TerekhovSV

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

III. Аналитическая геометрия на плоскости

Вариант 6

1. Даны вершины некоторого треугольника A (−1; 2 ) , B(3; 2 ) и C (0; 4 ). Требуется найти:

а) уравнение и длину высоты, проведенной из вершины C ; б) уравнение медианы, проведенной из вершины B ;

в) координаты точки пересечения высот треугольника; г) координаты точки пересечения медиан;

д) уравнение прямой, проходящей через вершину A параллельно стороне BC ;

е) уравнение прямой, проходящей через вершину B под углом π / 4 к стороне BC ;

ж) координаты т. P , симметричной к т. C относительно прямой линии AB .

2. Найти уравнение окружности, центр которой совпадает с точкой M (−3; 1) , прямая линия l : 2x − y + 4 = 0 является касательной к окружности.

3. Cоставить уравнение окружности, касающейся двух параллель-

ных прямых l1 : 3x + y + 2 = 0 и l2 : 3x + y − 4 = 0 , причем одной из них в точке A(1; −5) .

4. Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в фокусах эллипса l2 : 2x2 +8y2 =16, а третья – в центре окружности

l1 : x2 −2x + y2 +4y = 0 .

5.Cоставить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса x2 + 3y2 =9 .

6.Cоставить уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ox слева от начала координат, а параметр p равен расстоянию от фо-

куса гиперболы 2x2 −8y2 = 24 до её асимптоты.

7. Cоставить уравнение параболы, фокус которой совпадает с одним из фокусов эллипса 4x2 +2y2 =20. Написать уравнение директрисы.

60

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

III. Аналитическая геометрия на плоскости

Вариант 7

1. Даны вершины некоторого треугольника A( −1; 1) , B (3; 0 ) и C (0; 2 ). Требуется найти:

а) уравнение и длину высоты, проведенной из вершины C ; б) уравнение медианы, проведенной из вершины B ;

в) координаты точки пересечения высот треугольника; г) координаты точки пересечения медиан;

д) уравнение прямой, проходящей через вершину A параллельно стороне BC ;

е) уравнение прямой, проходящей через вершину B под углом π / 4 к стороне BC ;

ж) координаты т. P , симметричной к т. C относительно прямой линии AB .

2. Найти уравнение окружности, центр которой совпадает с точкой M ( −1; 1) , прямая линия l : x − y + 4 = 0 является касательной к окружности.

3. Cоставить уравнение окружности, касающейся двух параллель-

ных прямых l1 : 4x + y + 2 = 0 и l2 : 4x + y −8 = 0 , причем одной из них в точке A(1; 4) .

4. Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в фокусах эллипса l2 :3x2 +4y2 =24, а третья – в центре окружности

l1 : x2 +2x + y2 +4y +1=0.

5.Cоставить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса 3x2 + y2 =9 .

6.Cоставить уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ox слева от начала координат, а параметр p равен расстоянию от фо-

куса гиперболы 3x2 − 4y2 =12 до её асимптоты.

7. Cоставить уравнение параболы, фокус которой совпадает с одним из фокусов эллипса x2 + 3y 2 =9 . Написать уравнение директрисы.

61

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

III. Аналитическая геометрия на плоскости

Вариант 8

1. Даны вершины некоторого треугольника A( − 2; 1) , B (4; 1 ) и C (3; 2 ). Требуется найти:

а) уравнение и длину высоты, проведенной из вершины C ; б) уравнение медианы, проведенной из вершины B ;

в) координаты точки пересечения высот треугольника; г) координаты точки пересечения медиан;

д) уравнение прямой, проходящей через вершину A параллельно стороне BC ;

е) уравнение прямой, проходящей через вершину B под углом π / 4 к стороне BC ;

ж) координаты т. P , симметричной к т. C относительно прямой линии AB .

2. Найти уравнение окружности, центр которой совпадает с точкой M ( 2; 4) , прямая линия l : x + y −1 = 0 является касательной к окружности.

