1. 5 Математичні методи пізнання

Під абстрагуванням розуміють процес мисленого виділення одного чи декількох властивостей або відношень об’єктів і відхилення усіх інших. Абстрагування один з головних засобів створення понять. Поняття основні елементи пізнання.

Однією з головних особливостей математики є характер математичних абстракцій і засоби їх утворення. Взагалі відмінності між природними і соціальними науками полягають у відмінності абстракцій і засобів їх утворення.

Найбільш розповсюдженим засобом абстрагування в математиці є абстракція ототожнювання (рівність, нерівність, еквівалентність). Ідеалізація важливий прийом абстрагування. Метод абстракції є загальнометодологічним.

В математиці існує велика кількість методів, які можна поділити на загальні й окремі, універсальні та спеціальні: метод математичної індукції, аксіоматичний метод, метод координат, метод математичного моделювання, метод внутрішнього проектування, метод Гауса.

1. 6 Метод математичного моделювання

1. Моделювання — загальний метод пізнання.

Модель — об’єкт, що відтворює характерні риси іншого об’єкту. Моделювання — процес побудови, дослідження і застосування моделей.

Класифікація моделей: імітаційні, робочі, дослідницькі, фізичні, хімічні, математичні.

Модель не тотожна об’єкту, оригіналу!

2. Математична модель.

Математичними моделями прийнято називати опис об’єктів чи процесів зовнішнього світу, за допомогою математичних об’єктів, відношень між ними і задач з ними пов’язаних. Математичне моделювання це процес побудови, дослідження і застосування математичних моделей.

Математичні об’єкти: рівняння, функції, фігури, вектори тощо.

Математичні відношення: рівності, нерівності, перпендикулярність, подібність тощо.

Процес математичного моделювання складається з трьох етапів:

1. вибір чи побудова математичної моделі;

2. дослідження побудованої математичної моделі;

3. інтерпретація результатів дослідження математичної моделі.

Приклад 1. Тілу на Землі надали початкову швидкість v₀, напрямлену під кутом  до її поверхні. Знайдіть відстань між точками вильоту і падіння тіла.

 1) Побудуємо математичну модель закону руху тіла. Знаючи закон руху дамо відповідь на поставлене запитання. Для цього спочатку розглянемо фізичну модель задачі. В ній йдеться про рух тіла з заданою початковою швидкістю під дією певних сил. З умови задачі випливає, що рух здійснюється під дією сили тяжіння. Відомо, що цей рух сповільнює сила опору повітря. Взагалі це дуже складна фізична задача, оскільки дія цієї сили залежить від форми і розміру тіла. Врахування сили тяжіння також у загальному випадку не просте, оскільки ця сила залежить від відстані до Землі. Проведений аналіз умов руху наводить нас на необхідність спрощення припущень за яких здійснюється рух. Таким чином, природно вважати, що

1. Земля інерційна система відліку (обертання Землі не враховується);

2. Земля плоска;

3. прискорення вільного падіння g є сталим і g  9,8 м/с;

4. тіло має невеликі розміри і його можна вважати матеріальною точкою;

5. опором повітря можна нехтувати.

За таких припущень в задачі йдеться про рух матеріальної точки під дією сталої сили , модуль якої за законом Ньютона дорівнює, деm — маса матеріальної точки, — прискорення руху. Щоб застосувати закон фізики, за яким здійснюється рух виберемо прямокутну систему координат з початком в точці з якої почався рух тіла. Тоді закон руху тіла визначається вектором ,. Можна вважати, що вісьz протилеж-на силі тяжіння. Тому в цій системі координат сила тяжіння . Виберемо осі x і y так, що . За законом Ньютона,,.

Таким чином, шуканий закон руху задовольняє наступним умовам

(1)

Тобто він є розв’язком задачі Коші (1). Математичною моделлю руху тіла за вказаних припущень є задача Коші (1).

2) Дослідимо отриману математичну модель. Задача Коші (1) зводиться до розгляду задач Коші для функцій x(t), y(t), z(t). Їхні розв’язки знайдемо розв’язавши спочатку рівняння, а потім використавши початкові умови:

x = c₁t + c₂, x(0) = c₂ = 0, x(0) = c₁ = v₀cos  x = v₀cost;

y = b₁t + b₂, y(0) = b₂ = 0, y(0) = b₁ = 0  y  0;

, z(0) = a₂ = 0, z(0) = a₁ = v₀sin  .

Розв'язком задачі Коші (1) є функції x = v₀cost, y  0, , t  0.

3) Застосуємо дослідження математичної моделі до розв’язання даної задачі. З розв'язку задачі Коші (1) випливає, що рух здійснюється в площині xz. Починається він у початку координат і закінчується в такий момент часу t₀, коли z(t₀) = 0.

Розглянемо рівняння . Воно має два кореня:t₁ = 0, . Перший корінь відповідає початку руху, другий— падінню тіла на Землю. Відстань між точками вильоту (0; 0; 0) і точкою падіння дорівнює.

Доречі, користуючись законом руху можна відповісти на багато інших питань: „Яка траєкторія руху?”, „Яка висота підйому?”, „Скільки часу тіло рухалось?”.

Але ці відповіді будуть отримані за дуже обмежених припущень. Неважко за допомогою експериментів упевнитись, що точність описаного розрахунку дальності польоту невисока. Тому необхідно продовжити роботу над побудовою математичної моделі, опустивши деякі з цих припущень. Найбільш суттєвим з них є припущення про відсутність сили опору повітря.

Будемо вважати, що мають місце перші чотири припущення, а на тіло крім сили тяжіння діє сила опору повітря , яка залежить від форми тіла і швидкості його руху. Ці залежності неважко простежити аналізуючи рух літаків, ракет, снарядів, куль тощо. В загальному випадку ці залежності дуже складні. Якщо тіло вважати кулею, то сила опору напрямлена проти швидкості руху і її величина обчислюється за формулою , де параметр  залежить від радіуса кулі, щільності, тощо, де , .

З цих умов випливає, що . Рух тіла визначається рівнянням, яке в координатній формі має вигляд

Враховуючи, що v_x = x, v_z = z і початкові умови маємо нову математичну модель для закону руху тіла

(2)

Ми отримали знову задачу Коші для системи нелінійних рівнянь другого порядку, але вже набагато складнішу. 