1. 7 Аксіоматичний метод

Важливою особливістю математики як науки є дедуктивний характер побудови її теорій, який передбачає доведення нових фактів, введення нових понять на основі раніше доведених фактів і означених понять. Послідовне дотримання цієї ідеології приводить до питань „А що лежить в основі теорії?”, „З чого починається теорія?”. Сутність аксіоматичного методу якраз і полягає у розв’язанні цих питань.

Аксіоматичний метод — такий спосіб побудови теорії, який передбачає прийняття деяких тверджень за істинні (їх називають аксіомами), а всі інші твердження отримують у якості логічних наслідків аксіом.

Аксіоматична побудова математичної теорії полягає:

• у виборі понять і відношень, які називають неозначуванними;

• у виборі системи аксіом, яка відображає властивості неозначуваних понять і відношень;

• у введенні означень нових понять за допомогою неозначуваних і раніше означених;

• доведення тверджень на основі аксіом і раніше доведених тверджень (їх називають теоремами).

Корисним є порівняння аксіоматичної побудови теорії з інтелектуальною грою, наприклад шахами. Шахи як гра визначається набором фігур і правилами гри. При цьому принципового значення не має розмір дошки, форма фігур. Сутність фігур виявляється у їхніх ходах. Така ж сутність і неозначуваних понять. Аксіоми теорії — це правила гри.

Виникнення аксіоматичного методу в математиці пов’язано з виникненням теоретичної математики у Стародавній Греції. Зразком застосування аксіоматичного методу майже до ХХ століття була геометрична система, відома під назвою „Начала”, яка була створена Евклідом.

Відкриття у ХІХ столітті неевклідової геометрії стало поштовхом до подальшого розвинення аксіоматичного метода. В першу чергу воно сприяло усвідомленню природи аксіом і можливості існування різних сукупностей об’єктів, які задовольняють одній і тій самій системі аксіом. Найбільш повно це усвідомлення знайшло відображення у знаменитій книзі Д.Гільберта „Основи геометрії”, яка з’явилась наприкінці ХІХ століття. Удосконалення аксіоматичного методу на протязі першої половини ХХ століття завершилось сучасним його розумінням, яке найбільш повно було проілюстроване знаменитою групою французьких математиків під назвою Бурбакі.

Таким чином, у розвиненні аксіоматичного методу можна виділити три етапи.

На першому етапі аксіоматична побудова теорії передбачає наявність певної сукупності об’єктів певної природи з відповідними відношеннями між ними. Аксіоми розглядались як властивості цих об’єктів і відношень. Такі аксіоматичні теорії називають змістовими.

Приклад 1. Аксіоматична побудова теорії вимірювання площ полягає у припущенні існування відображення S з множини многокутників M в множину чисел, яке задовольняє умови:

1) S(F)  0; 2) F₁  F₂  S(F₁) = S(F₂); 3) , якщо .

На другому етапі аксіоматична теорія описувала властивості об’єктів і відношень між ними різної природи, але однокових за сутністю. Такі аксіоматичні теорії називають напівформальними.

Приклад 2. Аксіоматична побудова метричного простору полягає у задані відображення : M  M  R((x, y)  (x, y)  R), де M — деяка множина, що задовольняє умови:

1) (x, y)  0, (x, y) = 0  x = y; 2) (x, y) = (y, x); 3) (x, y)  (x, z) + (y, z).

На третьому етапі при побудові аксіоматичної теорії аксіоматизувалась і логіка, яка застосовується при доведенні теорем. Тому такі аксіоматичні теорії називають формальними.