3. Cоставить уравнение окружности, касающейся двух параллель-

ных прямых l1 : x + 3y −1 = 0 и l2 : x + 3y − 4 = 0 , причем одной из них в точке A( −2; 1) .

4. Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в фокусах эллипса l2 : 4x2 + y2 = 8, а третья – в центре окружности

l1 : x2 − 4 x + y 2 + 2 y = 0 .

5.Cоставить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса 3x2 + 5y 2 =15 .

6.Cоставить уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ox слева от начала координат, а параметр p равен расстоянию от фо-

куса гиперболы 8x2 −3y 2 = 24 до её асимптоты.

7. Cоставить уравнение параболы, фокус которой совпадает с одним из фокусов эллипса 5x2 +4y2 =20. Написать уравнение директрисы.

62

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

III. Аналитическая геометрия на плоскости

Вариант 9

1. Даны вершины некоторого треугольника A( −1; 1) , B (2; 3 ) и C(−1; 3 ). Требуется найти:

а) уравнение и длину высоты, проведенной из вершины C ; б) уравнение медианы, проведенной из вершины B ;

в) координаты точки пересечения высот треугольника; г) координаты точки пересечения медиан;

д) уравнение прямой, проходящей через вершину A параллельно стороне BC ;

е) уравнение прямой, проходящей через вершину B под углом π / 4 к стороне BC ;

ж) координаты т. P , симметричной к т. C относительно прямой линии AB .

2. Найти уравнение окружности, центр которой совпадает с точкой M ( 2; −1) , прямая линия l : x −3y + 2 = 0 является касательной к окружности.

3. Cоставить уравнение окружности, касающейся двух параллель-

ных прямых l1 : 2x + 2 y +1 = 0 и l2 : 2x + 2 y − 4 = 0 , причем одной из них в точке A(1; 1) .

4. Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в

5.Cоставить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса x2 +5y2 = 25 .

6.Cоставить уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ox слева от начала координат, а параметр p равен расстоянию от фо-

куса гиперболы 4x2 − 7 y 2 = 28 до её асимптоты.

7. Cоставить уравнение параболы, фокус которой совпадает с одним из фокусов эллипса 4x2 +5y2 =20. Написать уравнение директрисы.

63

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

III. Аналитическая геометрия на плоскости

Вариант 10

1. Даны вершины некоторого треугольника A(0; −3) , B(−1; 2 ) и C (3; 4 ). Требуется найти:

а) уравнение и длину высоты, проведенной из вершины C ; б) уравнение медианы, проведенной из вершины B ;

в) координаты точки пересечения высот треугольника; г) координаты точки пересечения медиан;

д) уравнение прямой, проходящей через вершину A параллельно стороне BC ;

е) уравнение прямой, проходящей через вершину B под углом π / 4 к стороне BC ;

ж) координаты т. P , симметричной к т. C относительно прямой линии AB .

2. Найти уравнение окружности, центр которой совпадает с точкой M (3; −1) , прямая линия l : x +6y −1 = 0 является касательной к окружности.

3. Cоставить уравнение окружности, касающейся двух параллель-

ных прямых l1 : x + 2 y − 6 = 0 и l2 : 2x − 4 y = 0 , причем одной из них в точ-

ке A( −2; 4) .

4. Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в фокусах эллипса l2 :3x2 +5y2 =15, а третья – в центре окружности

l1 : x2 + 4x + y2 − 4y = 0 .

5.Cоставить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса 2x2 + 4y2 = 8.

6.Cоставить уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ox слева от начала координат, а параметр p равен расстоянию от фо-

куса гиперболы 5x2 − 6y2 =30 до её асимптоты.

7. Cоставить уравнение параболы, фокус которой совпадает с одним из фокусов эллипса 2x2 + 5y 2 =10 . Написать уравнение директрисы.

