2. 5 Математичні поняття і їх означення

Поняття — це специфічна форма відображення об’єктів реального світу, їх властивостей і відношень за допомогою суттєвих відокремлювальних ознак.

Поняття є одним з основних структурних елементів наукових знань, тому воно одночасно є і однією з головних складових змісту навчання.

Поняття характеризується об’ємом і змістом.

Об’єм поняття — сукупність об’єктів, яка охоплюється цим поняттям.

Якщо об’єм одного поняття є частиною об’єму іншого, то перше поняття називають видовим, а друге — родовим. Об’єм поняття розкривається класифікацією об’єктів, які охоплені цим поняттям. Зміст поняття — сукупність суттєвих властивостей об’єктів, за якими вони об’єднуються в один клас

Зміст поняття розкривається означенням. Дати означення поняття — це означає вибрати суттєві ознаки об’єктів, які охоплені цим поняттям в достатній кількості. Означення не вичерпує змісту поняття.

Означення поняття не може бути ні хибним, ні істиним. У ньому нічого не стверджується, а лише утворюється.

Приклад. Двупрямокутним називається трикутник, у якого два кути прямі.

Означення повині задовольняти певним вимогам:

1. правильність, коректність (відсутність протирічь, визначеність понять, які застосовуються, тощо);

2. відсутність омономії (кожний термін повинен відповідати одному поняттю);

3. оптимальність (мінімальна кількість застосованих у означенні властивостей, дій).

Різноманіття видів означень пов’язане з різними способами представлення суттєвих ознак об’єктів. Розрізняють наступні види означень:

• означення через вказівку найближчого роду і видових відмінностей (родо-видове означення). Таке означення має наступну структуру: 1) термін; 2) родове поняття; 3) видові відмінності.

• конструктивні означення — означення шляхом побудови об’єктів, які складають об’єм поняття. Ці означення мають таку структуру: 1) побудова; 2) термін.

Зауваження: індуктивні і генетичні означення є частковими випадками конструктивних.

• аксіоматичні означення — означення через аксіоми. Перелік аксіом складає зміст поняття.

• означення через абстракцію — означення об’єкту як класу еквівалентності.

Між різними видами означень існують певні зв’язки.

Контрольні запитання

1. На чому грунтується побудова математичної теорії?

2. Чи можливо виконувати операції над висловленнями?

3. У чому полягає суть цих операцій?

4. Чи вірно, що аксіома — це істина, яка не потребує доведення?

5. Чи вірно, що істинність аксіоми очевидна?

6. Чи може бути хибною теорема?

7. Чи є теоремою формула (а + b)² = а² + 2аb + b²?

8. За якими ознаками відрізняють теорему від означення?

9. Чи може необхідна умова бути достатньою?

10. Які теореми називають ознаками?

11. Чи завжди твердження, обернене до даної теореми є теоремою?

Вправи

1. Дано твердження.

1) Сформулюйте твердження:

а) обернене до нього; б) протилежне до нього; в) обернене до протилежного;

2) Дослідіть істинність вихідного і утворених тверджень.

1. У рівнобедреному трикутнику медіана, що проведена до основи є і бісектрисою.

2. Сума кутів трикутників дорівнює 180°.

3. Бісектриса кута трикутника ділить протилежну сторону на частини, які пропорційні сторонам, що прилягають до них.

4. Сума квадратів катетів прямокутного трикутника дорівнює квадрату гіпотенузи.

5. Сума коренів зведеного квадратного рівняння дорівнює другому коефіцієнту з протилежним знаком, а їх добуток — вільному члену.

6. Графік парної функції є симетричним відносно осі ординат.

7. Будь-яку арифметичну прогресію можно задати формулою, яка має вигляд, а_n = сn + b, дe с і b — деякі числа.

8. Якщо вільний член квадратного рівняння ах² + bх + с = 0 (а  0) дорівнює нулю, то один із коренів цього рівняння дорівнює нулю.

2. Яке з слів "необхідно", "достатньо", "необхідно і достатньо" треба помістити замість трьох крапок для отримання вірного висловлення:

1. Для того, щоб функція була диференційованою... , щоб вона була неперервною.

