MI_T2TerekhovSV

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

II. Элементы векторной алгебры

Вариант 21

Даны четыре точки A (0; −1; −1 ), B( 0; 1; 1 ), C (−1; − 2; 0 ) и D (0; −1; 1 ):

1.Найти векторы a = AB, b = AC и c = AD. Имеются ли среди них коллинеарные? Записать разложение векторов a, b и c по декартовому базису (i, j, k ).

2.Найти единичный вектор того же направления что и вектор a .

3.Найти направляющие косинусы вектора a . Сравнить с ответом в предыдущем пункте. Сделать выводы.

4.Найти 2 a −3b + c .

5.Определить координаты вектора X =(x; y; z), коллинеарного вектору a , зная, что X =5 и он направлен в сторону, противоположную

вектору a .

6.Вычислить скалярные произведения a b и a c . Перпендикулярны

ли векторы a и b , a и c между собой?

7.Найти внутренний угол при вершине A и внешний угол при вершине C треугольника ABC .

10. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам a и b .

F = (2; −1; 3 ), приложенной к точке A относительно точки C .

13.Лежат ли векторы a , b и c в одной плоскости? Могут ли эти

векторы образовать базис пространства и почему? Если могут, то разложить по этому базису вектор d = (1; −1; 5 ).

14.Чему равны объём пирамиды с вершинами A, B , C , D и её высота, опущенная из точки A на основание BCD ?

50

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

II. Элементы векторной алгебры

Вариант 22

Даны четыре точки A (2; 0; 1 ), B (−1; 1; −1 ), C (0; 1; 1 ) и D (−1; −1; 0 ):

1.Найти векторы a = AB, b = AC и c = AD. Имеются ли среди них коллинеарные? Записать разложение векторов a, b и c по декартовому базису (i, j, k ).

2.Найти единичный вектор того же направления что и вектор a .

3.Найти направляющие косинусы вектора a . Сравнить с ответом в предыдущем пункте. Сделать выводы.

4.Найти 2 a −3b + c .

5.Определить координаты вектора X =(x; y; z), коллинеарного вектору a , зная, что X =5 и он направлен в сторону, противоположную

вектору a .

6.Вычислить скалярные произведения a b и a c . Перпендикулярны

ли векторы a и b , a и c между собой?

7.Найти внутренний угол при вершине A и внешний угол при вершине C треугольника ABC .

10. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам a и b .

F = (2; −1; 3 ), приложенной к точке A относительно точки C .

13.Лежат ли векторы a , b и c в одной плоскости? Могут ли эти

векторы образовать базис пространства и почему? Если могут, то разложить по этому базису вектор d = (1; −1; 5 ).

14.Чему равны объём пирамиды с вершинами A, B , C , D и её высота, опущенная из точки A на основание BCD ?

51

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

II. Элементы векторной алгебры

Вариант 23

Даны четыре точки A (−1; 0; −1 ), B (1; 2; 0 ), C ( 1; −1; 0 ) и D (0; 1; 1 ):

1.Найти векторы a = AB, b = AC и c = AD. Имеются ли среди них коллинеарные? Записать разложение векторов a, b и c по декартовому базису (i, j, k ).

2.Найти единичный вектор того же направления что и вектор a .

3.Найти направляющие косинусы вектора a . Сравнить с ответом в предыдущем пункте. Сделать выводы.

4.Найти 2 a −3b + c .

5.Определить координаты вектора X =(x; y; z), коллинеарного вектору a , зная, что X =5 и он направлен в сторону, противоположную

вектору a .

6.Вычислить скалярные произведения a b и a c . Перпендикулярны

ли векторы a и b , a и c между собой?

7.Найти внутренний угол при вершине A и внешний угол при вершине C треугольника ABC .

10. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам a и b .

F = (2; −1; 3 ), приложенной к точке A относительно точки C .

13.Лежат ли векторы a , b и c в одной плоскости? Могут ли эти

векторы образовать базис пространства и почему? Если могут, то разложить по этому базису вектор d = (1; −1; 5 ).

14.Чему равны объём пирамиды с вершинами A, B , C , D и её высота, опущенная из точки A на основание BCD ?

52

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

II. Элементы векторной алгебры

Вариант 24

Даны четыре точки A (−1; 1; 2 ), B (0; −1; −1 ), C (1; 0; −1 ) и D (1; 0; 1 ):

1.Найти векторы a = AB, b = AC и c = AD. Имеются ли среди них коллинеарные? Записать разложение векторов a, b и c по декартовому базису (i, j, k ).

2.Найти единичный вектор того же направления что и вектор a .

3.Найти направляющие косинусы вектора a . Сравнить с ответом в предыдущем пункте. Сделать выводы.

4.Найти 2 a −3b + c .

5.Определить координаты вектора X =(x; y; z), коллинеарного вектору a , зная, что X =5 и он направлен в сторону, противоположную

вектору a .

