2. 3 Класифікація математичних тверджень

Зміст математики як науки складається з понять і тверджень, які відображають зв’язки між поняттями. Йдеться про істинні твердження. Їх істинність встановлюється за допомогою доведень, на основі раніше доведених тверджень. Продовжуючи процес обгрунтування цих тверджень приходимо до необхідності деякі твердження вважати істинними.

Математичні висловлення, які приймаються за істинні для побудови деякої математичної теорії, називають аксіомами. Таким чином, аксіоми не є абсолютними істинами. Аксіоми — це правила «математичної гри», умовні згоди. Деяке висловлення може бути аксіомою в одній теорії, а в іншій — хибним. Яскравим прикладом цього є аксіома паралельності в евклідовій геометрії, яка в геометрії Лобачевського є хибною.

Твердження, істинність якого в деякій математичній теорії встановлюється за допомогою доведення, називають теоремами. Слово «теорема» грецького походження і означає «твердження доступне пізнанню», «істина доступна спостеріганню». Термін «теорема» є загальною назвою всіх тверджень, істинність яких встановлена в даній теорії. У навчанні математики поряд з цим терміном використовують багато інших термінів: лема, наслідок, ознака, властивість, формула, тощо. Всі вони є теоремами з позиції логіки. А різноманіття їх назв пов’язане з їх особливостями змісту чи ролі в теорії.

2. 4 Структура теореми

Аналіз теорем шкільного курсу математики показує, що значну їх частину можна записати у вигляді

( х  Х)(А(х)  В(х)), (1),

де А(х), В(х) — висловлювальні форми, Х — деяка множина, а х — зміна, значення якої містяться в множину Х.

Висловлювальну форму А(х) називають умовою теореми, В(х) — заключенням. Запис  х  Х називають роз’яснювальною частиною. В ній описується множина об’єктів, про яку йдеться в теоремі.

Твердження вигляду (1) породжують відношення у множині висловлювальних форм, які містять вільну зміну х. Кажуть, що з А(х) випливає В(х) і пишуть А(х)  В(х), якщо В(х) обертається в істине висловлення при тих значеннях х, при яких А(х) є істиним. Тому заключення теореми В(х) є необхідною умовою для умови А(х), а умова А(х) — достатньою умовою для заключення теореми В(х).

Частина теорем шкільного курсу математики є такою, що їх можна записати у вигляді:

( х  Х)(А(х)  В(х)), або А(х)  В(х). (2).

У цьому випадку кажуть, що висловлювальні форми А(х) і В(х) рівносильні і кожна з них є і необхідною, і достатньою для інших.

Теореми, в яких умова і заключення рівносильні, називають ознаками.

З кожним висловленням вигляду А  В можна пов’язати ще три висловлення:

В  А — обернене до даного;

—протилежне до даного;

—обернене до протилежного, або протилежне до оберненого.

Неважко впевнитися, користуючись таблицями істинності, що висловлювання А  В і еквівалентні, тобто одночасно або істині, або хибні. Еквівалентні і висловлення В  А і .

Застосовуючи ці побудови з кожною теоремою, яка має вигляд (1) можна розглянути твердження: В(х)  А(х), ,. Якщо твердження В(х)  А(х) є істиним, то воно називається теоремою, оберненою до теореми (1). Відповідні назви мають і інші твердження. До речі, твердження є теоремою тоді і тільки тоді, коли (1) є теоремою.