64

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

III. Аналитическая геометрия на плоскости

Вариант 11

1. Даны вершины некоторого треугольника A( 2; 0) , B (4; 2 ) и C(−3; 2 ). Требуется найти:

а) уравнение и длину высоты, проведенной из вершины C ; б) уравнение медианы, проведенной из вершины B ;

в) координаты точки пересечения высот треугольника; г) координаты точки пересечения медиан;

д) уравнение прямой, проходящей через вершину A параллельно стороне BC ;

е) уравнение прямой, проходящей через вершину B под углом π / 4 к стороне BC ;

ж) координаты т. P , симметричной к т. C относительно прямой линии AB .

2. Найти уравнение окружности, центр которой совпадает с точкой M (4; 1) , прямая линия l : 3x − y + 2 = 0 является касательной к окружности.

3. Cоставить уравнение окружности, касающейся двух параллель-

ных прямых l1 : 3x − y + 3 = 0 и l2 : 3x − y −1 = 0 , причем одной из них в точке A( 0; −1) .

4. Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в фокусах эллипса l2 :4x2 +2y2 =16, а третья – в центре окружности

l1 : x2 − 2x + y2 −6y = 0 .

5.Cоставить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса 6x2 + 7 y 2 = 42 .

6.Cоставить уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ox слева от начала координат, а параметр p равен расстоянию от фо-

куса гиперболы 9x2 − y2 =9 до её асимптоты.

7. Cоставить уравнение параболы, фокус которой совпадает с одним из фокусов эллипса 9y2 +2x2 =18. Написать уравнение директрисы.

65

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

III. Аналитическая геометрия на плоскости

Вариант 12

1. Даны вершины некоторого треугольника A(3; −2) , B(2; −3) и C (1; 1 ). Требуется найти:

а) уравнение и длину высоты, проведенной из вершины C ; б) уравнение медианы, проведенной из вершины B ;

в) координаты точки пересечения высот треугольника; г) координаты точки пересечения медиан;

д) уравнение прямой, проходящей через вершину A параллельно стороне BC ;

е) уравнение прямой, проходящей через вершину B под углом π / 4 к стороне BC ;

ж) координаты т. P , симметричной к т. C относительно прямой линии AB .

2. Найти уравнение окружности, центр которой совпадает с точкой M (3; −2) , прямая линия l : x + y −1 = 0 является касательной к окружности.

3. Cоставить уравнение окружности, касающейся двух параллель-

ных прямых l1 : 2x − y +8 = 0 и l2 : 2x − y −1 = 0 , причем одной из них в точке A( 0; 8) .

4. Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в фокусах эллипса l2 :5x2 +6y2 =30, а третья – в центре окружности

l1 : x2 + 4x + y2 −6y = 0 .

5.Cоставить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса 6x2 + 5y2 =30 .

6.Cоставить уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ox слева от начала координат, а параметр p равен расстоянию от фо-

куса гиперболы x2 − 2y2 =8 до её асимптоты.

7. Cоставить уравнение параболы, фокус которой совпадает с одним из фокусов эллипса x2 +5y2 = 25 . Написать уравнение директрисы.

66

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

III. Аналитическая геометрия на плоскости

Вариант 13

1. Даны вершины некоторого треугольника A( 2; 3) , B(−1; 4 ) и C(0; −2 ). Требуется найти:

а) уравнение и длину высоты, проведенной из вершины C ; б) уравнение медианы, проведенной из вершины B ;

в) координаты точки пересечения высот треугольника; г) координаты точки пересечения медиан;

д) уравнение прямой, проходящей через вершину A параллельно стороне BC ;

е) уравнение прямой, проходящей через вершину B под углом π / 4 к стороне BC ;

ж) координаты т. P , симметричной к т. C относительно прямой линии AB .

2. Найти уравнение окружности, центр которой совпадает с точкой M ( 2; −1) , прямая линия l : 2x − y +8 = 0 является касательной к окружности.