6.Вычислить скалярные произведения a b и a c . Перпендикулярны

ли векторы a и b , a и c между собой?

7.Найти внутренний угол при вершине A и внешний угол при вершине C треугольника ABC .

10. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам a и b .

F = (2; −1; 3 ), приложенной к точке A относительно точки C .

13.Лежат ли векторы a , b и c в одной плоскости? Могут ли эти

векторы образовать базис пространства и почему? Если могут, то разложить по этому базису вектор d = (1; −1; 5 ).

14.Чему равны объём пирамиды с вершинами A, B , C , D и её высота, опущенная из точки A на основание BCD ?

53

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

II. Элементы векторной алгебры

Вариант 25

Даны четыре точки A (0; 1; −1 ), B (1; −1; 2 ), C (−1; 1; 1 ) и D (−1; −1; −1 ):

1.Найти векторы a = AB, b = AC и c = AD. Имеются ли среди них коллинеарные? Записать разложение векторов a, b и c по декартовому базису (i, j, k ).

2.Найти единичный вектор того же направления что и вектор a .

3.Найти направляющие косинусы вектора a . Сравнить с ответом в предыдущем пункте. Сделать выводы.

4.Найти 2 a −3b + c .

5.Определить координаты вектора X =(x; y; z), коллинеарного вектору a , зная, что X =5 и он направлен в сторону, противоположную

вектору a .

6.Вычислить скалярные произведения a b и a c . Перпендикулярны

ли векторы a и b , a и c между собой?

7.Найти внутренний угол при вершине A и внешний угол при вершине C треугольника ABC .

10. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам a и b .

F = (2; −1; 3 ), приложенной к точке A относительно точки C .

13.Лежат ли векторы a , b и c в одной плоскости? Могут ли эти

векторы образовать базис пространства и почему? Если могут, то разложить по этому базису вектор d = (1; −1; 5 ).

14.Чему равны объём пирамиды с вершинами A, B , C , D и её высота, опущенная из точки A на основание BCD ?

54

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

III. Аналитическая геометрия на плоскости

Вариант 1

1. Даны вершины некоторого треугольника A ( 2; 4) , B (−3; 1 ) и C (4; 0 ). Требуется найти:

а) уравнение и длину высоты, проведенной из вершины C ; б) уравнение медианы, проведенной из вершины B ;

в) координаты точки пересечения высот треугольника; г) координаты точки пересечения медиан;

д) уравнение прямой, проходящей через вершину A параллельно стороне BC ;

е) уравнение прямой, проходящей через вершину B под углом π / 4 к стороне BC ;

ж) координаты т. P , симметричной к т. C относительно прямой линии AB .

2. Найти уравнение окружности, центр которой совпадает с точкой M ( 2; 4) , прямая линия l : x +3y −2 = 0 является касательной к окружности.

3. Cоставить уравнение окружности, касающейся двух параллельных прямых l1 : 3x − y + 4 = 0 и l2 : 3x − y = 0 , причем одной из них в точке

A( 0; 0) .

4. Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в фокусах эллипса l 2 : 7x2 +9y2 =63, а третья – в центре окружности

l1 : x2 −16x + y2 +4y = 0.

5.Cоставить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса 9x2 + 7 y2 = 63.

6.Cоставить уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ox слева от начала координат, а параметр p равен расстоянию от фо-

куса гиперболы 5x2 − 7 y2 =35 до её асимптоты.

7. Cоставить уравнение параболы, фокус которой совпадает с одним из фокусов эллипса 9x2 + 5y2 =90 . Написать уравнение директрисы.

55

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

III. Аналитическая геометрия на плоскости

Вариант 2

1. Даны вершины некоторого треугольника A(1; 2) , B (3; 4 ) и C (−1; 3 ). Требуется найти:

а) уравнение и длину высоты, проведенной из вершины C ; б) уравнение медианы, проведенной из вершины B ;

в) координаты точки пересечения высот треугольника; г) координаты точки пересечения медиан;

д) уравнение прямой, проходящей через вершину A параллельно стороне BC ;

е) уравнение прямой, проходящей через вершину B под углом π / 4 к стороне BC ;

ж) координаты т. P , симметричной к т. C относительно прямой линии AB .

2. Найти уравнение окружности, центр которой совпадает с точкой M ( −3; 1) , прямая линия l : 2x − y +1 = 0 является касательной к окружности.

3. Cоставить уравнение окружности, касающейся двух параллель-

ных прямых l1 : x − y = 0 и l2 : 2x − 2 y + 3 = 0 , причем одной из них в точ-

ке A(1; 1) .

4. Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в фокусах эллипса l2 : 4x2 +5y2 =36, а третья – в центре окружности

l1 : x2 − 2x + y2 + 6y = 0 .

5.Cоставить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса 5x2 +8y2 = 40 .

6.Cоставить уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ox слева от начала координат, а параметр p равен расстоянию от фо-

куса гиперболы 4x2 −9y2 = 36 до её асимптоты.