2. Для того, щоб послідовність (а_n) була геометричною прогресією... , щоб квадрат кожного члену, починаючи, з другого дорівнював добутку сусідніх.

3. Щоб число ділилось на 34 ... , щоб воно ділилось на 17.

4. Для того, щоб точка x₀ є D(f) була точкою екстремуму диференційованої в області визначення функції f, ... щоб f (x₀) = 0.

5. Для того, щоб у чотирикутник можна було вписати коло, ... щоб суми довжин протилежних сторін чотирикутника дорівнювали одна одній.

6. Для того, щоб послідовність (а_n) була арифметичною прогресією, ... щоб кожний член, починаючи з другого, дорівнював півсумi сусідніх .

7. Для того щоб чотирикутник був ромбом ..., щоб його діагоналі були бісектрисами його кутів.

8. Для того щоб точка х_о , в якій існує похідна f (x₀) була точкою екстремуму функції у = f(x) ..., щоб f (x₀) = 0.

3. Чи коректне наступне означення. Якщо ні, то виправте його:

1. Чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, називається паралелограмом.

2. Двогранним кутом називається кут, утворений двома півплощинами, які виходять із однієї прямої.

3. Скалярним добутком векторів іназивається число, яке дорівнюєдобутку довжин цих векторів на косинус кута між ними.

4. Чотирикутна призма називається прямою, якщо її діагональні перерізи взаємно перпендикулярні.

5. Послідовність, кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на одне й те ж число називається геометричною послідовністю.

6. Трапецією називається чотирикутник, у якого дві протилежні сторони паралельні.

7. Мимобіжними прямими називаються прямі, які не належать одній площині.

4. Складіть логіко-математичну модель означення.

1. Функція f називається парною, якщо для кожного х із області визначення виконуються такі умови

а) число — х також належить до цієї області; б) f(–x) = f(x).

2. Функція у = f(x) називається періодичною з періодом Т  0, якщо для кожного х з області визначення функції виконуються такі умови

а) числа х – Т і х + Т також належать до єї області; б) f(x) = f(x + T).

3. Цілі раціональні вирази Р(х) і Q(х) називаються тотожно рівними, якщо вони набувають однакових значень при будь-яких значенняx змінної х. Запишіть умову того, що два вирази Р(х) і Q(x) не є рівними.

4. Пряма називається дотичною до кола, якщо вона має лише одну спільну точку з колом.

5. Функція f називається непарною, якщо для кожного х із області визначення виконуються такі умови:

а) число х також належить до цієї області; б) f(–x) = –f(x).

6. Квадратним рівнянням називається рівняння, яке має вид ах² + bх + с = 0, де а  0.

7. Дві прямі називаються мимобіжними, якщо не існує площини, якій належали б ці прямі.

8. Рівність f(х) = g (х) називається тотожністю на множині М, якщо: 1) множина М міститься в області визначення кожної з функцій f(x), g(x); 2) для будь-якого х₀ є М справедлива рівність f(x₀) = g(х₀).

5. Дано теорему. Чи є вона ознакою (чого?), чи властивістю (чого?), чи теоремою існування (чого?)?

1) Кожний нескінчений періодичний десятковий дріб зображає деяке раціональне число.

2) Якщо а < b і с < 0, то аc > bс.

3) Прямі, що перетинаються і паралельні до перпендикулярних прямих, самі перпендикулярні.

4) Арифметичний квадратний корінь із степеня а^2k, в якому число а невід'ємне і k натуральне, дорівнює a^k.

5) Якщо дві паралельні площини перетинаються третьою площиною, то прямі перетину паралельні.

6) Якщо сума і добуток чисел т і п дорівнюють відповідно — p і g, то т i n корені рівняння х² + рх + g = 0.

7) Арифметичний квадратний корінь з дробу, чисельник якого невід'ємний, а знаменник додатний, дорівнює арифметичному квадратному кореню із чисельника, поділеному на арифметичний квадратний корінь із знаменника.

6. Наведіть контрприклад до твердження:

1. log_a(xy) = log_ax + log_ay;

2. Якщо квадрат деякої сторони трикутника менше, ніж сума квадратів двох інших його сторін, то цей трикутник — гострокутний.

3. Якщо а > b, то а² > b².