3. Cоставить уравнение окружности, касающейся двух параллель-

ных прямых l1 : x − y +8 = 0 и l2 : x − y −5 = 0 , причем одной из них в точ-

ке A( 2; −3) .

4. Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в фокусах эллипса l2 : 7x2 +2y2 =14, а третья – в центре окружности

l1 : x2 − 2x + y2 − 2y = 0 .

5.Cоставить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса 2x2 + 7 y2 =14 .

6.Cоставить уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ox слева от начала координат, а параметр p равен расстоянию от фо-

куса гиперболы 5x2 −3y2 =15 до её асимптоты.

7. Cоставить уравнение параболы, фокус которой совпадает с одним из фокусов эллипса x2 + 4y2 =16 . Написать уравнение директрисы.

67

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

III. Аналитическая геометрия на плоскости

Вариант 14

1. Даны вершины некоторого треугольника A(1; 1) , B(−1; 3) и C (2; − 4 ). Требуется найти:

а) уравнение и длину высоты, проведенной из вершины C ; б) уравнение медианы, проведенной из вершины B ;

в) координаты точки пересечения высот треугольника; г) координаты точки пересечения медиан;

д) уравнение прямой, проходящей через вершину A параллельно стороне BC ;

е) уравнение прямой, проходящей через вершину B под углом π / 4 к стороне BC ;

ж) координаты т. P , симметричной к т. C относительно прямой линии AB .

2. Найти уравнение окружности, центр которой совпадает с точкой M (1; 1) , прямая линия l : 5x − y +1 = 0 является касательной к окружности.

3. Cоставить уравнение окружности, касающейся двух параллельных прямых l1 : x −6 y = 0 и l2 : x − 6 y + 5 = 0 , причем одной из них в точке

A(1; 1) .

4. Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в фокусах эллипса l2 :7x2 +8y2 =56, а третья – в центре окружности

l1 : x2 −10x + y2 +2y = 0.

5.Cоставить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса 9x2 + y2 = 9 .

6.Cоставить уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ox слева от начала координат, а параметр p равен расстоянию от фо-

куса гиперболы 3x2 − 4y2 =12 до её асимптоты.

7. Cоставить уравнение параболы, фокус которой совпадает с одним из фокусов эллипса x2 + 7 y2 = 7 . Написать уравнение директрисы.

68

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

III. Аналитическая геометрия на плоскости

Вариант 15

1. Даны вершины некоторого треугольника A(−3; 0) , B(0; −1) и C (3; 2 ). Требуется найти:

а) уравнение и длину высоты, проведенной из вершины C ; б) уравнение медианы, проведенной из вершины B ;

в) координаты точки пересечения высот треугольника; г) координаты точки пересечения медиан;

д) уравнение прямой, проходящей через вершину A параллельно стороне BC ;

е) уравнение прямой, проходящей через вершину B под углом π / 4 к стороне BC ;

ж) координаты т. P , симметричной к т. C относительно прямой линии AB .

2. Найти уравнение окружности, центр которой совпадает с точкой M ( 3; 2 ) , прямая линия l : x −3y + 2 = 0 является касательной к окружности.

3. Cоставить уравнение окружности, касающейся двух параллель-

ных прямых l1 : x −3y −5 = 0 и l2 : x −3y +1 = 0 , причем одной из них в точке A( 2; −1) .

4. Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в фокусах эллипса l2 : x2 +9y2 =9, а третья – в центре окружности

l1 : x2 − 2 x + y2 + 6 y = 0 .

5.Cоставить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса 5x2 + 9y2 = 45 .

6.Cоставить уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ox слева от начала координат, а параметр p равен расстоянию от фо-

куса гиперболы 9x2 −3y2 =18 до её асимптоты.

7. Cоставить уравнение параболы, фокус которой совпадает с одним из фокусов эллипса 12x2 +5y2 =60. Написать уравнение директрисы.

69