7. Cоставить уравнение параболы, фокус которой совпадает с одним из фокусов эллипса 5x2 +4y2 =20. Написать уравнение директрисы.

56

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

III. Аналитическая геометрия на плоскости

Вариант 3

1. Даны вершины некоторого треугольника A(3; 0) , B (2; − 2 ) и C (1; 3 ). Требуется найти:

а) уравнение и длину высоты, проведенной из вершины C ; б) уравнение медианы, проведенной из вершины B ;

в) координаты точки пересечения высот треугольника; г) координаты точки пересечения медиан;

д) уравнение прямой, проходящей через вершину A параллельно стороне BC ;

е) уравнение прямой, проходящей через вершину B под углом π / 4 к стороне BC ;

ж) координаты т. P , симметричной к т. C относительно прямой линии AB .

2. Найти уравнение окружности, центр которой совпадает с точкой M ( −2; 3) , прямая линия l : x +3y −1 = 0 является касательной к окружности.

3. Cоставить уравнение окружности, касающейся двух параллельных прямых l1 : 2x + y −3 = 0 и l2 : 2x + y = 0 , причем одной из них в точке

A(1; −2) .

4. Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в фокусах эллипса l2 : 6x2 +4y2 =24, а третья – в центре окружности

l1 : x2 +4x + y2 −2y = 0 .

5.Cоставить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса 4x2 +3y2 =12 .

6.Cоставить уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ox слева от начала координат, а параметр p равен расстоянию от фо-

куса гиперболы 4x2 −5y2 = 20 до её асимптоты.

7. Cоставить уравнение параболы, фокус которой совпадает с одним из фокусов эллипса 6x2 + 5y2 =30 . Написать уравнение директрисы.

57

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

III. Аналитическая геометрия на плоскости

Вариант 4

1. Даны вершины некоторого треугольника A(−3; 2) , B (2; 1 ) и C (−1; 3 ). Требуется найти:

а) уравнение и длину высоты, проведенной из вершины C ; б) уравнение медианы, проведенной из вершины B ;

в) координаты точки пересечения высот треугольника; г) координаты точки пересечения медиан;

д) уравнение прямой, проходящей через вершину A параллельно стороне BC ;

е) уравнение прямой, проходящей через вершину B под углом π / 4 к стороне BC ;

ж) координаты т. P , симметричной к т. C относительно прямой линии AB .

2. Найти уравнение окружности, центр которой совпадает с точкой M ( 2; −1) , прямая линия l : 6x − y + 4 = 0 является касательной к окружности.

3. Cоставить уравнение окружности, касающейся двух параллель-

ных прямых l1 : x + y + 4 = 0 и l2 : 3x + 3y −12 = 0 , причем одной из них в точке A( −2; −2) .

4. Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в фокусах эллипса l2 : 2x2 +5y2 =10, а третья – в центре окружности

l1 : x2 + 6x + y2 + 4y = 0 .

5.Cоставить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса 3x2 + y2 =12 .

6.Cоставить уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ox слева от начала координат, а параметр p равен расстоянию от фо-

куса гиперболы 4x2 −5y2 = 20 до её асимптоты.

7. Cоставить уравнение параболы, фокус которой совпадает с одним из фокусов эллипса 4x2 +7y2 =28. Написать уравнение директрисы.

58

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

III. Аналитическая геометрия на плоскости

Вариант 5

1. Даны вершины некоторого треугольника A(−3; 1), B (2; −3 ) и C (4; 0 ). Требуется найти:

а) уравнение и длину высоты, проведенной из вершины C ; б) уравнение медианы, проведенной из вершины B ;

в) координаты точки пересечения высот треугольника; г) координаты точки пересечения медиан;

д) уравнение прямой, проходящей через вершину A параллельно стороне BC ;

е) уравнение прямой, проходящей через вершину B под углом π / 4 к стороне BC ;

ж) координаты т. P , симметричной к т. C относительно прямой линии AB .

2. Найти уравнение окружности, центр которой совпадает с точкой M (1; 2) , прямая линия l : x +3y +1 = 0 является касательной к окружности.

3. Cоставить уравнение окружности, касающейся двух параллель-

ных прямых l1 : x + 3y +1 = 0 и l2 : x + 3y −5 = 0 , причем одной из них в точке A( 2; 1) .

4. Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в фокусах эллипса l2 : 6x2 +8y2 =48, а третья – в центре окружности

l1 : x2 −4x + y2 +8y = 0 .

5.Cоставить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса 2x2 + 4y2 =16 .

6.Cоставить уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ox слева от начала координат, а параметр p равен расстоянию от фо-

куса гиперболы 5x2 − y2 =15 до её асимптоты.

7. Cоставить уравнение параболы, фокус которой совпадает с одним из фокусов эллипса 4x2 + y2 = 8 . Написать уравнение директрисы.

59